Cálculo Exemplos

$y = \frac{4}{9} x^{2}$ , $y = \frac{13}{9} - x^{2}$

Etapa 1

Resolva por substituição para encontrar a intersecção entre as curvas.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1

Elimine os lados iguais de cada equação e combine.

$\frac{4}{9} x^{2} = \frac{13}{9} - x^{2}$

Etapa 1.2

Resolva $\frac{4}{9} x^{2} = \frac{13}{9} - x^{2}$ para $x$ .

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Etapa 1.2.1

Simplifique $\frac{4}{9} x^{2}$ .

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Etapa 1.2.1.1

Reescreva.

$0 + 0 + \frac{4}{9} x^{2} = \frac{13}{9} - x^{2}$

Etapa 1.2.1.2

Simplifique somando os zeros.

$\frac{4}{9} x^{2} = \frac{13}{9} - x^{2}$

Etapa 1.2.1.3

Combine $\frac{4}{9}$ e $x^{2}$ .

$\frac{4 x^{2}}{9} = \frac{13}{9} - x^{2}$

Etapa 1.2.2

Mova todos os termos que contêm $x$ para o lado esquerdo da equação.

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Etapa 1.2.2.1

Some $x^{2}$ aos dois lados da equação.

$\frac{4 x^{2}}{9} + x^{2} = \frac{13}{9}$

Etapa 1.2.2.2

Para escrever $x^{2}$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{9}{9}$ .

$\frac{4 x^{2}}{9} + x^{2} \cdot \frac{9}{9} = \frac{13}{9}$

Etapa 1.2.2.3

Combine $x^{2}$ e $\frac{9}{9}$ .

$\frac{4 x^{2}}{9} + \frac{x^{2} \cdot 9}{9} = \frac{13}{9}$

Etapa 1.2.2.4

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{4 x^{2} + x^{2} \cdot 9}{9} = \frac{13}{9}$

Etapa 1.2.2.5

Simplifique o numerador.

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Etapa 1.2.2.5.1

Mova $9$ para a esquerda de $x^{2}$ .

$\frac{4 x^{2} + 9 \cdot x^{2}}{9} = \frac{13}{9}$

Etapa 1.2.2.5.2

Some $4 x^{2}$ e $9 x^{2}$ .

$\frac{13 x^{2}}{9} = \frac{13}{9}$

Etapa 1.2.3

Como a expressão em cada lado da equação tem o mesmo denominador, os numeradores devem ser iguais.

$13 x^{2} = 13$

Etapa 1.2.4

Divida cada termo em $13 x^{2} = 13$ por $13$ e simplifique.

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Etapa 1.2.4.1

Divida cada termo em $13 x^{2} = 13$ por $13$ .

$\frac{13 x^{2}}{13} = \frac{13}{13}$

Etapa 1.2.4.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 1.2.4.2.1

Cancele o fator comum de $13$ .

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Etapa 1.2.4.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{13 x^{2}}{13} = \frac{13}{13}$

Etapa 1.2.4.2.1.2

Divida $x^{2}$ por $1$ .

$x^{2} = \frac{13}{13}$

Etapa 1.2.4.3

Simplifique o lado direito.

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Etapa 1.2.4.3.1

Divida $13$ por $13$ .

$x^{2} = 1$

Etapa 1.2.5

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{1}$

Etapa 1.2.6

Qualquer raiz de $1$ é $1$ .

$x = \pm 1$

Etapa 1.2.7

A solução completa é resultado das partes positiva e negativa da solução.

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Etapa 1.2.7.1

Primeiro, use o valor positivo de $\pm$ para encontrar a primeira solução.

$x = 1$

Etapa 1.2.7.2

Depois, use o valor negativo de $\pm$ para encontrar a segunda solução.

$x = - 1$

Etapa 1.2.7.3

A solução completa é resultado das partes positiva e negativa da solução.

$x = 1, - 1$

Etapa 1.3

Avalie $y$ quando $x = 1$ .

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Etapa 1.3.1

Substitua $1$ por $x$ .

$y = \frac{13}{9} - {(1)}^{2}$

Etapa 1.3.2

Substitua $1$ por $x$ em $y = \frac{13}{9} - {(1)}^{2}$ e resolva $y$ .

