Cálculo Exemplos

$y = 8 x$ , $y = x^{2} - 9$

Etapa 1

Resolva por substituição para encontrar a intersecção entre as curvas.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1

Elimine os lados iguais de cada equação e combine.

$8 x = x^{2} - 9$

Etapa 1.2

Resolva $8 x = x^{2} - 9$ para $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.1

Subtraia $x^{2}$ dos dois lados da equação.

$8 x - x^{2} = - 9$

Etapa 1.2.2

Some $9$ aos dois lados da equação.

$8 x - x^{2} + 9 = 0$

Etapa 1.2.3

Fatore o lado esquerdo da equação.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.3.1

Fatore $- 1$ de $8 x - x^{2} + 9$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.3.1.1

Reordene $8 x$ e $- x^{2}$ .

$- x^{2} + 8 x + 9 = 0$

Etapa 1.2.3.1.2

Fatore $- 1$ de $- x^{2}$ .

$- (x^{2}) + 8 x + 9 = 0$

Etapa 1.2.3.1.3

Fatore $- 1$ de $8 x$ .

$- (x^{2}) - (- 8 x) + 9 = 0$

Etapa 1.2.3.1.4

Reescreva $9$ como $- 1 (- 9)$ .

$- (x^{2}) - (- 8 x) - 1 \cdot - 9 = 0$

Etapa 1.2.3.1.5

Fatore $- 1$ de $- (x^{2}) - (- 8 x)$ .

$- (x^{2} - 8 x) - 1 \cdot - 9 = 0$

Etapa 1.2.3.1.6

Fatore $- 1$ de $- (x^{2} - 8 x) - 1 (- 9)$ .

$- (x^{2} - 8 x - 9) = 0$

Etapa 1.2.3.2

Fatore.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.3.2.1

Fatore $x^{2} - 8 x - 9$ usando o método AC.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.3.2.1.1

Considere a forma $x^{2} + b x + c$ . Encontre um par de números inteiros cujo produto é $c$ e cuja soma é $b$ . Neste caso, cujo produto é $- 9$ e cuja soma é $- 8$ .

$- 9, 1 + y = x^{2} - 9$

Etapa 1.2.3.2.1.2

Escreva a forma fatorada usando estes números inteiros.

$- ((x - 9) (x + 1)) = 0$

Etapa 1.2.3.2.2

Remova os parênteses desnecessários.

$- (x - 9) (x + 1) = 0$

Etapa 1.2.4

Se qualquer fator individual no lado esquerdo da equação for igual a $0$ , toda a expressão será igual a $0$ .

$x - 9 = 0$

$x + 1 = 0 + y = x^{2} - 9$

Etapa 1.2.5

Defina $x - 9$ como igual a $0$ e resolva para $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.5.1

Defina $x - 9$ como igual a $0$ .

$x - 9 = 0$

Etapa 1.2.5.2

Some $9$ aos dois lados da equação.

$x = 9$

Etapa 1.2.6

Defina $x + 1$ como igual a $0$ e resolva para $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.6.1

Defina $x + 1$ como igual a $0$ .

$x + 1 = 0$

Etapa 1.2.6.2

Subtraia $1$ dos dois lados da equação.

$x = - 1$

Etapa 1.2.7

A solução final são todos os valores que tornam $- (x - 9) (x + 1) = 0$ verdadeiro.

$x = 9, - 1$

Etapa 1.3

Avalie $y$ quando $x = 9$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.3.1

Substitua $9$ por $x$ .

$y = {(9)}^{2} - 9$

Etapa 1.3.2

Substitua $9$ por $x$ em $y = {(9)}^{2} - 9$ e resolva $y$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.3.2.1

Remova os parênteses.

$y = 9^{2} - 9$

Etapa 1.3.2.2

Simplifique $9^{2} - 9$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.3.2.2.1

Eleve $9$ à potência de $2$ .

$y = 81 - 9$

Etapa 1.3.2.2.2

Subtraia $9$ de $81$ .

$y = 72$

Etapa 1.4

Avalie $y$ quando $x = - 1$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.4.1

Substitua $- 1$ por $x$ .

