Cálculo Exemplos

$y = e^{2 x}$ , $y = e^{5 x}$ , $x = 1$

Etapa 1

Resolva por substituição para encontrar a intersecção entre as curvas.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1

Elimine os lados iguais de cada equação e combine.

$e^{2 x} = e^{5 x}$

Etapa 1.2

Resolva $e^{2 x} = e^{5 x}$ para $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.1

Como as bases são iguais, as duas expressões só serão iguais quando os expoentes também forem iguais.

$2 x = 5 x$

Etapa 1.2.2

Resolva $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.2.1

Mova todos os termos que contêm $x$ para o lado esquerdo da equação.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.2.1.1

Subtraia $5 x$ dos dois lados da equação.

$2 x - 5 x = 0$

Etapa 1.2.2.1.2

Subtraia $5 x$ de $2 x$ .

$- 3 x = 0$

Etapa 1.2.2.2

Divida cada termo em $- 3 x = 0$ por $- 3$ e simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.2.2.1

Divida cada termo em $- 3 x = 0$ por $- 3$ .

$\frac{- 3 x}{- 3} = \frac{0}{- 3}$

Etapa 1.2.2.2.2

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.2.2.2.1

Cancele o fator comum de $- 3$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.2.2.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{- 3 x}{- 3} = \frac{0}{- 3}$

Etapa 1.2.2.2.2.1.2

Divida $x$ por $1$ .

$x = \frac{0}{- 3}$

Etapa 1.2.2.2.3

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.2.2.3.1

Divida $0$ por $- 3$ .

$x = 0$

Etapa 1.3

Avalie $y$ quando $x = 0$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.3.1

Substitua $0$ por $x$ .

$y = e^{5 (0)}$

Etapa 1.3.2

Simplifique $e^{5 (0)}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.3.2.1

Multiplique $5$ por $0$ .

$y = e^{0}$

Etapa 1.3.2.2

Qualquer coisa elevada a $0$ é $1$ .

$y = 1$

Etapa 1.4

A solução para o sistema é o conjunto completo de pares ordenados que são soluções válidas.

$(0, 1)$

Etapa 2

A área da região entre as curvas é definida como a integral da curva superior menos a integral da curva inferior sobre cada região. As regiões são determinadas pelos pontos de intersecção das curvas. É possível fazer isso de forma algébrica ou gráfica.

$A r e a = \int_{0}^{1} e^{5 x} d x - \int_{0}^{1} e^{2 x} d x$

Etapa 3

Integre para encontrar a área entre $0$ e $1$ .

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Etapa 3.1

Combine as integrais em uma única integral.

$\int_{0}^{1} e^{5 x} - (e^{2 x}) d x$

Etapa 3.2

Multiplique $- 1$ por $e^{2 x}$ .

$\int_{0}^{1} e^{5 x} - e^{2 x} d x$

Etapa 3.3

Divida a integral única em várias integrais.

$\int_{0}^{1} e^{5 x} d x + \int_{0}^{1} - e^{2 x} d x$

Etapa 3.4

Deixe $u_{1} = 5 x$ . Depois, $d u_{1} = 5 d x$ , então, $\frac{1}{5} d u_{1} = d x$ . Reescreva usando $u_{1}$ e $d$ $u_{1}$ .

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Etapa 3.4.1

Deixe $u_{1} = 5 x$ . Encontre $\frac{d u_{1}}{d x}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.4.1.1

Diferencie $5 x$ .

$\frac{d}{d x} [5 x]$

Etapa 3.4.1.2

Como $5$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $5 x$ em relação a $x$ é $5 \frac{d}{d x} [x]$ .

$5 \frac{d}{d x} [x]$

Etapa 3.4.1.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$5 \cdot 1$

Etapa 3.4.1.4

Multiplique $5$ por $1$ .

$5$

Etapa 3.4.2

Substitua o limite inferior por $x$ em $u_{1} = 5 x$ .

$u_{lower} = 5 \cdot 0$

Etapa 3.4.3

Multiplique $5$ por $0$ .

$u_{lower} = 0$

Etapa 3.4.4

Substitua o limite superior por $x$ em $u_{1} = 5 x$ .

$u_{upper} = 5 \cdot 1$

Etapa 3.4.5

Multiplique $5$ por $1$ .

$u_{upper} = 5$

Etapa 3.4.6

Os valores encontrados para $u_{lower}$ e $u_{upper}$ serão usados para avaliar a integral definida.