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Etapa 1.3.2.1

Remova os parênteses.

$y = \frac{13}{9} - 1^{2}$

Etapa 1.3.2.2

Simplifique $\frac{13}{9} - 1^{2}$ .

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Etapa 1.3.2.2.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 1.3.2.2.1.1

Um elevado a qualquer potência é um.

$y = \frac{13}{9} - 1 \cdot 1$

Etapa 1.3.2.2.1.2

Multiplique $- 1$ por $1$ .

$y = \frac{13}{9} - 1$

Etapa 1.3.2.2.2

Para escrever $- 1$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{9}{9}$ .

$y = \frac{13}{9} - 1 \cdot \frac{9}{9}$

Etapa 1.3.2.2.3

Combine $- 1$ e $\frac{9}{9}$ .

$y = \frac{13}{9} + \frac{- 1 \cdot 9}{9}$

Etapa 1.3.2.2.4

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$y = \frac{13 - 1 \cdot 9}{9}$

Etapa 1.3.2.2.5

Simplifique o numerador.

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Etapa 1.3.2.2.5.1

Multiplique $- 1$ por $9$ .

$y = \frac{13 - 9}{9}$

Etapa 1.3.2.2.5.2

Subtraia $9$ de $13$ .

$y = \frac{4}{9}$

Etapa 1.4

A solução para o sistema é o conjunto completo de pares ordenados que são soluções válidas.

$(1, \frac{4}{9})$

$(- 1, \frac{4}{9})$

$(1, \frac{4}{9})$

$(- 1, \frac{4}{9})$

Etapa 2

Combine $\frac{4}{9}$ e $x^{2}$ .

$y = \frac{4 x^{2}}{9}$

Etapa 3

Reordene $\frac{13}{9}$ e $- x^{2}$ .

$y = - x^{2} + \frac{13}{9}$

Etapa 4

A área da região entre as curvas é definida como a integral da curva superior menos a integral da curva inferior sobre cada região. As regiões são determinadas pelos pontos de intersecção das curvas. É possível fazer isso de forma algébrica ou gráfica.

$A r e a = \int_{- 1}^{1} - x^{2} + \frac{13}{9} d x - \int_{- 1}^{1} \frac{4 x^{2}}{9} d x$

Etapa 5

Integre para encontrar a área entre $- 1$ e $1$ .

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Etapa 5.1

Combine as integrais em uma única integral.

$\int_{- 1}^{1} - x^{2} + \frac{13}{9} - (\frac{4 x^{2}}{9}) d x$

Etapa 5.2

Para escrever $- x^{2}$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{9}{9}$ .

$\int_{- 1}^{1} - x^{2} \cdot \frac{9}{9} - \frac{4 x^{2}}{9} + \frac{13}{9} d x$

Etapa 5.3

Simplifique os termos.

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Etapa 5.3.1

Combine $- x^{2}$ e $\frac{9}{9}$ .

$\frac{- x^{2} \cdot 9}{9} - \frac{4 x^{2}}{9} + \frac{13}{9}$

Etapa 5.3.2

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{- x^{2} \cdot 9 - 4 x^{2}}{9} + \frac{13}{9}$

Etapa 5.3.3

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{- x^{2} \cdot 9 - 4 x^{2} + 13}{9}$

Etapa 5.3.4

Multiplique $9$ por $- 1$ .

$\frac{- 9 x^{2} - 4 x^{2} + 13}{9}$

Etapa 5.3.5

Subtraia $4 x^{2}$ de $- 9 x^{2}$ .

$\frac{- 13 x^{2} + 13}{9}$

$\int_{- 1}^{1} \frac{- 13 x^{2} + 13}{9} d x$

Etapa 5.4

Simplifique o numerador.

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Etapa 5.4.1

Fatore $13$ de $- 13 x^{2} + 13$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.4.1.1

Fatore $13$ de $- 13 x^{2}$ .

$\frac{13 (- x^{2}) + 13}{9}$

Etapa 5.4.1.2

Fatore $13$ de $13$ .