$y = {(- 1)}^{2} - 9$

Etapa 1.4.2

Simplifique ${(- 1)}^{2} - 9$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.4.2.1

Eleve $- 1$ à potência de $2$ .

$y = 1 - 9$

Etapa 1.4.2.2

Subtraia $9$ de $1$ .

$y = - 8$

Etapa 1.5

A solução para o sistema é o conjunto completo de pares ordenados que são soluções válidas.

$(9, 72)$

$(- 1, - 8)$

$(9, 72)$

$(- 1, - 8)$

Etapa 2

A área da região entre as curvas é definida como a integral da curva superior menos a integral da curva inferior sobre cada região. As regiões são determinadas pelos pontos de intersecção das curvas. É possível fazer isso de forma algébrica ou gráfica.

$A r e a = \int_{- 1}^{9} 8 x d x - \int_{- 1}^{9} x^{2} - 9 d x$

Etapa 3

Integre para encontrar a área entre $- 1$ e $9$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.1

Combine as integrais em uma única integral.

$\int_{- 1}^{9} 8 x - (x^{2} - 9) d x$

Etapa 3.2

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.2.1

Aplique a propriedade distributiva.

$8 x - x^{2} - - 9$

Etapa 3.2.2

Multiplique $- 1$ por $- 9$ .

$8 x - x^{2} + 9$

$\int_{- 1}^{9} 8 x - x^{2} + 9 d x$

Etapa 3.3

Divida a integral única em várias integrais.

$\int_{- 1}^{9} 8 x d x + \int_{- 1}^{9} - x^{2} d x + \int_{- 1}^{9} 9 d x$

Etapa 3.4

Como $8$ é constante com relação a $x$ , mova $8$ para fora da integral.

$8 \int_{- 1}^{9} x d x + \int_{- 1}^{9} - x^{2} d x + \int_{- 1}^{9} 9 d x$

Etapa 3.5

De acordo com a regra da multiplicação de potências, a integral de $x$ com relação a $x$ é $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$8 (\frac{1}{2} x^{2}]_{- 1}^{9}) + \int_{- 1}^{9} - x^{2} d x + \int_{- 1}^{9} 9 d x$

Etapa 3.6

Combine $\frac{1}{2}$ e $x^{2}$ .

$8 (\frac{x^{2}}{2}]_{- 1}^{9}) + \int_{- 1}^{9} - x^{2} d x + \int_{- 1}^{9} 9 d x$

Etapa 3.7

Como $- 1$ é constante com relação a $x$ , mova $- 1$ para fora da integral.

$8 (\frac{x^{2}}{2}]_{- 1}^{9}) - \int_{- 1}^{9} x^{2} d x + \int_{- 1}^{9} 9 d x$

Etapa 3.8

De acordo com a regra da multiplicação de potências, a integral de $x^{2}$ com relação a $x$ é $\frac{1}{3} x^{3}$ .

$8 (\frac{x^{2}}{2}]_{- 1}^{9}) - (\frac{1}{3} x^{3}]_{- 1}^{9}) + \int_{- 1}^{9} 9 d x$

Etapa 3.9

Combine $\frac{1}{3}$ e $x^{3}$ .

$8 (\frac{x^{2}}{2}]_{- 1}^{9}) - (\frac{x^{3}}{3}]_{- 1}^{9}) + \int_{- 1}^{9} 9 d x$

Etapa 3.10

Aplique a regra da constante.

$8 (\frac{x^{2}}{2}]_{- 1}^{9}) - (\frac{x^{3}}{3}]_{- 1}^{9}) + 9 x]_{- 1}^{9}$

Etapa 3.11

Substitua e simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.11.1

Avalie $\frac{x^{2}}{2}$ em $9$ e em $- 1$ .

$8 ((\frac{9^{2}}{2}) - \frac{{(- 1)}^{2}}{2}) - (\frac{x^{3}}{3}]_{- 1}^{9}) + 9 x]_{- 1}^{9}$

Etapa 3.11.2

Avalie $\frac{x^{3}}{3}$ em $9$ e em $- 1$ .

$8 (\frac{9^{2}}{2} - \frac{{(- 1)}^{2}}{2}) - (\frac{9^{3}}{3} - \frac{{(- 1)}^{3}}{3}) + 9 x]_{- 1}^{9}$

Etapa 3.11.3

Avalie $9 x$ em $9$ e em $- 1$ .