$u_{lower} = 0$

$u_{upper} = 5$

Etapa 3.4.7

Reescreva o problema usando $u_{1}$ , $d u_{1}$ e os novos limites de integração.

$\int_{0}^{5} e^{u_{1}} \frac{1}{5} d u_{1} + \int_{0}^{1} - e^{2 x} d x$

Etapa 3.5

Combine $e^{u_{1}}$ e $\frac{1}{5}$ .

$\int_{0}^{5} \frac{e^{u_{1}}}{5} d u_{1} + \int_{0}^{1} - e^{2 x} d x$

Etapa 3.6

Como $\frac{1}{5}$ é constante com relação a $u_{1}$ , mova $\frac{1}{5}$ para fora da integral.

$\frac{1}{5} \int_{0}^{5} e^{u_{1}} d u_{1} + \int_{0}^{1} - e^{2 x} d x$

Etapa 3.7

A integral de $e^{u_{1}}$ com relação a $u_{1}$ é $e^{u_{1}}$ .

$\frac{1}{5} e^{u_{1}}]_{0}^{5} + \int_{0}^{1} - e^{2 x} d x$

Etapa 3.8

Como $- 1$ é constante com relação a $x$ , mova $- 1$ para fora da integral.

$\frac{1}{5} e^{u_{1}}]_{0}^{5} - \int_{0}^{1} e^{2 x} d x$

Etapa 3.9

Deixe $u_{2} = 2 x$ . Depois, $d u_{2} = 2 d x$ , então, $\frac{1}{2} d u_{2} = d x$ . Reescreva usando $u_{2}$ e $d$ $u_{2}$ .

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Etapa 3.9.1

Deixe $u_{2} = 2 x$ . Encontre $\frac{d u_{2}}{d x}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.9.1.1

Diferencie $2 x$ .

$\frac{d}{d x} [2 x]$

Etapa 3.9.1.2

Como $2$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $2 x$ em relação a $x$ é $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$2 \frac{d}{d x} [x]$

Etapa 3.9.1.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$2 \cdot 1$

Etapa 3.9.1.4

Multiplique $2$ por $1$ .

$2$

Etapa 3.9.2

Substitua o limite inferior por $x$ em $u_{2} = 2 x$ .

$u_{lower} = 2 \cdot 0$

Etapa 3.9.3

Multiplique $2$ por $0$ .

$u_{lower} = 0$

Etapa 3.9.4

Substitua o limite superior por $x$ em $u_{2} = 2 x$ .

$u_{upper} = 2 \cdot 1$

Etapa 3.9.5

Multiplique $2$ por $1$ .

$u_{upper} = 2$

Etapa 3.9.6

Os valores encontrados para $u_{lower}$ e $u_{upper}$ serão usados para avaliar a integral definida.

$u_{lower} = 0$

$u_{upper} = 2$

Etapa 3.9.7

Reescreva o problema usando $u_{2}$ , $d u_{2}$ e os novos limites de integração.

$\frac{1}{5} e^{u_{1}}]_{0}^{5} - \int_{0}^{2} e^{u_{2}} \frac{1}{2} d u_{2}$

Etapa 3.10

Combine $e^{u_{2}}$ e $\frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{5} e^{u_{1}}]_{0}^{5} - \int_{0}^{2} \frac{e^{u_{2}}}{2} d u_{2}$

Etapa 3.11

Como $\frac{1}{2}$ é constante com relação a $u_{2}$ , mova $\frac{1}{2}$ para fora da integral.

$\frac{1}{5} e^{u_{1}}]_{0}^{5} - (\frac{1}{2} \int_{0}^{2} e^{u_{2}} d u_{2})$

Etapa 3.12

A integral de $e^{u_{2}}$ com relação a $u_{2}$ é $e^{u_{2}}$ .

$\frac{1}{5} e^{u_{1}}]_{0}^{5} - \frac{1}{2} e^{u_{2}}]_{0}^{2}$

Etapa 3.13

Substitua e simplifique.

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Etapa 3.13.1

Avalie $e^{u_{1}}$ em $5$ e em $0$ .

$\frac{1}{5} ((e^{5}) - e^{0}) - \frac{1}{2} e^{u_{2}}]_{0}^{2}$

Etapa 3.13.2

Avalie $e^{u_{2}}$ em $2$ e em $0$ .

$\frac{1}{5} ((e^{5}) - e^{0}) - \frac{1}{2} ((e^{2}) - e^{0})$

Etapa 3.13.3

Simplifique.

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Etapa 3.13.3.1

Qualquer coisa elevada a $0$ é $1$ .

