Cálculo Exemplos

$y = x^{2} + 6 x + 6$ , $y = 2 - x^{2}$

Etapa 1

Resolva por substituição para encontrar a intersecção entre as curvas.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1

Elimine os lados iguais de cada equação e combine.

$x^{2} + 6 x + 6 = 2 - x^{2}$

Etapa 1.2

Resolva $x^{2} + 6 x + 6 = 2 - x^{2}$ para $x$ .

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Etapa 1.2.1

Mova todos os termos que contêm $x$ para o lado esquerdo da equação.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.1.1

Some $x^{2}$ aos dois lados da equação.

$x^{2} + 6 x + 6 + x^{2} = 2$

Etapa 1.2.1.2

Some $x^{2}$ e $x^{2}$ .

$2 x^{2} + 6 x + 6 = 2$

Etapa 1.2.2

Subtraia $2$ dos dois lados da equação.

$2 x^{2} + 6 x + 6 - 2 = 0$

Etapa 1.2.3

Subtraia $2$ de $6$ .

$2 x^{2} + 6 x + 4 = 0$

Etapa 1.2.4

Fatore o lado esquerdo da equação.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.4.1

Fatore $2$ de $2 x^{2} + 6 x + 4$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.4.1.1

Fatore $2$ de $2 x^{2}$ .

$2 (x^{2}) + 6 x + 4 = 0$

Etapa 1.2.4.1.2

Fatore $2$ de $6 x$ .

$2 (x^{2}) + 2 (3 x) + 4 = 0$

Etapa 1.2.4.1.3

Fatore $2$ de $4$ .

$2 x^{2} + 2 (3 x) + 2 \cdot 2 = 0$

Etapa 1.2.4.1.4

Fatore $2$ de $2 x^{2} + 2 (3 x)$ .

$2 (x^{2} + 3 x) + 2 \cdot 2 = 0$

Etapa 1.2.4.1.5

Fatore $2$ de $2 (x^{2} + 3 x) + 2 \cdot 2$ .

$2 (x^{2} + 3 x + 2) = 0$

Etapa 1.2.4.2

Fatore.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.4.2.1

Fatore $x^{2} + 3 x + 2$ usando o método AC.

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Etapa 1.2.4.2.1.1

Considere a forma $x^{2} + b x + c$ . Encontre um par de números inteiros cujo produto é $c$ e cuja soma é $b$ . Neste caso, cujo produto é $2$ e cuja soma é $3$ .

$1, 2 + y = 2 - x^{2}$

Etapa 1.2.4.2.1.2

Escreva a forma fatorada usando estes números inteiros.

$2 ((x + 1) (x + 2)) = 0$

Etapa 1.2.4.2.2

Remova os parênteses desnecessários.

$2 (x + 1) (x + 2) = 0$

Etapa 1.2.5

Se qualquer fator individual no lado esquerdo da equação for igual a $0$ , toda a expressão será igual a $0$ .

$x + 1 = 0$

$x + 2 = 0 + y = 2 - x^{2}$

Etapa 1.2.6

Defina $x + 1$ como igual a $0$ e resolva para $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.6.1

Defina $x + 1$ como igual a $0$ .

$x + 1 = 0$

Etapa 1.2.6.2

Subtraia $1$ dos dois lados da equação.

$x = - 1$

Etapa 1.2.7

Defina $x + 2$ como igual a $0$ e resolva para $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.7.1

Defina $x + 2$ como igual a $0$ .

$x + 2 = 0$

Etapa 1.2.7.2

Subtraia $2$ dos dois lados da equação.

$x = - 2$

Etapa 1.2.8

A solução final são todos os valores que tornam $2 (x + 1) (x + 2) = 0$ verdadeiro.

$x = - 1, - 2$

Etapa 1.3

Avalie $y$ quando $x = - 1$ .

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Etapa 1.3.1

Substitua $- 1$ por $x$ .

$y = 2 - {(- 1)}^{2}$

Etapa 1.3.2

Simplifique $2 - {(- 1)}^{2}$ .

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Etapa 1.3.2.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 1.3.2.1.1

Multiplique $- 1$ por ${(- 1)}^{2}$ somando os expoentes.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.3.2.1.1.1

Multiplique $- 1$ por ${(- 1)}^{2}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.3.2.1.1.1.1

Eleve $- 1$ à potência de $1$ .

