Cálculo Exemplos

$y = \frac{1}{x}$ ; $x = 1$ ; $y = \frac{1}{2}$ ; $x = 0$

Etapa 1

Resolva por substituição para encontrar a intersecção entre as curvas.

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Etapa 1.1

Elimine os lados iguais de cada equação e combine.

$\frac{1}{x} = \frac{1}{2}$

Etapa 1.2

Resolva $\frac{1}{x} = \frac{1}{2}$ para $x$ .

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Etapa 1.2.1

Encontre o MMC dos termos na equação.

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Etapa 1.2.1.1

Encontrar o MMC de uma lista de valores é o mesmo que encontrar o MMC dos denominadores desses valores.

$x, 2 + y = \frac{1}{2}$

Etapa 1.2.1.2

Since $x, 2$ contains both numbers and variables, there are two steps to find the LCM. Find LCM for the numeric part $1, 2$ then find LCM for the variable part $x^{1}$ .

Etapa 1.2.1.3

O MMC é o menor número positivo pelo qual todos os números se dividem uniformemente.

$1$ Liste os fatores primos de cada número.

Etapa 1.2.1.4

O número $1$ não é primo porque tem apenas um fator positivo, que é ele mesmo.

Não é primo

Etapa 1.2.1.5

Como $2$ não tem fatores além de $1$ e $2$ .

$2$ é um número primo

Etapa 1.2.1.6

O MMC de $1, 2$ é o resultado da multiplicação de todos os fatores primos pelo maior número de vezes que eles ocorrem em qualquer um dos números.

$2 + y = \frac{1}{2}$

Etapa 1.2.1.7

O fator de $x^{1}$ é o próprio $x$ .

$x = x$

Etapa 1.2.1.8

O MMC de $x^{1}$ é o resultado da multiplicação de todos os fatores primos pelo maior número de vezes que eles ocorrem em qualquer um dos termos.

$x + y = \frac{1}{2}$

Etapa 1.2.1.9

O MMC de $x, 2$ é a parte numérica $2$ multiplicada pela parte variável.

$2 x + y = \frac{1}{2}$

Etapa 1.2.2

Multiplique cada termo em $\frac{1}{x} = \frac{1}{2}$ por $2 x$ para eliminar as frações.

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Etapa 1.2.2.1

Multiplique cada termo em $\frac{1}{x} = \frac{1}{2}$ por $2 x$ .

$\frac{1}{x} (2 x) = \frac{1}{2} (2 x)$

Etapa 1.2.2.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 1.2.2.2.1

Reescreva usando a propriedade comutativa da multiplicação.

$2 \frac{1}{x} x = \frac{1}{2} (2 x)$

Etapa 1.2.2.2.2

Combine $2$ e $\frac{1}{x}$ .

$\frac{2}{x} x = \frac{1}{2} (2 x)$

Etapa 1.2.2.2.3

Cancele o fator comum de $x$ .

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Etapa 1.2.2.2.3.1

Cancele o fator comum.

$\frac{2}{x} x = \frac{1}{2} (2 x)$

Etapa 1.2.2.2.3.2

Reescreva a expressão.

$2 = \frac{1}{2} (2 x)$

Etapa 1.2.2.3

Simplifique o lado direito.

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Etapa 1.2.2.3.1

Cancele o fator comum de $2$ .

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Etapa 1.2.2.3.1.1

Fatore $2$ de $2 x$ .

$2 = \frac{1}{2} (2 (x))$

Etapa 1.2.2.3.1.2

Cancele o fator comum.

$2 = \frac{1}{2} (2 x)$

Etapa 1.2.2.3.1.3

Reescreva a expressão.

$2 = x$

Etapa 1.2.3

Reescreva a equação como $x = 2$ .

$x = 2$

Etapa 1.3

Substitua $2$ por $x$ .

$y = \frac{1}{2}$

Etapa 1.4

A solução para o sistema é o conjunto completo de pares ordenados que são soluções válidas.

$(2, \frac{1}{2})$

Etapa 2

A área da região entre as curvas é definida como a integral da curva superior menos a integral da curva inferior sobre cada região. As regiões são determinadas pelos pontos de intersecção das curvas. É possível fazer isso de forma algébrica ou gráfica.

$A r e a = \int_{0}^{1} \frac{1}{x} d x - \int_{0}^{1} \frac{1}{2} d x$

Etapa 3

Integre para encontrar a área entre $0$ e $1$ .

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Etapa 3.1

Combine as integrais em uma única integral.

$\int_{0}^{1} \frac{1}{x} - (\frac{1}{2}) d x$

Etapa 3.2

Multiplique $- 1$ por $\frac{1}{2}$ .

$\int_{0}^{1} \frac{1}{x} - \frac{1}{2} d x$

Etapa 3.3

Divida a integral única em várias integrais.

$\int_{0}^{1} \frac{1}{x} d x + \int_{0}^{1} - \frac{1}{2} d x$

Etapa 3.4

A integral de $\frac{1}{x}$ com relação a $x$ é $\ln (| x |)$ .

$\ln (| x |)]_{0}^{1} + \int_{0}^{1} - \frac{1}{2} d x$

Etapa 3.5

Aplique a regra da constante.

$\ln (| x |)]_{0}^{1} + - \frac{1}{2} x]_{0}^{1}$

Etapa 3.6

Simplifique a resposta.

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Etapa 3.6.1

Combine $\ln (| x |)]_{0}^{1}$ e $- \frac{1}{2} x]_{0}^{1}$ .

$\ln (| x |) - \frac{1}{2} x]_{0}^{1}$

Etapa 3.6.2

Substitua e simplifique.

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Etapa 3.6.2.1

Avalie $\ln (| x |) - \frac{1}{2} x$ em $1$ e em $0$ .

$(\ln (| 1 |) - \frac{1}{2} \cdot 1) - (\ln (| 0 |) - \frac{1}{2} \cdot 0)$

Etapa 3.6.2.2

Simplifique.

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Etapa 3.6.2.2.1

Multiplique $- 1$ por $1$ .

$\ln (| 1 |) - \frac{1}{2} - (\ln (| 0 |) - \frac{1}{2} \cdot 0)$

Etapa 3.6.2.2.2

Multiplique $0$ por $- 1$ .

$\ln (| 1 |) - \frac{1}{2} - (\ln (| 0 |) + 0 (\frac{1}{2}))$

Etapa 3.6.2.2.3

Multiplique $0$ por $\frac{1}{2}$ .

$\ln (| 1 |) - \frac{1}{2} - (\ln (| 0 |) + 0)$

Etapa 3.6.2.2.4

Some $\ln (| 0 |)$ e $0$ .

$\ln (| 1 |) - \frac{1}{2} - \ln (| 0 |)$

Etapa 3.6.3

Use a propriedade dos logaritmos do quociente, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$\ln (\frac{| 1 |}{| 0 |}) - \frac{1}{2}$

Etapa 3.6.4

Simplifique.

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Etapa 3.6.4.1

O valor absoluto é a distância entre um número e zero. A distância entre $0$ e $0$ é $0$ .

$\ln (\frac{| 1 |}{0}) - \frac{1}{2}$

Etapa 3.6.4.2

A expressão contém uma divisão por $0$ . A expressão é indefinida.

Indefinido

$\ln (\frac{| 1 |}{0}) - \frac{1}{2}$

Etapa 3.6.5

A expressão contém uma divisão por $0$ . A expressão é indefinida.

Indefinido

$\ln (\frac{| 1 |}{0}) - \frac{1}{2}$

Etapa 3.7

A expressão contém uma divisão por $0$ . A expressão é indefinida.

Indefinido

Etapa 4