Cálculo Exemplos

$y = (\sqrt{2 x + 5}) \tan (x^{2} + 5 x)$

Etapa 1

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt{2 x + 5}$ como ${(2 x + 5)}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{d}{d x} [{(2 x + 5)}^{\frac{1}{2}} \tan (x^{2} + 5 x)]$

Etapa 2

Diferencie usando a regra do produto, que determina que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ é $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , em que $f (x) = {(2 x + 5)}^{\frac{1}{2}}$ e $g (x) = \tan (x^{2} + 5 x)$ .

${(2 x + 5)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [\tan (x^{2} + 5 x)] + \tan (x^{2} + 5 x) \frac{d}{d x} [{(2 x + 5)}^{\frac{1}{2}}]$

Etapa 3

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = \tan (x)$ e $g (x) = x^{2} + 5 x$ .

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Etapa 3.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u_{1}$ como $x^{2} + 5 x$ .

${(2 x + 5)}^{\frac{1}{2}} (\frac{d}{d u_{1}} [\tan (u_{1})] \frac{d}{d x} [x^{2} + 5 x]) + \tan (x^{2} + 5 x) \frac{d}{d x} [{(2 x + 5)}^{\frac{1}{2}}]$

Etapa 3.2

A derivada de $\tan (u_{1})$ em relação a $u_{1}$ é $\sec^{2} (u_{1})$ .

${(2 x + 5)}^{\frac{1}{2}} (\sec^{2} (u_{1}) \frac{d}{d x} [x^{2} + 5 x]) + \tan (x^{2} + 5 x) \frac{d}{d x} [{(2 x + 5)}^{\frac{1}{2}}]$

Etapa 3.3

Substitua todas as ocorrências de $u_{1}$ por $x^{2} + 5 x$ .

${(2 x + 5)}^{\frac{1}{2}} (\sec^{2} (x^{2} + 5 x) \frac{d}{d x} [x^{2} + 5 x]) + \tan (x^{2} + 5 x) \frac{d}{d x} [{(2 x + 5)}^{\frac{1}{2}}]$

Etapa 4

Diferencie.

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Etapa 4.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x^{2} + 5 x$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [5 x]$ .

${(2 x + 5)}^{\frac{1}{2}} \sec^{2} (x^{2} + 5 x) (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [5 x]) + \tan (x^{2} + 5 x) \frac{d}{d x} [{(2 x + 5)}^{\frac{1}{2}}]$

Etapa 4.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

${(2 x + 5)}^{\frac{1}{2}} \sec^{2} (x^{2} + 5 x) (2 x + \frac{d}{d x} [5 x]) + \tan (x^{2} + 5 x) \frac{d}{d x} [{(2 x + 5)}^{\frac{1}{2}}]$

Etapa 4.3

Como $5$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $5 x$ em relação a $x$ é $5 \frac{d}{d x} [x]$ .

${(2 x + 5)}^{\frac{1}{2}} \sec^{2} (x^{2} + 5 x) (2 x + 5 \frac{d}{d x} [x]) + \tan (x^{2} + 5 x) \frac{d}{d x} [{(2 x + 5)}^{\frac{1}{2}}]$

Etapa 4.4

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

${(2 x + 5)}^{\frac{1}{2}} \sec^{2} (x^{2} + 5 x) (2 x + 5 \cdot 1) + \tan (x^{2} + 5 x) \frac{d}{d x} [{(2 x + 5)}^{\frac{1}{2}}]$

Etapa 4.5

Multiplique $5$ por $1$ .

${(2 x + 5)}^{\frac{1}{2}} \sec^{2} (x^{2} + 5 x) (2 x + 5) + \tan (x^{2} + 5 x) \frac{d}{d x} [{(2 x + 5)}^{\frac{1}{2}}]$

Etapa 5

Eleve $2 x + 5$ à potência de $1$ .

${(2 x + 5)}^{1} {(2 x + 5)}^{\frac{1}{2}} \sec^{2} (x^{2} + 5 x) + \tan (x^{2} + 5 x) \frac{d}{d x} [{(2 x + 5)}^{\frac{1}{2}}]$

Etapa 6

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

${(2 x + 5)}^{1 + \frac{1}{2}} \sec^{2} (x^{2} + 5 x) + \tan (x^{2} + 5 x) \frac{d}{d x} [{(2 x + 5)}^{\frac{1}{2}}]$

Etapa 7

Simplifique a expressão.

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Etapa 7.1

Escreva $1$ como uma fração com um denominador comum.

