Cálculo Exemplos

$y = \frac{1}{x}$ , $y = \frac{1}{x^{2}}$ , $x = 2$

Etapa 1

Resolva por substituição para encontrar a intersecção entre as curvas.

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Etapa 1.1

Elimine os lados iguais de cada equação e combine.

$\frac{1}{x} = \frac{1}{x^{2}}$

Etapa 1.2

Resolva $\frac{1}{x} = \frac{1}{x^{2}}$ para $x$ .

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Etapa 1.2.1

Encontre o MMC dos termos na equação.

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Etapa 1.2.1.1

Encontrar o MMC de uma lista de valores é o mesmo que encontrar o MMC dos denominadores desses valores.

$x, x^{2} + y = \frac{1}{x^{2}}$

Etapa 1.2.1.2

Since $x, x^{2}$ contains both numbers and variables, there are two steps to find the LCM. Find LCM for the numeric part $1, 1$ then find LCM for the variable part $x^{1}, x^{2}$ .

Etapa 1.2.1.3

O MMC é o menor número positivo pelo qual todos os números se dividem uniformemente.

$1$ Liste os fatores primos de cada número.

Etapa 1.2.1.4

O número $1$ não é primo porque tem apenas um fator positivo, que é ele mesmo.

Não é primo

Etapa 1.2.1.5

O MMC de $1, 1$ é o resultado da multiplicação de todos os fatores primos pelo maior número de vezes que eles ocorrem em qualquer um dos números.

$1 + y = \frac{1}{x^{2}}$

Etapa 1.2.1.6

O fator de $x^{1}$ é o próprio $x$ .

$x = x$

Etapa 1.2.1.7

Os fatores para $x^{2}$ são $x \cdot x$ , que é $x$ multiplicado um pelo outro $2$ vezes.

$x^{2} = x \cdot x$

Etapa 1.2.1.8

O MMC de $x^{1}, x^{2}$ é o resultado da multiplicação de todos os fatores primos pelo maior número de vezes que eles ocorrem em qualquer um dos termos.

$x \cdot x + y = \frac{1}{x^{2}}$

Etapa 1.2.1.9

Multiplique $x$ por $x$ .

$x^{2} + y = \frac{1}{x^{2}}$

Etapa 1.2.2

Multiplique cada termo em $\frac{1}{x} = \frac{1}{x^{2}}$ por $x^{2}$ para eliminar as frações.

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Etapa 1.2.2.1

Multiplique cada termo em $\frac{1}{x} = \frac{1}{x^{2}}$ por $x^{2}$ .

$\frac{1}{x} x^{2} = \frac{1}{x^{2}} x^{2}$

Etapa 1.2.2.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 1.2.2.2.1

Cancele o fator comum de $x$ .

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Etapa 1.2.2.2.1.1

Fatore $x$ de $x^{2}$ .

$\frac{1}{x} (x \cdot x) = \frac{1}{x^{2}} x^{2}$

Etapa 1.2.2.2.1.2

Cancele o fator comum.

$\frac{1}{x} (x \cdot x) = \frac{1}{x^{2}} x^{2}$

Etapa 1.2.2.2.1.3

Reescreva a expressão.

$x = \frac{1}{x^{2}} x^{2}$

Etapa 1.2.2.3

Simplifique o lado direito.

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Etapa 1.2.2.3.1

Cancele o fator comum de $x^{2}$ .

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Etapa 1.2.2.3.1.1

Cancele o fator comum.

$x = \frac{1}{x^{2}} x^{2}$

Etapa 1.2.2.3.1.2

Reescreva a expressão.

$x = 1$

Etapa 1.3

Avalie $y$ quando $x = 1$ .

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Etapa 1.3.1

Substitua $1$ por $x$ .

$y = \frac{1}{{(1)}^{2}}$

Etapa 1.3.2

Substitua $1$ por $x$ em $y = \frac{1}{{(1)}^{2}}$ e resolva $y$ .

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Etapa 1.3.2.1

Remova os parênteses.

$y = \frac{1}{1^{2}}$

Etapa 1.3.2.2

Simplifique $\frac{1}{1^{2}}$ .

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Etapa 1.3.2.2.1

Um elevado a qualquer potência é um.

$y = \frac{1}{1}$

Etapa 1.3.2.2.2

Divida $1$ por $1$ .

$y = 1$

Etapa 1.4

A solução para o sistema é o conjunto completo de pares ordenados que são soluções válidas.

$(1, 1)$

Etapa 2

A área da região entre as curvas é definida como a integral da curva superior menos a integral da curva inferior sobre cada região. As regiões são determinadas pelos pontos de intersecção das curvas. É possível fazer isso de forma algébrica ou gráfica.