$\frac{13 (- x^{2}) + 13 (1)}{9}$

Etapa 5.4.1.3

Fatore $13$ de $13 (- x^{2}) + 13 (1)$ .

$\frac{13 (- x^{2} + 1)}{9}$

Etapa 5.4.2

Reescreva $1$ como $1^{2}$ .

$\frac{13 (- x^{2} + 1^{2})}{9}$

Etapa 5.4.3

Reordene $- x^{2}$ e $1^{2}$ .

$\frac{13 (1^{2} - x^{2})}{9}$

Etapa 5.4.4

Como os dois termos são quadrados perfeitos, fatore usando a fórmula da diferença de quadrados, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ em que $a = 1$ e $b = x$ .

$\frac{13 (1 + x) (1 - x)}{9}$

$\int_{- 1}^{1} \frac{13 (1 + x) (1 - x)}{9} d x$

Etapa 5.5

Como $\frac{13}{9}$ é constante com relação a $x$ , mova $\frac{13}{9}$ para fora da integral.

$\frac{13}{9} \int_{- 1}^{1} (1 + x) (1 - x) d x$

Etapa 5.6

Simplifique.

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Etapa 5.6.1

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{13}{9} \int_{- 1}^{1} 1 (1 - x) + x (1 - x) d x$

Etapa 5.6.2

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{13}{9} \int_{- 1}^{1} 1 \cdot 1 + 1 (- x) + x (1 - x) d x$

Etapa 5.6.3

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{13}{9} \int_{- 1}^{1} 1 \cdot 1 + 1 (- x) + x \cdot 1 + x (- x) d x$

Etapa 5.6.4

Reordene $x$ e $1$ .

$\frac{13}{9} \int_{- 1}^{1} 1 \cdot 1 + 1 \cdot - 1 x + 1 \cdot x + x (- x) d x$

Etapa 5.6.5

Reordene $x$ e $- 1$ .

$\frac{13}{9} \int_{- 1}^{1} 1 \cdot 1 + 1 \cdot - 1 x + 1 \cdot x - 1 \cdot x \cdot x d x$

Etapa 5.6.6

Multiplique $1$ por $1$ .

$\frac{13}{9} \int_{- 1}^{1} 1 + 1 \cdot - 1 x + 1 x - 1 x \cdot x d x$

Etapa 5.6.7

Multiplique $- 1$ por $1$ .

$\frac{13}{9} \int_{- 1}^{1} 1 - x + 1 x - 1 x \cdot x d x$

Etapa 5.6.8

Multiplique $x$ por $1$ .

$\frac{13}{9} \int_{- 1}^{1} 1 - x + x - 1 x \cdot x d x$

Etapa 5.6.9

Fatore o negativo.

$\frac{13}{9} \int_{- 1}^{1} 1 - x + x - (x \cdot x) d x$

Etapa 5.6.10

Eleve $x$ à potência de $1$ .

$\frac{13}{9} \int_{- 1}^{1} 1 - x + x - (x^{1} x) d x$

Etapa 5.6.11

Eleve $x$ à potência de $1$ .

$\frac{13}{9} \int_{- 1}^{1} 1 - x + x - (x^{1} x^{1}) d x$

Etapa 5.6.12

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$\frac{13}{9} \int_{- 1}^{1} 1 - x + x - x^{1 + 1} d x$

Etapa 5.6.13

Some $1$ e $1$ .

$\frac{13}{9} \int_{- 1}^{1} 1 - x + x - x^{2} d x$

Etapa 5.6.14

Some $- x$ e $x$ .

$\frac{13}{9} \int_{- 1}^{1} 1 + 0 - x^{2} d x$

Etapa 5.6.15

Subtraia $x^{2}$ de $0$ .

$\frac{13}{9} \int_{- 1}^{1} 1 - x^{2} d x$

Etapa 5.6.16

Reordene $1$ e $- x^{2}$ .

$\frac{13}{9} \int_{- 1}^{1} - x^{2} + 1 d x$

Etapa 5.7

Divida a integral única em várias integrais.

$\frac{13}{9} (\int_{- 1}^{1} - x^{2} d x + \int_{- 1}^{1} d x)$

Etapa 5.8

Como $- 1$ é constante com relação a $x$ , mova $- 1$ para fora da integral.