${(2 x + 5)}^{\frac{2}{2} + \frac{1}{2}} \sec^{2} (x^{2} + 5 x) + \tan (x^{2} + 5 x) \frac{d}{d x} [{(2 x + 5)}^{\frac{1}{2}}]$

Etapa 7.2

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

${(2 x + 5)}^{\frac{2 + 1}{2}} \sec^{2} (x^{2} + 5 x) + \tan (x^{2} + 5 x) \frac{d}{d x} [{(2 x + 5)}^{\frac{1}{2}}]$

Etapa 7.3

Some $2$ e $1$ .

${(2 x + 5)}^{\frac{3}{2}} \sec^{2} (x^{2} + 5 x) + \tan (x^{2} + 5 x) \frac{d}{d x} [{(2 x + 5)}^{\frac{1}{2}}]$

Etapa 8

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ e $g (x) = 2 x + 5$ .

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Etapa 8.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u_{2}$ como $2 x + 5$ .

${(2 x + 5)}^{\frac{3}{2}} \sec^{2} (x^{2} + 5 x) + \tan (x^{2} + 5 x) (\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d x} [2 x + 5])$

Etapa 8.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ é $n {u_{2}}^{n - 1}$ , em que $n = \frac{1}{2}$ .

${(2 x + 5)}^{\frac{3}{2}} \sec^{2} (x^{2} + 5 x) + \tan (x^{2} + 5 x) (\frac{1}{2} {u_{2}}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [2 x + 5])$

Etapa 8.3

Substitua todas as ocorrências de $u_{2}$ por $2 x + 5$ .

${(2 x + 5)}^{\frac{3}{2}} \sec^{2} (x^{2} + 5 x) + \tan (x^{2} + 5 x) (\frac{1}{2} {(2 x + 5)}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [2 x + 5])$

Etapa 9

Para escrever $- 1$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{2}{2}$ .

${(2 x + 5)}^{\frac{3}{2}} \sec^{2} (x^{2} + 5 x) + \tan (x^{2} + 5 x) (\frac{1}{2} {(2 x + 5)}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d x} [2 x + 5])$

Etapa 10

Combine $- 1$ e $\frac{2}{2}$ .

${(2 x + 5)}^{\frac{3}{2}} \sec^{2} (x^{2} + 5 x) + \tan (x^{2} + 5 x) (\frac{1}{2} {(2 x + 5)}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [2 x + 5])$

Etapa 11

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

${(2 x + 5)}^{\frac{3}{2}} \sec^{2} (x^{2} + 5 x) + \tan (x^{2} + 5 x) (\frac{1}{2} {(2 x + 5)}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [2 x + 5])$

Etapa 12

Simplifique o numerador.

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Etapa 12.1

Multiplique $- 1$ por $2$ .

${(2 x + 5)}^{\frac{3}{2}} \sec^{2} (x^{2} + 5 x) + \tan (x^{2} + 5 x) (\frac{1}{2} {(2 x + 5)}^{\frac{1 - 2}{2}} \frac{d}{d x} [2 x + 5])$

Etapa 12.2

Subtraia $2$ de $1$ .

${(2 x + 5)}^{\frac{3}{2}} \sec^{2} (x^{2} + 5 x) + \tan (x^{2} + 5 x) (\frac{1}{2} {(2 x + 5)}^{\frac{- 1}{2}} \frac{d}{d x} [2 x + 5])$

Etapa 13

Combine frações.

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Etapa 13.1

Mova o número negativo para a frente da fração.

${(2 x + 5)}^{\frac{3}{2}} \sec^{2} (x^{2} + 5 x) + \tan (x^{2} + 5 x) (\frac{1}{2} {(2 x + 5)}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [2 x + 5])$

Etapa 13.2

Combine $\frac{1}{2}$ e ${(2 x + 5)}^{- \frac{1}{2}}$ .

${(2 x + 5)}^{\frac{3}{2}} \sec^{2} (x^{2} + 5 x) + \tan (x^{2} + 5 x) (\frac{{(2 x + 5)}^{- \frac{1}{2}}}{2} \frac{d}{d x} [2 x + 5])$

Etapa 13.3

Mova ${(2 x + 5)}^{- \frac{1}{2}}$ para o denominador usando a regra do expoente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

${(2 x + 5)}^{\frac{3}{2}} \sec^{2} (x^{2} + 5 x) + \tan (x^{2} + 5 x) (\frac{1}{2 {(2 x + 5)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [2 x + 5])$

Etapa 13.4

Combine $\frac{1}{2 {(2 x + 5)}^{\frac{1}{2}}}$ e $\tan (x^{2} + 5 x)$ .

