Cálculo Exemplos

$y = \log_{6} ({(x^{2} + 2 x)}^{\frac{7}{2}})$

Etapa 1

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = \log_{6} (x)$ e $g (x) = {(x^{2} + 2 x)}^{\frac{7}{2}}$ .

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Etapa 1.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u_{1}$ como ${(x^{2} + 2 x)}^{\frac{7}{2}}$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [\log_{6} (u_{1})] \frac{d}{d x} [{(x^{2} + 2 x)}^{\frac{7}{2}}]$

Etapa 1.2

A derivada de $\log_{6} (u_{1})$ em relação a $u_{1}$ é $\frac{1}{u_{1} \ln (6)}$ .

$\frac{1}{u_{1} \ln (6)} \frac{d}{d x} [{(x^{2} + 2 x)}^{\frac{7}{2}}]$

Etapa 1.3

Substitua todas as ocorrências de $u_{1}$ por ${(x^{2} + 2 x)}^{\frac{7}{2}}$ .

$\frac{1}{{(x^{2} + 2 x)}^{\frac{7}{2}} \ln (6)} \frac{d}{d x} [{(x^{2} + 2 x)}^{\frac{7}{2}}]$

Etapa 2

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = x^{\frac{7}{2}}$ e $g (x) = x^{2} + 2 x$ .

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Etapa 2.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u_{2}$ como $x^{2} + 2 x$ .

$\frac{1}{{(x^{2} + 2 x)}^{\frac{7}{2}} \ln (6)} (\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{\frac{7}{2}}] \frac{d}{d x} [x^{2} + 2 x])$

Etapa 2.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ é $n {u_{2}}^{n - 1}$ , em que $n = \frac{7}{2}$ .

$\frac{1}{{(x^{2} + 2 x)}^{\frac{7}{2}} \ln (6)} (\frac{7}{2} {u_{2}}^{\frac{7}{2} - 1} \frac{d}{d x} [x^{2} + 2 x])$

Etapa 2.3

Substitua todas as ocorrências de $u_{2}$ por $x^{2} + 2 x$ .

$\frac{1}{{(x^{2} + 2 x)}^{\frac{7}{2}} \ln (6)} (\frac{7}{2} {(x^{2} + 2 x)}^{\frac{7}{2} - 1} \frac{d}{d x} [x^{2} + 2 x])$

Etapa 3

Para escrever $- 1$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{{(x^{2} + 2 x)}^{\frac{7}{2}} \ln (6)} (\frac{7}{2} {(x^{2} + 2 x)}^{\frac{7}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2} + 2 x])$

Etapa 4

Combine $- 1$ e $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{{(x^{2} + 2 x)}^{\frac{7}{2}} \ln (6)} (\frac{7}{2} {(x^{2} + 2 x)}^{\frac{7}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2} + 2 x])$

Etapa 5

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{1}{{(x^{2} + 2 x)}^{\frac{7}{2}} \ln (6)} (\frac{7}{2} {(x^{2} + 2 x)}^{\frac{7 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2} + 2 x])$

Etapa 6

Simplifique o numerador.

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Etapa 6.1

Multiplique $- 1$ por $2$ .

$\frac{1}{{(x^{2} + 2 x)}^{\frac{7}{2}} \ln (6)} (\frac{7}{2} {(x^{2} + 2 x)}^{\frac{7 - 2}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2} + 2 x])$

Etapa 6.2

Subtraia $2$ de $7$ .

$\frac{1}{{(x^{2} + 2 x)}^{\frac{7}{2}} \ln (6)} (\frac{7}{2} {(x^{2} + 2 x)}^{\frac{5}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2} + 2 x])$

Etapa 7

Combine $\frac{7}{2}$ e ${(x^{2} + 2 x)}^{\frac{5}{2}}$ .

$\frac{1}{{(x^{2} + 2 x)}^{\frac{7}{2}} \ln (6)} (\frac{7 {(x^{2} + 2 x)}^{\frac{5}{2}}}{2} \frac{d}{d x} [x^{2} + 2 x])$

Etapa 8

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x^{2} + 2 x$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [2 x]$ .

$\frac{1}{{(x^{2} + 2 x)}^{\frac{7}{2}} \ln (6)} (\frac{7 {(x^{2} + 2 x)}^{\frac{5}{2}}}{2} (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [2 x]))$

Etapa 9

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$\frac{1}{{(x^{2} + 2 x)}^{\frac{7}{2}} \ln (6)} (\frac{7 {(x^{2} + 2 x)}^{\frac{5}{2}}}{2} (2 x + \frac{d}{d x} [2 x]))$

Etapa 10

Como $2$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $2 x$ em relação a $x$ é $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{1}{{(x^{2} + 2 x)}^{\frac{7}{2}} \ln (6)} (\frac{7 {(x^{2} + 2 x)}^{\frac{5}{2}}}{2} (2 x + 2 \frac{d}{d x} [x]))$

Etapa 11

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$\frac{1}{{(x^{2} + 2 x)}^{\frac{7}{2}} \ln (6)} (\frac{7 {(x^{2} + 2 x)}^{\frac{5}{2}}}{2} (2 x + 2 \cdot 1))$

Etapa 12

Simplifique a expressão.

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Etapa 12.1

Multiplique $2$ por $1$ .