$y = 2 + {(- 1)}^{1} {(- 1)}^{2}$

Etapa 1.3.2.1.1.1.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$y = 2 + {(- 1)}^{1 + 2}$

Etapa 1.3.2.1.1.2

Some $1$ e $2$ .

$y = 2 + {(- 1)}^{3}$

Etapa 1.3.2.1.2

Eleve $- 1$ à potência de $3$ .

$y = 2 - 1$

Etapa 1.3.2.2

Subtraia $1$ de $2$ .

$y = 1$

Etapa 1.4

Avalie $y$ quando $x = - 2$ .

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Etapa 1.4.1

Substitua $- 2$ por $x$ .

$y = 2 - {(- 2)}^{2}$

Etapa 1.4.2

Simplifique $2 - {(- 2)}^{2}$ .

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Etapa 1.4.2.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 1.4.2.1.1

Eleve $- 2$ à potência de $2$ .

$y = 2 - 1 \cdot 4$

Etapa 1.4.2.1.2

Multiplique $- 1$ por $4$ .

$y = 2 - 4$

Etapa 1.4.2.2

Subtraia $4$ de $2$ .

$y = - 2$

Etapa 1.5

A solução para o sistema é o conjunto completo de pares ordenados que são soluções válidas.

$(- 1, 1)$

$(- 2, - 2)$

$(- 1, 1)$

$(- 2, - 2)$

Etapa 2

Reordene $2$ e $- x^{2}$ .

$y = - x^{2} + 2$

Etapa 3

A área da região entre as curvas é definida como a integral da curva superior menos a integral da curva inferior sobre cada região. As regiões são determinadas pelos pontos de intersecção das curvas. É possível fazer isso de forma algébrica ou gráfica.

$A r e a = \int_{- 2}^{- 1} - x^{2} + 2 d x - \int_{- 2}^{- 1} x^{2} + 6 x + 6 d x$

Etapa 4

Integre para encontrar a área entre $- 2$ e $- 1$ .

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Etapa 4.1

Combine as integrais em uma única integral.

$\int_{- 2}^{- 1} - x^{2} + 2 - (x^{2} + 6 x + 6) d x$

Etapa 4.2

Simplifique cada termo.

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Etapa 4.2.1

Aplique a propriedade distributiva.

$- x^{2} + 2 - x^{2} - (6 x) - 1 \cdot 6$

Etapa 4.2.2

Simplifique.

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Etapa 4.2.2.1

Multiplique $6$ por $- 1$ .

$- x^{2} + 2 - x^{2} - 6 x - 1 \cdot 6$

Etapa 4.2.2.2

Multiplique $- 1$ por $6$ .

$- x^{2} + 2 - x^{2} - 6 x - 6$

$\int_{- 2}^{- 1} - x^{2} + 2 - x^{2} - 6 x - 6 d x$

Etapa 4.3

Simplifique somando os termos.

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Etapa 4.3.1

Subtraia $x^{2}$ de $- x^{2}$ .

$- 2 x^{2} + 2 - 6 x - 6$

Etapa 4.3.2

Subtraia $6$ de $2$ .

$- 2 x^{2} - 6 x - 4$

$\int_{- 2}^{- 1} - 2 x^{2} - 6 x - 4 d x$

Etapa 4.4

Divida a integral única em várias integrais.

$\int_{- 2}^{- 1} - 2 x^{2} d x + \int_{- 2}^{- 1} - 6 x d x + \int_{- 2}^{- 1} - 4 d x$

Etapa 4.5

Como $- 2$ é constante com relação a $x$ , mova $- 2$ para fora da integral.

$- 2 \int_{- 2}^{- 1} x^{2} d x + \int_{- 2}^{- 1} - 6 x d x + \int_{- 2}^{- 1} - 4 d x$

Etapa 4.6

De acordo com a regra da multiplicação de potências, a integral de $x^{2}$ com relação a $x$ é $\frac{1}{3} x^{3}$ .

$- 2 (\frac{1}{3} x^{3}]_{- 2}^{- 1}) + \int_{- 2}^{- 1} - 6 x d x + \int_{- 2}^{- 1} - 4 d x$

Etapa 4.7

Combine $\frac{1}{3}$ e $x^{3}$ .

$- 2 (\frac{x^{3}}{3}]_{- 2}^{- 1}) + \int_{- 2}^{- 1} - 6 x d x + \int_{- 2}^{- 1} - 4 d x$

Etapa 4.8

Como $- 6$ é constante com relação a $x$ , mova $- 6$ para fora da integral.