${(2 x + 5)}^{\frac{3}{2}} \sec^{2} (x^{2} + 5 x) + \frac{\tan (x^{2} + 5 x)}{2 {(2 x + 5)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [2 x + 5]$

Etapa 14

De acordo com a regra da soma, a derivada de $2 x + 5$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [5]$ .

${(2 x + 5)}^{\frac{3}{2}} \sec^{2} (x^{2} + 5 x) + \frac{\tan (x^{2} + 5 x)}{2 {(2 x + 5)}^{\frac{1}{2}}} (\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [5])$

Etapa 15

Como $2$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $2 x$ em relação a $x$ é $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

${(2 x + 5)}^{\frac{3}{2}} \sec^{2} (x^{2} + 5 x) + \frac{\tan (x^{2} + 5 x)}{2 {(2 x + 5)}^{\frac{1}{2}}} (2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [5])$

Etapa 16

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

${(2 x + 5)}^{\frac{3}{2}} \sec^{2} (x^{2} + 5 x) + \frac{\tan (x^{2} + 5 x)}{2 {(2 x + 5)}^{\frac{1}{2}}} (2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [5])$

Etapa 17

Multiplique $2$ por $1$ .

${(2 x + 5)}^{\frac{3}{2}} \sec^{2} (x^{2} + 5 x) + \frac{\tan (x^{2} + 5 x)}{2 {(2 x + 5)}^{\frac{1}{2}}} (2 + \frac{d}{d x} [5])$

Etapa 18

Como $5$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $5$ em relação a $x$ é $0$ .

${(2 x + 5)}^{\frac{3}{2}} \sec^{2} (x^{2} + 5 x) + \frac{\tan (x^{2} + 5 x)}{2 {(2 x + 5)}^{\frac{1}{2}}} (2 + 0)$

Etapa 19

Simplifique os termos.

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Etapa 19.1

Some $2$ e $0$ .

${(2 x + 5)}^{\frac{3}{2}} \sec^{2} (x^{2} + 5 x) + \frac{\tan (x^{2} + 5 x)}{2 {(2 x + 5)}^{\frac{1}{2}}} \cdot 2$

Etapa 19.2

Combine $\frac{\tan (x^{2} + 5 x)}{2 {(2 x + 5)}^{\frac{1}{2}}}$ e $2$ .

${(2 x + 5)}^{\frac{3}{2}} \sec^{2} (x^{2} + 5 x) + \frac{\tan (x^{2} + 5 x) \cdot 2}{2 {(2 x + 5)}^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 19.3

Mova $2$ para a esquerda de $\tan (x^{2} + 5 x)$ .

${(2 x + 5)}^{\frac{3}{2}} \sec^{2} (x^{2} + 5 x) + \frac{2 \cdot \tan (x^{2} + 5 x)}{2 {(2 x + 5)}^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 19.4

Cancele o fator comum.

${(2 x + 5)}^{\frac{3}{2}} \sec^{2} (x^{2} + 5 x) + \frac{2 \tan (x^{2} + 5 x)}{2 {(2 x + 5)}^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 19.5

Reescreva a expressão.

${(2 x + 5)}^{\frac{3}{2}} \sec^{2} (x^{2} + 5 x) + \frac{\tan (x^{2} + 5 x)}{{(2 x + 5)}^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 20

Para escrever ${(2 x + 5)}^{\frac{3}{2}} \sec^{2} (x^{2} + 5 x)$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{{(2 x + 5)}^{\frac{1}{2}}}{{(2 x + 5)}^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{{(2 x + 5)}^{\frac{3}{2}} \sec^{2} (x^{2} + 5 x) {(2 x + 5)}^{\frac{1}{2}}}{{(2 x + 5)}^{\frac{1}{2}}} + \frac{\tan (x^{2} + 5 x)}{{(2 x + 5)}^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 21

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{{(2 x + 5)}^{\frac{3}{2}} \sec^{2} (x^{2} + 5 x) {(2 x + 5)}^{\frac{1}{2}} + \tan (x^{2} + 5 x)}{{(2 x + 5)}^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 22

Multiplique ${(2 x + 5)}^{\frac{3}{2}}$ por ${(2 x + 5)}^{\frac{1}{2}}$ somando os expoentes.

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Etapa 22.1

Mova ${(2 x + 5)}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{{(2 x + 5)}^{\frac{1}{2}} {(2 x + 5)}^{\frac{3}{2}} \sec^{2} (x^{2} + 5 x) + \tan (x^{2} + 5 x)}{{(2 x + 5)}^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 22.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$\frac{{(2 x + 5)}^{\frac{1}{2} + \frac{3}{2}} \sec^{2} (x^{2} + 5 x) + \tan (x^{2} + 5 x)}{{(2 x + 5)}^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 22.3

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{{(2 x + 5)}^{\frac{1 + 3}{2}} \sec^{2} (x^{2} + 5 x) + \tan (x^{2} + 5 x)}{{(2 x + 5)}^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 22.4

Some $1$ e $3$ .