$\frac{1}{5} (e^{5} - 1 \cdot 1) - \frac{1}{2} ((e^{2}) - e^{0})$

Etapa 3.13.3.2

Multiplique $- 1$ por $1$ .

$\frac{1}{5} (e^{5} - 1) - \frac{1}{2} ((e^{2}) - e^{0})$

Etapa 3.13.3.3

Qualquer coisa elevada a $0$ é $1$ .

$\frac{1}{5} (e^{5} - 1) - \frac{1}{2} (e^{2} - 1 \cdot 1)$

Etapa 3.13.3.4

Multiplique $- 1$ por $1$ .

$\frac{1}{5} (e^{5} - 1) - \frac{1}{2} (e^{2} - 1)$

Etapa 3.14

Simplifique.

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Etapa 3.14.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 3.14.1.1

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{1}{5} e^{5} + \frac{1}{5} \cdot - 1 - \frac{1}{2} (e^{2} - 1)$

Etapa 3.14.1.2

Combine $\frac{1}{5}$ e $e^{5}$ .

$\frac{e^{5}}{5} + \frac{1}{5} \cdot - 1 - \frac{1}{2} (e^{2} - 1)$

Etapa 3.14.1.3

Combine $\frac{1}{5}$ e $- 1$ .

$\frac{e^{5}}{5} + \frac{- 1}{5} - \frac{1}{2} (e^{2} - 1)$

Etapa 3.14.1.4

Mova o número negativo para a frente da fração.

$\frac{e^{5}}{5} - \frac{1}{5} - \frac{1}{2} (e^{2} - 1)$

Etapa 3.14.1.5

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{e^{5}}{5} - \frac{1}{5} - \frac{1}{2} e^{2} - \frac{1}{2} \cdot - 1$

Etapa 3.14.1.6

Combine $e^{2}$ e $\frac{1}{2}$ .

$\frac{e^{5}}{5} - \frac{1}{5} - \frac{e^{2}}{2} - \frac{1}{2} \cdot - 1$

Etapa 3.14.1.7

Multiplique $- \frac{1}{2} \cdot - 1$ .

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Etapa 3.14.1.7.1

Multiplique $- 1$ por $- 1$ .

$\frac{e^{5}}{5} - \frac{1}{5} - \frac{e^{2}}{2} + 1 (\frac{1}{2})$

Etapa 3.14.1.7.2

Multiplique $\frac{1}{2}$ por $1$ .

$\frac{e^{5}}{5} - \frac{1}{5} - \frac{e^{2}}{2} + \frac{1}{2}$

Etapa 3.14.2

Para escrever $- \frac{1}{5}$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{2}{2}$ .

$\frac{e^{5}}{5} - \frac{e^{2}}{2} - \frac{1}{5} \cdot \frac{2}{2} + \frac{1}{2}$

Etapa 3.14.3

Para escrever $\frac{1}{2}$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{5}{5}$ .

$\frac{e^{5}}{5} - \frac{e^{2}}{2} - \frac{1}{5} \cdot \frac{2}{2} + \frac{1}{2} \cdot \frac{5}{5}$

Etapa 3.14.4

Escreva cada expressão com um denominador comum de $10$ , multiplicando cada um por um fator apropriado de $1$ .

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Etapa 3.14.4.1

Multiplique $\frac{1}{5}$ por $\frac{2}{2}$ .

$\frac{e^{5}}{5} - \frac{e^{2}}{2} - \frac{2}{5 \cdot 2} + \frac{1}{2} \cdot \frac{5}{5}$

Etapa 3.14.4.2

Multiplique $5$ por $2$ .

$\frac{e^{5}}{5} - \frac{e^{2}}{2} - \frac{2}{10} + \frac{1}{2} \cdot \frac{5}{5}$

Etapa 3.14.4.3

Multiplique $\frac{1}{2}$ por $\frac{5}{5}$ .

$\frac{e^{5}}{5} - \frac{e^{2}}{2} - \frac{2}{10} + \frac{5}{2 \cdot 5}$

Etapa 3.14.4.4

Multiplique $2$ por $5$ .

$\frac{e^{5}}{5} - \frac{e^{2}}{2} - \frac{2}{10} + \frac{5}{10}$

Etapa 3.14.5

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{e^{5}}{5} - \frac{e^{2}}{2} + \frac{- 2 + 5}{10}$

Etapa 3.14.6

Some $- 2$ e $5$ .

$\frac{e^{5}}{5} - \frac{e^{2}}{2} + \frac{3}{10}$

Etapa 4