Cálculo Exemplos

${(\frac{2 x - 7}{7 x + 3})}^{5}$

Etapa 1

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = x^{5}$ e $g (x) = \frac{2 x - 7}{7 x + 3}$ .

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Etapa 1.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u$ como $\frac{2 x - 7}{7 x + 3}$ .

$\frac{d}{d u} [u^{5}] \frac{d}{d x} [\frac{2 x - 7}{7 x + 3}]$

Etapa 1.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ é $n u^{n - 1}$ , em que $n = 5$ .

$5 u^{4} \frac{d}{d x} [\frac{2 x - 7}{7 x + 3}]$

Etapa 1.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $\frac{2 x - 7}{7 x + 3}$ .

$5 {(\frac{2 x - 7}{7 x + 3})}^{4} \frac{d}{d x} [\frac{2 x - 7}{7 x + 3}]$

Etapa 2

Diferencie usando a regra do quociente, que determina que $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ é $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ , em que $f (x) = 2 x - 7$ e $g (x) = 7 x + 3$ .

$5 {(\frac{2 x - 7}{7 x + 3})}^{4} \frac{(7 x + 3) \frac{d}{d x} [2 x - 7] - (2 x - 7) \frac{d}{d x} [7 x + 3]}{{(7 x + 3)}^{2}}$

Etapa 3

Diferencie.

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Etapa 3.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $2 x - 7$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 7]$ .

$5 {(\frac{2 x - 7}{7 x + 3})}^{4} \frac{(7 x + 3) (\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 7]) - (2 x - 7) \frac{d}{d x} [7 x + 3]}{{(7 x + 3)}^{2}}$

Etapa 3.2

Como $2$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $2 x$ em relação a $x$ é $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$5 {(\frac{2 x - 7}{7 x + 3})}^{4} \frac{(7 x + 3) (2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 7]) - (2 x - 7) \frac{d}{d x} [7 x + 3]}{{(7 x + 3)}^{2}}$

Etapa 3.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$5 {(\frac{2 x - 7}{7 x + 3})}^{4} \frac{(7 x + 3) (2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 7]) - (2 x - 7) \frac{d}{d x} [7 x + 3]}{{(7 x + 3)}^{2}}$

Etapa 3.4

Multiplique $2$ por $1$ .

$5 {(\frac{2 x - 7}{7 x + 3})}^{4} \frac{(7 x + 3) (2 + \frac{d}{d x} [- 7]) - (2 x - 7) \frac{d}{d x} [7 x + 3]}{{(7 x + 3)}^{2}}$

Etapa 3.5

Como $- 7$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 7$ em relação a $x$ é $0$ .

$5 {(\frac{2 x - 7}{7 x + 3})}^{4} \frac{(7 x + 3) (2 + 0) - (2 x - 7) \frac{d}{d x} [7 x + 3]}{{(7 x + 3)}^{2}}$

Etapa 3.6

Simplifique a expressão.

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Etapa 3.6.1

Some $2$ e $0$ .

$5 {(\frac{2 x - 7}{7 x + 3})}^{4} \frac{(7 x + 3) \cdot 2 - (2 x - 7) \frac{d}{d x} [7 x + 3]}{{(7 x + 3)}^{2}}$

Etapa 3.6.2

Mova $2$ para a esquerda de $7 x + 3$ .

$5 {(\frac{2 x - 7}{7 x + 3})}^{4} \frac{2 \cdot (7 x + 3) - (2 x - 7) \frac{d}{d x} [7 x + 3]}{{(7 x + 3)}^{2}}$

Etapa 3.7

De acordo com a regra da soma, a derivada de $7 x + 3$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [7 x] + \frac{d}{d x} [3]$ .

$5 {(\frac{2 x - 7}{7 x + 3})}^{4} \frac{2 (7 x + 3) - (2 x - 7) (\frac{d}{d x} [7 x] + \frac{d}{d x} [3])}{{(7 x + 3)}^{2}}$

Etapa 3.8

Como $7$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $7 x$ em relação a $x$ é $7 \frac{d}{d x} [x]$ .

$5 {(\frac{2 x - 7}{7 x + 3})}^{4} \frac{2 (7 x + 3) - (2 x - 7) (7 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [3])}{{(7 x + 3)}^{2}}$

Etapa 3.9

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$5 {(\frac{2 x - 7}{7 x + 3})}^{4} \frac{2 (7 x + 3) - (2 x - 7) (7 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [3])}{{(7 x + 3)}^{2}}$

Etapa 3.10

Multiplique $7$ por $1$ .

$5 {(\frac{2 x - 7}{7 x + 3})}^{4} \frac{2 (7 x + 3) - (2 x - 7) (7 + \frac{d}{d x} [3])}{{(7 x + 3)}^{2}}$

Etapa 3.11

Como $3$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $3$ em relação a $x$ é $0$ .