$8 (\frac{9^{2}}{2} - \frac{{(- 1)}^{2}}{2}) - (\frac{9^{3}}{3} - \frac{{(- 1)}^{3}}{3}) + (9 \cdot 9) - 9 \cdot - 1$

Etapa 3.11.4

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.11.4.1

Eleve $9$ à potência de $2$ .

$8 (\frac{81}{2} - \frac{{(- 1)}^{2}}{2}) - (\frac{9^{3}}{3} - \frac{{(- 1)}^{3}}{3}) + (9 \cdot 9) - 9 \cdot - 1$

Etapa 3.11.4.2

Eleve $- 1$ à potência de $2$ .

$8 (\frac{81}{2} - \frac{1}{2}) - (\frac{9^{3}}{3} - \frac{{(- 1)}^{3}}{3}) + (9 \cdot 9) - 9 \cdot - 1$

Etapa 3.11.4.3

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$8 \frac{81 - 1}{2} - (\frac{9^{3}}{3} - \frac{{(- 1)}^{3}}{3}) + (9 \cdot 9) - 9 \cdot - 1$

Etapa 3.11.4.4

Subtraia $1$ de $81$ .

$8 (\frac{80}{2}) - (\frac{9^{3}}{3} - \frac{{(- 1)}^{3}}{3}) + (9 \cdot 9) - 9 \cdot - 1$

Etapa 3.11.4.5

Cancele o fator comum de $80$ e $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.11.4.5.1

Fatore $2$ de $80$ .

$8 \frac{2 \cdot 40}{2} - (\frac{9^{3}}{3} - \frac{{(- 1)}^{3}}{3}) + (9 \cdot 9) - 9 \cdot - 1$

Etapa 3.11.4.5.2

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.11.4.5.2.1

Fatore $2$ de $2$ .

$8 \frac{2 \cdot 40}{2 (1)} - (\frac{9^{3}}{3} - \frac{{(- 1)}^{3}}{3}) + (9 \cdot 9) - 9 \cdot - 1$

Etapa 3.11.4.5.2.2

Cancele o fator comum.

$8 \frac{2 \cdot 40}{2 \cdot 1} - (\frac{9^{3}}{3} - \frac{{(- 1)}^{3}}{3}) + (9 \cdot 9) - 9 \cdot - 1$

Etapa 3.11.4.5.2.3

Reescreva a expressão.

$8 (\frac{40}{1}) - (\frac{9^{3}}{3} - \frac{{(- 1)}^{3}}{3}) + (9 \cdot 9) - 9 \cdot - 1$

Etapa 3.11.4.5.2.4

Divida $40$ por $1$ .

$8 \cdot 40 - (\frac{9^{3}}{3} - \frac{{(- 1)}^{3}}{3}) + (9 \cdot 9) - 9 \cdot - 1$

Etapa 3.11.4.6

Multiplique $8$ por $40$ .

$320 - (\frac{9^{3}}{3} - \frac{{(- 1)}^{3}}{3}) + (9 \cdot 9) - 9 \cdot - 1$

Etapa 3.11.4.7

Eleve $9$ à potência de $3$ .

$320 - (\frac{729}{3} - \frac{{(- 1)}^{3}}{3}) + (9 \cdot 9) - 9 \cdot - 1$

Etapa 3.11.4.8

Cancele o fator comum de $729$ e $3$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.11.4.8.1

Fatore $3$ de $729$ .

$320 - (\frac{3 \cdot 243}{3} - \frac{{(- 1)}^{3}}{3}) + (9 \cdot 9) - 9 \cdot - 1$

Etapa 3.11.4.8.2

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.11.4.8.2.1

Fatore $3$ de $3$ .

$320 - (\frac{3 \cdot 243}{3 (1)} - \frac{{(- 1)}^{3}}{3}) + (9 \cdot 9) - 9 \cdot - 1$

Etapa 3.11.4.8.2.2

Cancele o fator comum.

