Cálculo Exemplos

${(x^{2} y^{3} + 3 x z + y^{2} z^{3} + 11)}^{3}$

Etapa 1

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d z} [f (g (z))]$ é $f' (g (z)) g' (z)$ , em que $f (z) = z^{3}$ e $g (z) = x^{2} y^{3} + 3 x z + y^{2} z^{3} + 11$ .

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Etapa 1.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u$ como $x^{2} y^{3} + 3 x z + y^{2} z^{3} + 11$ .

$\frac{d}{d u} [u^{3}] \frac{d}{d z} [x^{2} y^{3} + 3 x z + y^{2} z^{3} + 11]$

Etapa 1.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ é $n u^{n - 1}$ , em que $n = 3$ .

$3 u^{2} \frac{d}{d z} [x^{2} y^{3} + 3 x z + y^{2} z^{3} + 11]$

Etapa 1.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $x^{2} y^{3} + 3 x z + y^{2} z^{3} + 11$ .

$3 {(x^{2} y^{3} + 3 x z + y^{2} z^{3} + 11)}^{2} \frac{d}{d z} [x^{2} y^{3} + 3 x z + y^{2} z^{3} + 11]$

Etapa 2

Diferencie.

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Etapa 2.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x^{2} y^{3} + 3 x z + y^{2} z^{3} + 11$ com relação a $z$ é $\frac{d}{d z} [x^{2} y^{3}] + \frac{d}{d z} [3 x z] + \frac{d}{d z} [y^{2} z^{3}] + \frac{d}{d z} [11]$ .

$3 {(x^{2} y^{3} + 3 x z + y^{2} z^{3} + 11)}^{2} (\frac{d}{d z} [x^{2} y^{3}] + \frac{d}{d z} [3 x z] + \frac{d}{d z} [y^{2} z^{3}] + \frac{d}{d z} [11])$

Etapa 2.2

Como $x^{2} y^{3}$ é constante em relação a $z$ , a derivada de $x^{2} y^{3}$ em relação a $z$ é $0$ .

$3 {(x^{2} y^{3} + 3 x z + y^{2} z^{3} + 11)}^{2} (0 + \frac{d}{d z} [3 x z] + \frac{d}{d z} [y^{2} z^{3}] + \frac{d}{d z} [11])$

Etapa 3

Avalie $\frac{d}{d z} [3 x z]$ .

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Etapa 3.1

Como $3 x$ é constante em relação a $z$ , a derivada de $3 x z$ em relação a $z$ é $3 x \frac{d}{d z} [z]$ .

$3 {(x^{2} y^{3} + 3 x z + y^{2} z^{3} + 11)}^{2} (0 + 3 x \frac{d}{d z} [z] + \frac{d}{d z} [y^{2} z^{3}] + \frac{d}{d z} [11])$

Etapa 3.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d z} [z^{n}]$ é $n z^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$3 {(x^{2} y^{3} + 3 x z + y^{2} z^{3} + 11)}^{2} (0 + 3 x \cdot 1 + \frac{d}{d z} [y^{2} z^{3}] + \frac{d}{d z} [11])$

Etapa 3.3

Multiplique $3$ por $1$ .

$3 {(x^{2} y^{3} + 3 x z + y^{2} z^{3} + 11)}^{2} (0 + 3 x + \frac{d}{d z} [y^{2} z^{3}] + \frac{d}{d z} [11])$

Etapa 4

Avalie $\frac{d}{d z} [y^{2} z^{3}]$ .

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Etapa 4.1

Como $y^{2}$ é constante em relação a $z$ , a derivada de $y^{2} z^{3}$ em relação a $z$ é $y^{2} \frac{d}{d z} [z^{3}]$ .

$3 {(x^{2} y^{3} + 3 x z + y^{2} z^{3} + 11)}^{2} (0 + 3 x + y^{2} \frac{d}{d z} [z^{3}] + \frac{d}{d z} [11])$

Etapa 4.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d z} [z^{n}]$ é $n z^{n - 1}$ , em que $n = 3$ .

$3 {(x^{2} y^{3} + 3 x z + y^{2} z^{3} + 11)}^{2} (0 + 3 x + y^{2} (3 z^{2}) + \frac{d}{d z} [11])$

Etapa 4.3

Mova $3$ para a esquerda de $y^{2}$ .

$3 {(x^{2} y^{3} + 3 x z + y^{2} z^{3} + 11)}^{2} (0 + 3 x + 3 y^{2} z^{2} + \frac{d}{d z} [11])$

Etapa 5

Como $11$ é constante em relação a $z$ , a derivada de $11$ em relação a $z$ é $0$ .

$3 {(x^{2} y^{3} + 3 x z + y^{2} z^{3} + 11)}^{2} (0 + 3 x + 3 y^{2} z^{2} + 0)$

Etapa 6

Simplifique.

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Etapa 6.1

Combine os termos.

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Etapa 6.1.1

Some $0$ e $3 x$ .

$3 {(x^{2} y^{3} + 3 x z + y^{2} z^{3} + 11)}^{2} (3 x + 3 y^{2} z^{2} + 0)$

Etapa 6.1.2

Some $3 x + 3 y^{2} z^{2}$ e $0$ .

$3 {(x^{2} y^{3} + 3 x z + y^{2} z^{3} + 11)}^{2} (3 x + 3 y^{2} z^{2})$

Etapa 6.2

Reordene os termos.

$3 {(x^{2} y^{3} + 3 x z + y^{2} z^{3} + 11)}^{2} (3 y^{2} z^{2} + 3 x)$