$5 {(\frac{2 x - 7}{7 x + 3})}^{4} \frac{2 (7 x + 3) - (2 x - 7) (7 + 0)}{{(7 x + 3)}^{2}}$

Etapa 3.12

Simplifique a expressão.

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Etapa 3.12.1

Some $7$ e $0$ .

$5 {(\frac{2 x - 7}{7 x + 3})}^{4} \frac{2 (7 x + 3) - (2 x - 7) \cdot 7}{{(7 x + 3)}^{2}}$

Etapa 3.12.2

Multiplique $7$ por $- 1$ .

$5 {(\frac{2 x - 7}{7 x + 3})}^{4} \frac{2 (7 x + 3) - 7 (2 x - 7)}{{(7 x + 3)}^{2}}$

Etapa 4

Simplifique.

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Etapa 4.1

Aplique a propriedade distributiva.

$5 {(\frac{2 x - 7}{7 x + 3})}^{4} \frac{2 (7 x) + 2 \cdot 3 - 7 (2 x - 7)}{{(7 x + 3)}^{2}}$

Etapa 4.2

Aplique a propriedade distributiva.

$5 {(\frac{2 x - 7}{7 x + 3})}^{4} \frac{2 (7 x) + 2 \cdot 3 - 7 (2 x) - 7 \cdot - 7}{{(7 x + 3)}^{2}}$

Etapa 4.3

Simplifique o numerador.

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Etapa 4.3.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 4.3.1.1

Multiplique $7$ por $2$ .

$5 {(\frac{2 x - 7}{7 x + 3})}^{4} \frac{14 x + 2 \cdot 3 - 7 (2 x) - 7 \cdot - 7}{{(7 x + 3)}^{2}}$

Etapa 4.3.1.2

Multiplique $2$ por $3$ .

$5 {(\frac{2 x - 7}{7 x + 3})}^{4} \frac{14 x + 6 - 7 (2 x) - 7 \cdot - 7}{{(7 x + 3)}^{2}}$

Etapa 4.3.1.3

Multiplique $2$ por $- 7$ .

$5 {(\frac{2 x - 7}{7 x + 3})}^{4} \frac{14 x + 6 - 14 x - 7 \cdot - 7}{{(7 x + 3)}^{2}}$

Etapa 4.3.1.4

Multiplique $- 7$ por $- 7$ .

$5 {(\frac{2 x - 7}{7 x + 3})}^{4} \frac{14 x + 6 - 14 x + 49}{{(7 x + 3)}^{2}}$

Etapa 4.3.2

Combine os termos opostos em $14 x + 6 - 14 x + 49$ .

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Etapa 4.3.2.1

Subtraia $14 x$ de $14 x$ .

$5 {(\frac{2 x - 7}{7 x + 3})}^{4} \frac{0 + 6 + 49}{{(7 x + 3)}^{2}}$

Etapa 4.3.2.2

Some $0$ e $6$ .

$5 {(\frac{2 x - 7}{7 x + 3})}^{4} \frac{6 + 49}{{(7 x + 3)}^{2}}$

Etapa 4.3.3

Some $6$ e $49$ .

$5 {(\frac{2 x - 7}{7 x + 3})}^{4} \frac{55}{{(7 x + 3)}^{2}}$

Etapa 5

Simplifique.

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Etapa 5.1

Aplique a regra do produto a $\frac{2 x - 7}{7 x + 3}$ .

$5 \frac{{(2 x - 7)}^{4}}{{(7 x + 3)}^{4}} \frac{55}{{(7 x + 3)}^{2}}$

Etapa 5.2

Combine os termos.

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Etapa 5.2.1

Combine $5$ e $\frac{{(2 x - 7)}^{4}}{{(7 x + 3)}^{4}}$ .

$\frac{5 {(2 x - 7)}^{4}}{{(7 x + 3)}^{4}} \cdot \frac{55}{{(7 x + 3)}^{2}}$

Etapa 5.2.2

Multiplique $\frac{5 {(2 x - 7)}^{4}}{{(7 x + 3)}^{4}}$ por $\frac{55}{{(7 x + 3)}^{2}}$ .

$\frac{5 {(2 x - 7)}^{4} \cdot 55}{{(7 x + 3)}^{4} {(7 x + 3)}^{2}}$

Etapa 5.2.3

Multiplique $55$ por $5$ .

$\frac{275 {(2 x - 7)}^{4}}{{(7 x + 3)}^{4} {(7 x + 3)}^{2}}$

Etapa 5.2.4

Multiplique ${(7 x + 3)}^{4}$ por ${(7 x + 3)}^{2}$ somando os expoentes.

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Etapa 5.2.4.1

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$\frac{275 {(2 x - 7)}^{4}}{{(7 x + 3)}^{4 + 2}}$

Etapa 5.2.4.2

Some $4$ e $2$ .

$\frac{275 {(2 x - 7)}^{4}}{{(7 x + 3)}^{6}}$