$\frac{13}{9} (- \int_{- 1}^{1} x^{2} d x + \int_{- 1}^{1} d x)$

Etapa 5.9

De acordo com a regra da multiplicação de potências, a integral de $x^{2}$ com relação a $x$ é $\frac{1}{3} x^{3}$ .

$\frac{13}{9} (- (\frac{1}{3} x^{3}]_{- 1}^{1}) + \int_{- 1}^{1} d x)$

Etapa 5.10

Combine $\frac{1}{3}$ e $x^{3}$ .

$\frac{13}{9} (- (\frac{x^{3}}{3}]_{- 1}^{1}) + \int_{- 1}^{1} d x)$

Etapa 5.11

Aplique a regra da constante.

$\frac{13}{9} (- (\frac{x^{3}}{3}]_{- 1}^{1}) + x]_{- 1}^{1})$

Etapa 5.12

Substitua e simplifique.

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Etapa 5.12.1

Avalie $\frac{x^{3}}{3}$ em $1$ e em $- 1$ .

$\frac{13}{9} (- ((\frac{1^{3}}{3}) - \frac{{(- 1)}^{3}}{3}) + x]_{- 1}^{1})$

Etapa 5.12.2

Avalie $x$ em $1$ e em $- 1$ .

$\frac{13}{9} (- (\frac{1^{3}}{3} - \frac{{(- 1)}^{3}}{3}) + 1 + 1)$

Etapa 5.12.3

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.12.3.1

Um elevado a qualquer potência é um.

$\frac{13}{9} (- (\frac{1}{3} - \frac{{(- 1)}^{3}}{3}) + 1 + 1)$

Etapa 5.12.3.2

Eleve $- 1$ à potência de $3$ .

$\frac{13}{9} (- (\frac{1}{3} - \frac{- 1}{3}) + 1 + 1)$

Etapa 5.12.3.3

Mova o número negativo para a frente da fração.

$\frac{13}{9} (- (\frac{1}{3} - - \frac{1}{3}) + 1 + 1)$

Etapa 5.12.3.4

Multiplique $- 1$ por $- 1$ .

$\frac{13}{9} (- (\frac{1}{3} + 1 (\frac{1}{3})) + 1 + 1)$

Etapa 5.12.3.5

Multiplique $\frac{1}{3}$ por $1$ .

$\frac{13}{9} (- (\frac{1}{3} + \frac{1}{3}) + 1 + 1)$

Etapa 5.12.3.6

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{13}{9} (- \frac{1 + 1}{3} + 1 + 1)$

Etapa 5.12.3.7

Some $1$ e $1$ .

$\frac{13}{9} (- \frac{2}{3} + 1 + 1)$

Etapa 5.12.3.8

Some $1$ e $1$ .

$\frac{13}{9} (- \frac{2}{3} + 2)$

Etapa 5.12.3.9

Para escrever $2$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{3}{3}$ .

$\frac{13}{9} (- \frac{2}{3} + 2 \cdot \frac{3}{3})$

Etapa 5.12.3.10

Combine $2$ e $\frac{3}{3}$ .

$\frac{13}{9} (- \frac{2}{3} + \frac{2 \cdot 3}{3})$

Etapa 5.12.3.11

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{13}{9} \cdot \frac{- 2 + 2 \cdot 3}{3}$

Etapa 5.12.3.12

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.12.3.12.1

Multiplique $2$ por $3$ .

$\frac{13}{9} \cdot \frac{- 2 + 6}{3}$

Etapa 5.12.3.12.2

Some $- 2$ e $6$ .

$\frac{13}{9} \cdot \frac{4}{3}$

Etapa 5.12.3.13

Multiplique $\frac{13}{9}$ por $\frac{4}{3}$ .

$\frac{13 \cdot 4}{9 \cdot 3}$

Etapa 5.12.3.14

Multiplique $13$ por $4$ .

$\frac{52}{9 \cdot 3}$

Etapa 5.12.3.15

Multiplique $9$ por $3$ .

$\frac{52}{27}$

Etapa 6