$\frac{{(2 x + 5)}^{\frac{4}{2}} \sec^{2} (x^{2} + 5 x) + \tan (x^{2} + 5 x)}{{(2 x + 5)}^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 22.5

Divida $4$ por $2$ .

$\frac{{(2 x + 5)}^{2} \sec^{2} (x^{2} + 5 x) + \tan (x^{2} + 5 x)}{{(2 x + 5)}^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 23

Simplifique cada termo.

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Etapa 23.1

Reescreva ${(2 x + 5)}^{2}$ como $(2 x + 5) (2 x + 5)$ .

$\frac{(2 x + 5) (2 x + 5) \sec^{2} (x^{2} + 5 x) + \tan (x^{2} + 5 x)}{{(2 x + 5)}^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 23.2

Expanda $(2 x + 5) (2 x + 5)$ usando o método FOIL.

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Etapa 23.2.1

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{(2 x (2 x + 5) + 5 (2 x + 5)) \sec^{2} (x^{2} + 5 x) + \tan (x^{2} + 5 x)}{{(2 x + 5)}^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 23.2.2

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{(2 x (2 x) + 2 x \cdot 5 + 5 (2 x + 5)) \sec^{2} (x^{2} + 5 x) + \tan (x^{2} + 5 x)}{{(2 x + 5)}^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 23.2.3

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{(2 x (2 x) + 2 x \cdot 5 + 5 (2 x) + 5 \cdot 5) \sec^{2} (x^{2} + 5 x) + \tan (x^{2} + 5 x)}{{(2 x + 5)}^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 23.3

Simplifique e combine termos semelhantes.

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Etapa 23.3.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 23.3.1.1

Reescreva usando a propriedade comutativa da multiplicação.

$\frac{(2 \cdot 2 x \cdot x + 2 x \cdot 5 + 5 (2 x) + 5 \cdot 5) \sec^{2} (x^{2} + 5 x) + \tan (x^{2} + 5 x)}{{(2 x + 5)}^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 23.3.1.2

Multiplique $x$ por $x$ somando os expoentes.

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Etapa 23.3.1.2.1

Mova $x$ .

$\frac{(2 \cdot 2 (x \cdot x) + 2 x \cdot 5 + 5 (2 x) + 5 \cdot 5) \sec^{2} (x^{2} + 5 x) + \tan (x^{2} + 5 x)}{{(2 x + 5)}^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 23.3.1.2.2

Multiplique $x$ por $x$ .

$\frac{(2 \cdot 2 x^{2} + 2 x \cdot 5 + 5 (2 x) + 5 \cdot 5) \sec^{2} (x^{2} + 5 x) + \tan (x^{2} + 5 x)}{{(2 x + 5)}^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 23.3.1.3

Multiplique $2$ por $2$ .

$\frac{(4 x^{2} + 2 x \cdot 5 + 5 (2 x) + 5 \cdot 5) \sec^{2} (x^{2} + 5 x) + \tan (x^{2} + 5 x)}{{(2 x + 5)}^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 23.3.1.4

Multiplique $5$ por $2$ .

$\frac{(4 x^{2} + 10 x + 5 (2 x) + 5 \cdot 5) \sec^{2} (x^{2} + 5 x) + \tan (x^{2} + 5 x)}{{(2 x + 5)}^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 23.3.1.5

Multiplique $2$ por $5$ .

$\frac{(4 x^{2} + 10 x + 10 x + 5 \cdot 5) \sec^{2} (x^{2} + 5 x) + \tan (x^{2} + 5 x)}{{(2 x + 5)}^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 23.3.1.6

Multiplique $5$ por $5$ .

$\frac{(4 x^{2} + 10 x + 10 x + 25) \sec^{2} (x^{2} + 5 x) + \tan (x^{2} + 5 x)}{{(2 x + 5)}^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 23.3.2

Some $10 x$ e $10 x$ .

$\frac{(4 x^{2} + 20 x + 25) \sec^{2} (x^{2} + 5 x) + \tan (x^{2} + 5 x)}{{(2 x + 5)}^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 23.4

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{4 x^{2} \sec^{2} (x^{2} + 5 x) + 20 x \sec^{2} (x^{2} + 5 x) + 25 \sec^{2} (x^{2} + 5 x) + \tan (x^{2} + 5 x)}{{(2 x + 5)}^{\frac{1}{2}}}$