Cálculo Exemplos

$\frac{d}{d x} (\frac{a x - 2}{x^{3} - a})$

Etapa 1

Não foi possível concluir esta derivada usando a regra da cadeia. O Mathway usará outro método.

Etapa 2

Diferencie usando a regra do quociente, que determina que $\frac{d}{d a} [\frac{f (a)}{g (a)}]$ é $\frac{g (a) \frac{d}{d a} [f (a)] - f (a) \frac{d}{d a} [g (a)]}{{g (a)}^{2}}$ , em que $f (a) = a x - 2$ e $g (a) = x^{3} - a$ .

$\frac{(x^{3} - a) \frac{d}{d a} [a x - 2] - (a x - 2) \frac{d}{d a} [x^{3} - a]}{{(x^{3} - a)}^{2}}$

Etapa 3

Diferencie.

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Etapa 3.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $a x - 2$ com relação a $a$ é $\frac{d}{d a} [a x] + \frac{d}{d a} [- 2]$ .

$\frac{(x^{3} - a) (\frac{d}{d a} [a x] + \frac{d}{d a} [- 2]) - (a x - 2) \frac{d}{d a} [x^{3} - a]}{{(x^{3} - a)}^{2}}$

Etapa 3.2

Como $x$ é constante em relação a $a$ , a derivada de $a x$ em relação a $a$ é $x \frac{d}{d a} [a]$ .

$\frac{(x^{3} - a) (x \frac{d}{d a} [a] + \frac{d}{d a} [- 2]) - (a x - 2) \frac{d}{d a} [x^{3} - a]}{{(x^{3} - a)}^{2}}$

Etapa 3.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d a} [a^{n}]$ é $n a^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$\frac{(x^{3} - a) (x \cdot 1 + \frac{d}{d a} [- 2]) - (a x - 2) \frac{d}{d a} [x^{3} - a]}{{(x^{3} - a)}^{2}}$

Etapa 3.4

Multiplique $x$ por $1$ .

$\frac{(x^{3} - a) (x + \frac{d}{d a} [- 2]) - (a x - 2) \frac{d}{d a} [x^{3} - a]}{{(x^{3} - a)}^{2}}$

Etapa 3.5

Como $- 2$ é constante em relação a $a$ , a derivada de $- 2$ em relação a $a$ é $0$ .

$\frac{(x^{3} - a) (x + 0) - (a x - 2) \frac{d}{d a} [x^{3} - a]}{{(x^{3} - a)}^{2}}$

Etapa 3.6

Some $x$ e $0$ .

$\frac{(x^{3} - a) x - (a x - 2) \frac{d}{d a} [x^{3} - a]}{{(x^{3} - a)}^{2}}$

Etapa 3.7

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x^{3} - a$ com relação a $a$ é $\frac{d}{d a} [x^{3}] + \frac{d}{d a} [- a]$ .

$\frac{(x^{3} - a) x - (a x - 2) (\frac{d}{d a} [x^{3}] + \frac{d}{d a} [- a])}{{(x^{3} - a)}^{2}}$

Etapa 3.8

Como $x^{3}$ é constante em relação a $a$ , a derivada de $x^{3}$ em relação a $a$ é $0$ .

$\frac{(x^{3} - a) x - (a x - 2) (0 + \frac{d}{d a} [- a])}{{(x^{3} - a)}^{2}}$

Etapa 3.9

Some $0$ e $\frac{d}{d a} [- a]$ .

$\frac{(x^{3} - a) x - (a x - 2) \frac{d}{d a} [- a]}{{(x^{3} - a)}^{2}}$

Etapa 3.10

Como $- 1$ é constante em relação a $a$ , a derivada de $- a$ em relação a $a$ é $- \frac{d}{d a} [a]$ .

$\frac{(x^{3} - a) x - (a x - 2) (- \frac{d}{d a} [a])}{{(x^{3} - a)}^{2}}$

Etapa 3.11

Multiplique.

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Etapa 3.11.1

Multiplique $- 1$ por $- 1$ .

$\frac{(x^{3} - a) x + 1 (a x - 2) \frac{d}{d a} [a]}{{(x^{3} - a)}^{2}}$

Etapa 3.11.2

Multiplique $a x - 2$ por $1$ .

$\frac{(x^{3} - a) x + (a x - 2) \frac{d}{d a} [a]}{{(x^{3} - a)}^{2}}$

Etapa 3.12

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d a} [a^{n}]$ é $n a^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$\frac{(x^{3} - a) x + (a x - 2) \cdot 1}{{(x^{3} - a)}^{2}}$

Etapa 3.13

Multiplique $a x - 2$ por $1$ .

$\frac{(x^{3} - a) x + a x - 2}{{(x^{3} - a)}^{2}}$

Etapa 4

Simplifique.

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Etapa 4.1

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{x^{3} x - a x + a x - 2}{{(x^{3} - a)}^{2}}$

Etapa 4.2

Simplifique o numerador.

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Etapa 4.2.1

Combine os termos opostos em $x^{3} x - a x + a x - 2$ .

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Etapa 4.2.1.1

Some $- a x$ e $a x$ .

$\frac{x^{3} x + 0 - 2}{{(x^{3} - a)}^{2}}$

Etapa 4.2.1.2

Some $x^{3} x$ e $0$ .

$\frac{x^{3} x - 2}{{(x^{3} - a)}^{2}}$

Etapa 4.2.2

Multiplique $x^{3}$ por $x$ somando os expoentes.

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Etapa 4.2.2.1

Multiplique $x^{3}$ por $x$ .

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Etapa 4.2.2.1.1

Eleve $x$ à potência de $1$ .

$\frac{x^{3} x^{1} - 2}{{(x^{3} - a)}^{2}}$

Etapa 4.2.2.1.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$\frac{x^{3 + 1} - 2}{{(x^{3} - a)}^{2}}$

Etapa 4.2.2.2

Some $3$ e $1$ .

$\frac{x^{4} - 2}{{(x^{3} - a)}^{2}}$