$- 2 (\frac{x^{3}}{3}]_{- 2}^{- 1}) - 6 \int_{- 2}^{- 1} x d x + \int_{- 2}^{- 1} - 4 d x$

Etapa 4.9

De acordo com a regra da multiplicação de potências, a integral de $x$ com relação a $x$ é $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$- 2 (\frac{x^{3}}{3}]_{- 2}^{- 1}) - 6 (\frac{1}{2} x^{2}]_{- 2}^{- 1}) + \int_{- 2}^{- 1} - 4 d x$

Etapa 4.10

Combine $\frac{1}{2}$ e $x^{2}$ .

$- 2 (\frac{x^{3}}{3}]_{- 2}^{- 1}) - 6 (\frac{x^{2}}{2}]_{- 2}^{- 1}) + \int_{- 2}^{- 1} - 4 d x$

Etapa 4.11

Aplique a regra da constante.

$- 2 (\frac{x^{3}}{3}]_{- 2}^{- 1}) - 6 (\frac{x^{2}}{2}]_{- 2}^{- 1}) + - 4 x]_{- 2}^{- 1}$

Etapa 4.12

Substitua e simplifique.

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Etapa 4.12.1

Avalie $\frac{x^{3}}{3}$ em $- 1$ e em $- 2$ .

$- 2 ((\frac{{(- 1)}^{3}}{3}) - \frac{{(- 2)}^{3}}{3}) - 6 (\frac{x^{2}}{2}]_{- 2}^{- 1}) + - 4 x]_{- 2}^{- 1}$

Etapa 4.12.2

Avalie $\frac{x^{2}}{2}$ em $- 1$ e em $- 2$ .

$- 2 (\frac{{(- 1)}^{3}}{3} - \frac{{(- 2)}^{3}}{3}) - 6 (\frac{{(- 1)}^{2}}{2} - \frac{{(- 2)}^{2}}{2}) + - 4 x]_{- 2}^{- 1}$

Etapa 4.12.3

Avalie $- 4 x$ em $- 1$ e em $- 2$ .

$- 2 (\frac{{(- 1)}^{3}}{3} - \frac{{(- 2)}^{3}}{3}) - 6 (\frac{{(- 1)}^{2}}{2} - \frac{{(- 2)}^{2}}{2}) + (- 4 \cdot - 1) + 4 \cdot - 2$

Etapa 4.12.4

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.12.4.1

Eleve $- 1$ à potência de $3$ .

$- 2 (\frac{- 1}{3} - \frac{{(- 2)}^{3}}{3}) - 6 (\frac{{(- 1)}^{2}}{2} - \frac{{(- 2)}^{2}}{2}) + (- 4 \cdot - 1) + 4 \cdot - 2$

Etapa 4.12.4.2

Mova o número negativo para a frente da fração.

$- 2 (- \frac{1}{3} - \frac{{(- 2)}^{3}}{3}) - 6 (\frac{{(- 1)}^{2}}{2} - \frac{{(- 2)}^{2}}{2}) + (- 4 \cdot - 1) + 4 \cdot - 2$

Etapa 4.12.4.3

Eleve $- 2$ à potência de $3$ .

$- 2 (- \frac{1}{3} - \frac{- 8}{3}) - 6 (\frac{{(- 1)}^{2}}{2} - \frac{{(- 2)}^{2}}{2}) + (- 4 \cdot - 1) + 4 \cdot - 2$

Etapa 4.12.4.4

Mova o número negativo para a frente da fração.

$- 2 (- \frac{1}{3} - - \frac{8}{3}) - 6 (\frac{{(- 1)}^{2}}{2} - \frac{{(- 2)}^{2}}{2}) + (- 4 \cdot - 1) + 4 \cdot - 2$

Etapa 4.12.4.5

Multiplique $- 1$ por $- 1$ .

$- 2 (- \frac{1}{3} + 1 (\frac{8}{3})) - 6 (\frac{{(- 1)}^{2}}{2} - \frac{{(- 2)}^{2}}{2}) + (- 4 \cdot - 1) + 4 \cdot - 2$

Etapa 4.12.4.6

Multiplique $\frac{8}{3}$ por $1$ .

