Cálculo Exemplos

$\tan^{-1} (x^{2} y)$

Etapa 1

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = \tan^{-1} (x)$ e $g (x) = x^{2} y$ .

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Etapa 1.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u$ como $x^{2} y$ .

$\frac{d}{d u} [\tan^{-1} (u)] \frac{d}{d x} [x^{2} y]$

Etapa 1.2

A derivada de $\tan^{-1} (u)$ em relação a $u$ é $\frac{1}{1 + u^{2}}$ .

$\frac{1}{1 + u^{2}} \frac{d}{d x} [x^{2} y]$

Etapa 1.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $x^{2} y$ .

$\frac{1}{1 + {(x^{2} y)}^{2}} \frac{d}{d x} [x^{2} y]$

Etapa 2

Diferencie.

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Etapa 2.1

Como $y$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $x^{2} y$ em relação a $x$ é $y \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$\frac{1}{1 + {(x^{2} y)}^{2}} (y \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Etapa 2.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$\frac{1}{1 + {(x^{2} y)}^{2}} (y (2 x))$

Etapa 2.3

Reordene.

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Etapa 2.3.1

Mova $2$ para a esquerda de $y$ .

$\frac{1}{1 + {(x^{2} y)}^{2}} (2 \cdot y x)$

Etapa 2.3.2

Reordene os fatores de $2 y x$ .

$\frac{1}{1 + {(x^{2} y)}^{2}} (2 x y)$

Etapa 3

Simplifique.

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Etapa 3.1

Aplique a regra do produto a $x^{2} y$ .

$\frac{1}{1 + {(x^{2})}^{2} y^{2}} (2 x y)$

Etapa 3.2

Combine os termos.

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Etapa 3.2.1

Multiplique os expoentes em ${(x^{2})}^{2}$ .

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Etapa 3.2.1.1

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{1}{1 + x^{2 \cdot 2} y^{2}} (2 x y)$

Etapa 3.2.1.2

Multiplique $2$ por $2$ .

$\frac{1}{1 + x^{4} y^{2}} (2 x y)$

Etapa 3.2.2

Combine $2$ e $\frac{1}{1 + x^{4} y^{2}}$ .

$\frac{2}{1 + x^{4} y^{2}} (x y)$

Etapa 3.2.3

Combine $x$ e $\frac{2}{1 + x^{4} y^{2}}$ .

$\frac{x \cdot 2}{1 + x^{4} y^{2}} y$

Etapa 3.2.4

Combine $\frac{x \cdot 2}{1 + x^{4} y^{2}}$ e $y$ .

$\frac{x \cdot 2 y}{1 + x^{4} y^{2}}$

Etapa 3.2.5

Mova $2$ para a esquerda de $x$ .

$\frac{2 x y}{1 + x^{4} y^{2}}$

Etapa 3.3

Reordene os termos.

$\frac{2 x y}{x^{4} y^{2} + 1}$