$320 - (\frac{3 \cdot 243}{3 \cdot 1} - \frac{{(- 1)}^{3}}{3}) + (9 \cdot 9) - 9 \cdot - 1$

Etapa 3.11.4.8.2.3

Reescreva a expressão.

$320 - (\frac{243}{1} - \frac{{(- 1)}^{3}}{3}) + (9 \cdot 9) - 9 \cdot - 1$

Etapa 3.11.4.8.2.4

Divida $243$ por $1$ .

$320 - (243 - \frac{{(- 1)}^{3}}{3}) + (9 \cdot 9) - 9 \cdot - 1$

Etapa 3.11.4.9

Eleve $- 1$ à potência de $3$ .

$320 - (243 - \frac{- 1}{3}) + (9 \cdot 9) - 9 \cdot - 1$

Etapa 3.11.4.10

Mova o número negativo para a frente da fração.

$320 - (243 - - \frac{1}{3}) + (9 \cdot 9) - 9 \cdot - 1$

Etapa 3.11.4.11

Multiplique $- 1$ por $- 1$ .

$320 - (243 + 1 (\frac{1}{3})) + (9 \cdot 9) - 9 \cdot - 1$

Etapa 3.11.4.12

Multiplique $\frac{1}{3}$ por $1$ .

$320 - (243 + \frac{1}{3}) + (9 \cdot 9) - 9 \cdot - 1$

Etapa 3.11.4.13

Para escrever $243$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{3}{3}$ .

$320 - (243 \cdot \frac{3}{3} + \frac{1}{3}) + (9 \cdot 9) - 9 \cdot - 1$

Etapa 3.11.4.14

Combine $243$ e $\frac{3}{3}$ .

$320 - (\frac{243 \cdot 3}{3} + \frac{1}{3}) + (9 \cdot 9) - 9 \cdot - 1$

Etapa 3.11.4.15

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$320 - \frac{243 \cdot 3 + 1}{3} + (9 \cdot 9) - 9 \cdot - 1$

Etapa 3.11.4.16

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.11.4.16.1

Multiplique $243$ por $3$ .

$320 - \frac{729 + 1}{3} + (9 \cdot 9) - 9 \cdot - 1$

Etapa 3.11.4.16.2

Some $729$ e $1$ .

$320 - \frac{730}{3} + (9 \cdot 9) - 9 \cdot - 1$

Etapa 3.11.4.17

Para escrever $320$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{3}{3}$ .

$320 \cdot \frac{3}{3} - \frac{730}{3} + (9 \cdot 9) - 9 \cdot - 1$

Etapa 3.11.4.18

Combine $320$ e $\frac{3}{3}$ .

$\frac{320 \cdot 3}{3} - \frac{730}{3} + (9 \cdot 9) - 9 \cdot - 1$

Etapa 3.11.4.19

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{320 \cdot 3 - 730}{3} + (9 \cdot 9) - 9 \cdot - 1$

Etapa 3.11.4.20

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.11.4.20.1

Multiplique $320$ por $3$ .

$\frac{960 - 730}{3} + (9 \cdot 9) - 9 \cdot - 1$

Etapa 3.11.4.20.2

Subtraia $730$ de $960$ .

$\frac{230}{3} + (9 \cdot 9) - 9 \cdot - 1$

Etapa 3.11.4.21

Multiplique $9$ por $9$ .

$\frac{230}{3} + 81 - 9 \cdot - 1$

Etapa 3.11.4.22

Multiplique $- 9$ por $- 1$ .

$\frac{230}{3} + 81 + 9$

Etapa 3.11.4.23

Some $81$ e $9$ .

$\frac{230}{3} + 90$

Etapa 3.11.4.24

Para escrever $90$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{3}{3}$ .

$\frac{230}{3} + 90 \cdot \frac{3}{3}$

Etapa 3.11.4.25

Combine $90$ e $\frac{3}{3}$ .

$\frac{230}{3} + \frac{90 \cdot 3}{3}$

Etapa 3.11.4.26

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{230 + 90 \cdot 3}{3}$

Etapa 3.11.4.27

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.11.4.27.1

Multiplique $90$ por $3$ .

$\frac{230 + 270}{3}$

Etapa 3.11.4.27.2

Some $230$ e $270$ .

$\frac{500}{3}$

Etapa 4