$- 2 (- \frac{1}{3} + \frac{8}{3}) - 6 (\frac{{(- 1)}^{2}}{2} - \frac{{(- 2)}^{2}}{2}) + (- 4 \cdot - 1) + 4 \cdot - 2$

Etapa 4.12.4.7

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$- 2 \frac{- 1 + 8}{3} - 6 (\frac{{(- 1)}^{2}}{2} - \frac{{(- 2)}^{2}}{2}) + (- 4 \cdot - 1) + 4 \cdot - 2$

Etapa 4.12.4.8

Some $- 1$ e $8$ .

$- 2 (\frac{7}{3}) - 6 (\frac{{(- 1)}^{2}}{2} - \frac{{(- 2)}^{2}}{2}) + (- 4 \cdot - 1) + 4 \cdot - 2$

Etapa 4.12.4.9

Combine $- 2$ e $\frac{7}{3}$ .

$\frac{- 2 \cdot 7}{3} - 6 (\frac{{(- 1)}^{2}}{2} - \frac{{(- 2)}^{2}}{2}) + (- 4 \cdot - 1) + 4 \cdot - 2$

Etapa 4.12.4.10

Multiplique $- 2$ por $7$ .

$\frac{- 14}{3} - 6 (\frac{{(- 1)}^{2}}{2} - \frac{{(- 2)}^{2}}{2}) + (- 4 \cdot - 1) + 4 \cdot - 2$

Etapa 4.12.4.11

Mova o número negativo para a frente da fração.

$- \frac{14}{3} - 6 (\frac{{(- 1)}^{2}}{2} - \frac{{(- 2)}^{2}}{2}) + (- 4 \cdot - 1) + 4 \cdot - 2$

Etapa 4.12.4.12

Eleve $- 1$ à potência de $2$ .

$- \frac{14}{3} - 6 (\frac{1}{2} - \frac{{(- 2)}^{2}}{2}) + (- 4 \cdot - 1) + 4 \cdot - 2$

Etapa 4.12.4.13

Eleve $- 2$ à potência de $2$ .

$- \frac{14}{3} - 6 (\frac{1}{2} - \frac{4}{2}) + (- 4 \cdot - 1) + 4 \cdot - 2$

Etapa 4.12.4.14

Cancele o fator comum de $4$ e $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.12.4.14.1

Fatore $2$ de $4$ .

$- \frac{14}{3} - 6 (\frac{1}{2} - \frac{2 \cdot 2}{2}) + (- 4 \cdot - 1) + 4 \cdot - 2$

Etapa 4.12.4.14.2

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.12.4.14.2.1

Fatore $2$ de $2$ .

$- \frac{14}{3} - 6 (\frac{1}{2} - \frac{2 \cdot 2}{2 (1)}) + (- 4 \cdot - 1) + 4 \cdot - 2$

Etapa 4.12.4.14.2.2

Cancele o fator comum.

$- \frac{14}{3} - 6 (\frac{1}{2} - \frac{2 \cdot 2}{2 \cdot 1}) + (- 4 \cdot - 1) + 4 \cdot - 2$

Etapa 4.12.4.14.2.3

Reescreva a expressão.

$- \frac{14}{3} - 6 (\frac{1}{2} - \frac{2}{1}) + (- 4 \cdot - 1) + 4 \cdot - 2$

Etapa 4.12.4.14.2.4

Divida $2$ por $1$ .

$- \frac{14}{3} - 6 (\frac{1}{2} - 1 \cdot 2) + (- 4 \cdot - 1) + 4 \cdot - 2$

Etapa 4.12.4.15

Multiplique $- 1$ por $2$ .

$- \frac{14}{3} - 6 (\frac{1}{2} - 2) + (- 4 \cdot - 1) + 4 \cdot - 2$

Etapa 4.12.4.16

Para escrever $- 2$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{2}{2}$ .

$- \frac{14}{3} - 6 (\frac{1}{2} - 2 \cdot \frac{2}{2}) + (- 4 \cdot - 1) + 4 \cdot - 2$

Etapa 4.12.4.17

Combine $- 2$ e $\frac{2}{2}$ .

$- \frac{14}{3} - 6 (\frac{1}{2} + \frac{- 2 \cdot 2}{2}) + (- 4 \cdot - 1) + 4 \cdot - 2$

Etapa 4.12.4.18

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$- \frac{14}{3} - 6 \frac{1 - 2 \cdot 2}{2} + (- 4 \cdot - 1) + 4 \cdot - 2$

Etapa 4.12.4.19

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.12.4.19.1

Multiplique $- 2$ por $2$ .

