Cálculo Exemplos

$y = \tan^{-1} (\sqrt{4 t})$

Etapa 1

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d t} [f (g (t))]$ é $f' (g (t)) g' (t)$ , em que $f (t) = \tan^{-1} (t)$ e $g (t) = \sqrt{4 t}$ .

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Etapa 1.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u$ como $\sqrt{4 t}$ .

$\frac{d}{d u} [\tan^{-1} (u)] \frac{d}{d t} [\sqrt{4 t}]$

Etapa 1.2

A derivada de $\tan^{-1} (u)$ em relação a $u$ é $\frac{1}{1 + u^{2}}$ .

$\frac{1}{1 + u^{2}} \frac{d}{d t} [\sqrt{4 t}]$

Etapa 1.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $\sqrt{4 t}$ .

$\frac{1}{1 + {\sqrt{4 t}}^{2}} \frac{d}{d t} [\sqrt{4 t}]$

Etapa 2

Reescreva $\frac{d}{d t} [\sqrt{4 t}]$ como $\frac{d}{d t} [2 \sqrt{t}]$ .

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Etapa 2.1

Reescreva $4$ como $2^{2}$ .

$\frac{1}{1 + {\sqrt{4 t}}^{2}} \frac{d}{d t} [\sqrt{2^{2} t}]$

Etapa 2.2

Elimine os termos abaixo do radical.

$\frac{1}{1 + {\sqrt{4 t}}^{2}} \frac{d}{d t} [2 \sqrt{t}]$

Etapa 3

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt{t}$ como $t^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{1}{1 + {\sqrt{4 t}}^{2}} \frac{d}{d t} [2 t^{\frac{1}{2}}]$

Etapa 4

Como $2$ é constante em relação a $t$ , a derivada de $2 t^{\frac{1}{2}}$ em relação a $t$ é $2 \frac{d}{d t} [t^{\frac{1}{2}}]$ .

$\frac{1}{1 + {\sqrt{4 t}}^{2}} (2 \frac{d}{d t} [t^{\frac{1}{2}}])$

Etapa 5

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ é $n t^{n - 1}$ , em que $n = \frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{1 + {\sqrt{4 t}}^{2}} (2 (\frac{1}{2} t^{\frac{1}{2} - 1}))$

Etapa 6

Para escrever $- 1$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{1 + {\sqrt{4 t}}^{2}} (2 (\frac{1}{2} t^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}}))$

Etapa 7

Combine $- 1$ e $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{1 + {\sqrt{4 t}}^{2}} (2 (\frac{1}{2} t^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}}))$

Etapa 8

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{1}{1 + {\sqrt{4 t}}^{2}} (2 (\frac{1}{2} t^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}}))$

Etapa 9

Simplifique o numerador.

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Etapa 9.1

Multiplique $- 1$ por $2$ .

$\frac{1}{1 + {\sqrt{4 t}}^{2}} (2 (\frac{1}{2} t^{\frac{1 - 2}{2}}))$

Etapa 9.2

Subtraia $2$ de $1$ .

$\frac{1}{1 + {\sqrt{4 t}}^{2}} (2 (\frac{1}{2} t^{\frac{- 1}{2}}))$

Etapa 10

Mova o número negativo para a frente da fração.

$\frac{1}{1 + {\sqrt{4 t}}^{2}} (2 (\frac{1}{2} t^{- \frac{1}{2}}))$

Etapa 11

Combine $\frac{1}{2}$ e $t^{- \frac{1}{2}}$ .

$\frac{1}{1 + {\sqrt{4 t}}^{2}} (2 \frac{t^{- \frac{1}{2}}}{2})$

Etapa 12

Combine $2$ e $\frac{t^{- \frac{1}{2}}}{2}$ .

$\frac{1}{1 + {\sqrt{4 t}}^{2}} \cdot \frac{2 t^{- \frac{1}{2}}}{2}$

Etapa 13

Mova $t^{- \frac{1}{2}}$ para o denominador usando a regra do expoente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{1}{1 + {\sqrt{4 t}}^{2}} \cdot \frac{2}{2 t^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 14

Cancele o fator comum.

$\frac{1}{1 + {\sqrt{4 t}}^{2}} \cdot \frac{2}{2 t^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 15

Reescreva a expressão.

$\frac{1}{1 + {\sqrt{4 t}}^{2}} \cdot \frac{1}{t^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 16

Simplifique.

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Etapa 16.1

Combine os termos.

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Etapa 16.1.1

Reescreva $\frac{1}{1 + {\sqrt{4 t}}^{2}} \cdot \frac{1}{t^{\frac{1}{2}}}$ como $\frac{1}{1 + {(2 \sqrt{t})}^{2}} \cdot \frac{1}{t^{\frac{1}{2}}}$ .

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Etapa 16.1.1.1

Reescreva $4$ como $2^{2}$ .

$\frac{1}{1 + {\sqrt{2^{2} t}}^{2}} \cdot \frac{1}{t^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 16.1.1.2

Elimine os termos abaixo do radical.

$\frac{1}{1 + {(2 \sqrt{t})}^{2}} \cdot \frac{1}{t^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 16.1.2

Fatore $2$ de $2 \sqrt{t}$ .

$\frac{1}{1 + {(2 (\sqrt{t}))}^{2}} \cdot \frac{1}{t^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 16.1.3

Aplique a regra do produto a $2 (\sqrt{t})$ .

$\frac{1}{1 + 2^{2} {\sqrt{t}}^{2}} \cdot \frac{1}{t^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 16.1.4

Eleve $2$ à potência de $2$ .

$\frac{1}{1 + 4 {\sqrt{t}}^{2}} \cdot \frac{1}{t^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 16.1.5

Reescreva ${\sqrt{t}}^{2}$ como $t$ .

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Etapa 16.1.5.1

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt{t}$ como $t^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{1}{1 + 4 {(t^{\frac{1}{2}})}^{2}} \cdot \frac{1}{t^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 16.1.5.2

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{1}{1 + 4 t^{\frac{1}{2} \cdot 2}} \cdot \frac{1}{t^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 16.1.5.3

Combine $\frac{1}{2}$ e $2$ .

$\frac{1}{1 + 4 t^{\frac{2}{2}}} \cdot \frac{1}{t^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 16.1.5.4

Cancele o fator comum de $2$ .

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Etapa 16.1.5.4.1

Cancele o fator comum.

$\frac{1}{1 + 4 t^{\frac{2}{2}}} \cdot \frac{1}{t^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 16.1.5.4.2

Reescreva a expressão.

$\frac{1}{1 + 4 t^{1}} \cdot \frac{1}{t^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 16.1.5.5

Simplifique.

$\frac{1}{1 + 4 t} \cdot \frac{1}{t^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 16.1.6

Multiplique $\frac{1}{1 + 4 t}$ por $\frac{1}{t^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{1}{(1 + 4 t) t^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 16.2

Reordene os termos.

$\frac{1}{t^{\frac{1}{2}} (1 + 4 t)}$