Cálculo Exemplos

$t^{3} \log_{2} (e^{t})$

Etapa 1

Diferencie usando a regra do produto, que determina que $\frac{d}{d t} [f (t) g (t)]$ é $f (t) \frac{d}{d t} [g (t)] + g (t) \frac{d}{d t} [f (t)]$ , em que $f (t) = t^{3}$ e $g (t) = \log_{2} (e^{t})$ .

$t^{3} \frac{d}{d t} [\log_{2} (e^{t})] + \log_{2} (e^{t}) \frac{d}{d t} [t^{3}]$

Etapa 2

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d t} [f (g (t))]$ é $f' (g (t)) g' (t)$ , em que $f (t) = \log_{2} (t)$ e $g (t) = e^{t}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u$ como $e^{t}$ .

$t^{3} (\frac{d}{d u} [\log_{2} (u)] \frac{d}{d t} [e^{t}]) + \log_{2} (e^{t}) \frac{d}{d t} [t^{3}]$

Etapa 2.2

A derivada de $\log_{2} (u)$ em relação a $u$ é $\frac{1}{u \ln (2)}$ .

$t^{3} (\frac{1}{u \ln (2)} \frac{d}{d t} [e^{t}]) + \log_{2} (e^{t}) \frac{d}{d t} [t^{3}]$

Etapa 2.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $e^{t}$ .

$t^{3} (\frac{1}{e^{t} \ln (2)} \frac{d}{d t} [e^{t}]) + \log_{2} (e^{t}) \frac{d}{d t} [t^{3}]$

Etapa 3

Combine $\frac{1}{e^{t} \ln (2)}$ e $t^{3}$ .

$\frac{t^{3}}{e^{t} \ln (2)} \frac{d}{d t} [e^{t}] + \log_{2} (e^{t}) \frac{d}{d t} [t^{3}]$

Etapa 4

Diferencie usando a regra exponencial, que determina que $\frac{d}{d t} [a^{t}]$ é $a^{t} \ln (a)$ , em que $a$ = $e$ .

$\frac{t^{3}}{e^{t} \ln (2)} e^{t} + \log_{2} (e^{t}) \frac{d}{d t} [t^{3}]$

Etapa 5

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.1

Combine $\frac{t^{3}}{e^{t} \ln (2)}$ e $e^{t}$ .

$\frac{t^{3} e^{t}}{e^{t} \ln (2)} + \log_{2} (e^{t}) \frac{d}{d t} [t^{3}]$

Etapa 5.2

Cancele o fator comum de $e^{t}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.2.1

Cancele o fator comum.

$\frac{t^{3} e^{t}}{e^{t} \ln (2)} + \log_{2} (e^{t}) \frac{d}{d t} [t^{3}]$

Etapa 5.2.2

Reescreva a expressão.

$\frac{t^{3}}{\ln (2)} + \log_{2} (e^{t}) \frac{d}{d t} [t^{3}]$

Etapa 5.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ é $n t^{n - 1}$ , em que $n = 3$ .

$\frac{t^{3}}{\ln (2)} + \log_{2} (e^{t}) (3 t^{2})$

Etapa 5.4

Reordene os termos.

$\frac{t^{3}}{\ln (2)} + 3 t^{2} \log_{2} (e^{t})$