$\frac{1}{{(x^{2} + 2 x)}^{\frac{7}{2}} \ln (6)} (\frac{7 {(x^{2} + 2 x)}^{\frac{5}{2}}}{2} (2 x + 2))$

Etapa 12.2

Reordene os fatores de $\frac{7 {(x^{2} + 2 x)}^{\frac{5}{2}}}{2} (2 x + 2)$ .

$\frac{1}{{(x^{2} + 2 x)}^{\frac{7}{2}} \ln (6)} ((2 x + 2) \frac{7 {(x^{2} + 2 x)}^{\frac{5}{2}}}{2})$

Etapa 13

Simplifique.

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Etapa 13.1

Combine os termos.

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Etapa 13.1.1

Multiplique $\frac{7 {(x^{2} + 2 x)}^{\frac{5}{2}}}{2}$ por $\frac{1}{{(x^{2} + 2 x)}^{\frac{7}{2}} \ln (6)}$ .

$\frac{7 {(x^{2} + 2 x)}^{\frac{5}{2}}}{2 ({(x^{2} + 2 x)}^{\frac{7}{2}} \ln (6))} (2 x + 2)$

Etapa 13.1.2

Mova ${(x^{2} + 2 x)}^{\frac{5}{2}}$ para o denominador usando a regra do expoente negativo $b^{n} = \frac{1}{b^{- n}}$ .

$\frac{7}{2 {(x^{2} + 2 x)}^{\frac{7}{2}} \ln (6) {(x^{2} + 2 x)}^{- \frac{5}{2}}} (2 x + 2)$

Etapa 13.1.3

Simplifique o denominador.

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Etapa 13.1.3.1

Multiplique ${(x^{2} + 2 x)}^{\frac{7}{2}}$ por ${(x^{2} + 2 x)}^{- \frac{5}{2}}$ somando os expoentes.

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Etapa 13.1.3.1.1

Mova ${(x^{2} + 2 x)}^{- \frac{5}{2}}$ .

$\frac{7}{2 ({(x^{2} + 2 x)}^{- \frac{5}{2}} {(x^{2} + 2 x)}^{\frac{7}{2}}) \ln (6)} (2 x + 2)$

Etapa 13.1.3.1.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$\frac{7}{2 {(x^{2} + 2 x)}^{- \frac{5}{2} + \frac{7}{2}} \ln (6)} (2 x + 2)$

Etapa 13.1.3.1.3

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{7}{2 {(x^{2} + 2 x)}^{\frac{- 5 + 7}{2}} \ln (6)} (2 x + 2)$

Etapa 13.1.3.1.4

Some $- 5$ e $7$ .

$\frac{7}{2 {(x^{2} + 2 x)}^{\frac{2}{2}} \ln (6)} (2 x + 2)$

Etapa 13.1.3.1.5

Divida $2$ por $2$ .

$\frac{7}{2 {(x^{2} + 2 x)}^{1} \ln (6)} (2 x + 2)$

Etapa 13.1.3.2

Simplifique $2 {(x^{2} + 2 x)}^{1} \ln (6)$ .

$\frac{7}{2 (x^{2} + 2 x) \ln (6)} (2 x + 2)$

Etapa 13.2

Reordene os fatores de $\frac{7}{2 (x^{2} + 2 x) \ln (6)} (2 x + 2)$ .

$(2 x + 2) \frac{7}{2 (x^{2} + 2 x) \ln (6)}$

Etapa 13.3

Fatore $x$ de $x^{2} + 2 x$ .

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Etapa 13.3.1

Fatore $x$ de $x^{2}$ .

$(2 x + 2) \frac{7}{2 (x \cdot x + 2 x) \ln (6)}$

Etapa 13.3.2

Fatore $x$ de $2 x$ .

$(2 x + 2) \frac{7}{2 (x \cdot x + x \cdot 2) \ln (6)}$

Etapa 13.3.3

Fatore $x$ de $x \cdot x + x \cdot 2$ .

$(2 x + 2) \frac{7}{2 (x (x + 2)) \ln (6)}$

$(2 x + 2) \frac{7}{2 x (x + 2) \ln (6)}$

Etapa 13.4

Multiplique $2 x + 2$ por $\frac{7}{2 x (x + 2) \ln (6)}$ .

$\frac{(2 x + 2) \cdot 7}{2 x (x + 2) \ln (6)}$

Etapa 13.5

Cancele o fator comum de $2 x + 2$ e $2$ .

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Etapa 13.5.1

Fatore $2$ de $(2 x + 2) \cdot 7$ .

$\frac{2 ((x + 1) \cdot 7)}{2 x (x + 2) \ln (6)}$

Etapa 13.5.2

Cancele os fatores comuns.

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Etapa 13.5.2.1

Fatore $2$ de $2 x (x + 2) \ln (6)$ .

$\frac{2 ((x + 1) \cdot 7)}{2 ((x (x + 2)) \ln (6))}$

Etapa 13.5.2.2

Cancele o fator comum.

$\frac{2 ((x + 1) \cdot 7)}{2 ((x (x + 2)) \ln (6))}$

Etapa 13.5.2.3

Reescreva a expressão.

$\frac{(x + 1) \cdot 7}{(x (x + 2)) \ln (6)}$

Etapa 13.6

Mova $7$ para a esquerda de $x + 1$ .

$\frac{7 \cdot (x + 1)}{x (x + 2) \ln (6)}$

Etapa 13.7

Reordene os fatores em $\frac{7 (x + 1)}{x (x + 2) \ln (6)}$ .

$\frac{7 (x + 1)}{x \ln (6) (x + 2)}$