$- \frac{14}{3} - 6 \frac{1 - 4}{2} + (- 4 \cdot - 1) + 4 \cdot - 2$

Etapa 4.12.4.19.2

Subtraia $4$ de $1$ .

$- \frac{14}{3} - 6 (\frac{- 3}{2}) + (- 4 \cdot - 1) + 4 \cdot - 2$

Etapa 4.12.4.20

Mova o número negativo para a frente da fração.

$- \frac{14}{3} - 6 (- \frac{3}{2}) + (- 4 \cdot - 1) + 4 \cdot - 2$

Etapa 4.12.4.21

Multiplique $- 1$ por $- 6$ .

$- \frac{14}{3} + 6 (\frac{3}{2}) + (- 4 \cdot - 1) + 4 \cdot - 2$

Etapa 4.12.4.22

Combine $6$ e $\frac{3}{2}$ .

$- \frac{14}{3} + \frac{6 \cdot 3}{2} + (- 4 \cdot - 1) + 4 \cdot - 2$

Etapa 4.12.4.23

Multiplique $6$ por $3$ .

$- \frac{14}{3} + \frac{18}{2} + (- 4 \cdot - 1) + 4 \cdot - 2$

Etapa 4.12.4.24

Cancele o fator comum de $18$ e $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.12.4.24.1

Fatore $2$ de $18$ .

$- \frac{14}{3} + \frac{2 \cdot 9}{2} + (- 4 \cdot - 1) + 4 \cdot - 2$

Etapa 4.12.4.24.2

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.12.4.24.2.1

Fatore $2$ de $2$ .

$- \frac{14}{3} + \frac{2 \cdot 9}{2 (1)} + (- 4 \cdot - 1) + 4 \cdot - 2$

Etapa 4.12.4.24.2.2

Cancele o fator comum.

$- \frac{14}{3} + \frac{2 \cdot 9}{2 \cdot 1} + (- 4 \cdot - 1) + 4 \cdot - 2$

Etapa 4.12.4.24.2.3

Reescreva a expressão.

$- \frac{14}{3} + \frac{9}{1} + (- 4 \cdot - 1) + 4 \cdot - 2$

Etapa 4.12.4.24.2.4

Divida $9$ por $1$ .

$- \frac{14}{3} + 9 + (- 4 \cdot - 1) + 4 \cdot - 2$

Etapa 4.12.4.25

Para escrever $9$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{3}{3}$ .

$- \frac{14}{3} + 9 \cdot \frac{3}{3} + (- 4 \cdot - 1) + 4 \cdot - 2$

Etapa 4.12.4.26

Combine $9$ e $\frac{3}{3}$ .

$- \frac{14}{3} + \frac{9 \cdot 3}{3} + (- 4 \cdot - 1) + 4 \cdot - 2$

Etapa 4.12.4.27

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{- 14 + 9 \cdot 3}{3} + (- 4 \cdot - 1) + 4 \cdot - 2$

Etapa 4.12.4.28

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.12.4.28.1

Multiplique $9$ por $3$ .

$\frac{- 14 + 27}{3} + (- 4 \cdot - 1) + 4 \cdot - 2$

Etapa 4.12.4.28.2

Some $- 14$ e $27$ .

$\frac{13}{3} + (- 4 \cdot - 1) + 4 \cdot - 2$

Etapa 4.12.4.29

Multiplique $- 4$ por $- 1$ .

$\frac{13}{3} + 4 + 4 \cdot - 2$

Etapa 4.12.4.30

Multiplique $4$ por $- 2$ .

$\frac{13}{3} + 4 - 8$

Etapa 4.12.4.31

Subtraia $8$ de $4$ .

$\frac{13}{3} - 4$

Etapa 4.12.4.32

Para escrever $- 4$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{3}{3}$ .

$\frac{13}{3} - 4 \cdot \frac{3}{3}$

Etapa 4.12.4.33

Combine $- 4$ e $\frac{3}{3}$ .

$\frac{13}{3} + \frac{- 4 \cdot 3}{3}$

Etapa 4.12.4.34

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{13 - 4 \cdot 3}{3}$

Etapa 4.12.4.35

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.12.4.35.1

Multiplique $- 4$ por $3$ .

$\frac{13 - 12}{3}$

Etapa 4.12.4.35.2

Subtraia $12$ de $13$ .

$\frac{1}{3}$

Etapa 5