$A r e a = \int_{1}^{2} \frac{1}{x} d x - \int_{1}^{2} \frac{1}{x^{2}} d x$

Etapa 3

Integre para encontrar a área entre $1$ e $2$ .

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Etapa 3.1

Combine as integrais em uma única integral.

$\int_{1}^{2} \frac{1}{x} - (\frac{1}{x^{2}}) d x$

Etapa 3.2

Multiplique $- 1$ por $\frac{1}{x^{2}}$ .

$\int_{1}^{2} \frac{1}{x} - \frac{1}{x^{2}} d x$

Etapa 3.3

Divida a integral única em várias integrais.

$\int_{1}^{2} \frac{1}{x} d x + \int_{1}^{2} - \frac{1}{x^{2}} d x$

Etapa 3.4

A integral de $\frac{1}{x}$ com relação a $x$ é $\ln (| x |)$ .

$\ln (| x |)]_{1}^{2} + \int_{1}^{2} - \frac{1}{x^{2}} d x$

Etapa 3.5

Como $- 1$ é constante com relação a $x$ , mova $- 1$ para fora da integral.

$\ln (| x |)]_{1}^{2} - \int_{1}^{2} \frac{1}{x^{2}} d x$

Etapa 3.6

Aplique regras básicas de expoentes.

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Etapa 3.6.1

Mova $x^{2}$ para fora do denominador, elevando-o à $- 1$ potência.

$\ln (| x |)]_{1}^{2} - \int_{1}^{2} {(x^{2})}^{- 1} d x$

Etapa 3.6.2

Multiplique os expoentes em ${(x^{2})}^{- 1}$ .

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Etapa 3.6.2.1

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\ln (| x |)]_{1}^{2} - \int_{1}^{2} x^{2 \cdot - 1} d x$

Etapa 3.6.2.2

Multiplique $2$ por $- 1$ .

$\ln (| x |)]_{1}^{2} - \int_{1}^{2} x^{- 2} d x$

Etapa 3.7

De acordo com a regra da multiplicação de potências, a integral de $x^{- 2}$ com relação a $x$ é $- x^{- 1}$ .

$\ln (| x |)]_{1}^{2} - (- x^{- 1}]_{1}^{2})$

Etapa 3.8

Simplifique a resposta.

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Etapa 3.8.1

Substitua e simplifique.

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Etapa 3.8.1.1

Avalie $\ln (| x |)$ em $2$ e em $1$ .

$(\ln (| 2 |)) - \ln (| 1 |) - (- x^{- 1}]_{1}^{2})$

Etapa 3.8.1.2

Avalie $- x^{- 1}$ em $2$ e em $1$ .

$\ln (| 2 |) - \ln (| 1 |) - (- 2^{- 1} + 1^{- 1})$

Etapa 3.8.1.3

Simplifique.

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Etapa 3.8.1.3.1

Reescreva a expressão usando a regra do expoente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\ln (| 2 |) - \ln (| 1 |) - (- \frac{1}{2} + 1^{- 1})$

Etapa 3.8.1.3.2

Um elevado a qualquer potência é um.

$\ln (| 2 |) - \ln (| 1 |) - (- \frac{1}{2} + 1)$

Etapa 3.8.1.3.3

Escreva $1$ como uma fração com um denominador comum.

$\ln (| 2 |) - \ln (| 1 |) - (- \frac{1}{2} + \frac{2}{2})$

Etapa 3.8.1.3.4

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\ln (| 2 |) - \ln (| 1 |) - \frac{- 1 + 2}{2}$

Etapa 3.8.1.3.5

Some $- 1$ e $2$ .

$\ln (| 2 |) - \ln (| 1 |) - \frac{1}{2}$

Etapa 3.8.2

Use a propriedade dos logaritmos do quociente, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$\ln (\frac{| 2 |}{| 1 |}) - \frac{1}{2}$

Etapa 3.8.3

Simplifique.

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Etapa 3.8.3.1

O valor absoluto é a distância entre um número e zero. A distância entre $0$ e $2$ é $2$ .

$\ln (\frac{2}{| 1 |}) - \frac{1}{2}$

Etapa 3.8.3.2

O valor absoluto é a distância entre um número e zero. A distância entre $0$ e $1$ é $1$ .

$\ln (\frac{2}{1}) - \frac{1}{2}$

Etapa 3.8.3.3

Divida $2$ por $1$ .

$\ln (2) - \frac{1}{2}$

Etapa 4