Cálculo Exemplos

$y = {(x + \frac{1}{x})}^{5}$

Etapa 1

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = x^{5}$ e $g (x) = x + \frac{1}{x}$ .

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Etapa 1.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u$ como $x + \frac{1}{x}$ .

$\frac{d}{d u} [u^{5}] \frac{d}{d x} [x + \frac{1}{x}]$

Etapa 1.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ é $n u^{n - 1}$ , em que $n = 5$ .

$5 u^{4} \frac{d}{d x} [x + \frac{1}{x}]$

Etapa 1.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $x + \frac{1}{x}$ .

$5 {(x + \frac{1}{x})}^{4} \frac{d}{d x} [x + \frac{1}{x}]$

Etapa 2

Diferencie.

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Etapa 2.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x + \frac{1}{x}$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$ .

$5 {(x + \frac{1}{x})}^{4} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}])$

Etapa 2.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$5 {(x + \frac{1}{x})}^{4} (1 + \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}])$

Etapa 3

Avalie $\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$ .

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Etapa 3.1

Reescreva $\frac{1}{x}$ como $x^{- 1}$ .

$5 {(x + \frac{1}{x})}^{4} (1 + \frac{d}{d x} [x^{- 1}])$

Etapa 3.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = - 1$ .

$5 {(x + \frac{1}{x})}^{4} (1 - x^{- 2})$

Etapa 4

Reescreva a expressão usando a regra do expoente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$5 {(x + \frac{1}{x})}^{4} (1 - \frac{1}{x^{2}})$

Etapa 5

Reordene os termos.

$5 {(x + \frac{1}{x})}^{4} (- \frac{1}{x^{2}} + 1)$