Cálculo Exemplos

$x = 4$ , $x = - 4$ , $y = - \sqrt{16 - x^{2}}$ , $y = \sqrt{16 - x^{2}}$

Etapa 1

Resolva por substituição para encontrar a intersecção entre as curvas.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1

Elimine os lados iguais de cada equação e combine.

$- \sqrt{16 - x^{2}} = \sqrt{16 - x^{2}}$

Etapa 1.2

Resolva $- \sqrt{16 - x^{2}} = \sqrt{16 - x^{2}}$ para $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.1

Resolva $\sqrt{16 - x^{2}}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.1.1

Mova todos os termos que contêm $\sqrt{16 - x^{2}}$ para o lado esquerdo da equação.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.1.1.1

Subtraia $\sqrt{16 - x^{2}}$ dos dois lados da equação.

$- \sqrt{16 - x^{2}} - \sqrt{16 - x^{2}} = 0$

Etapa 1.2.1.1.2

Subtraia $\sqrt{16 - x^{2}}$ de $- \sqrt{16 - x^{2}}$ .

$- 2 \sqrt{16 - x^{2}} = 0$

Etapa 1.2.1.2

Divida cada termo em $- 2 \sqrt{16 - x^{2}} = 0$ por $- 2$ e simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.1.2.1

Divida cada termo em $- 2 \sqrt{16 - x^{2}} = 0$ por $- 2$ .

$\frac{- 2 \sqrt{16 - x^{2}}}{- 2} = \frac{0}{- 2}$

Etapa 1.2.1.2.2

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.1.2.2.1

Cancele o fator comum de $- 2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.1.2.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{- 2 \sqrt{16 - x^{2}}}{- 2} = \frac{0}{- 2}$

Etapa 1.2.1.2.2.1.2

Divida $\sqrt{16 - x^{2}}$ por $1$ .

$\sqrt{16 - x^{2}} = \frac{0}{- 2}$

Etapa 1.2.1.2.3

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.1.2.3.1

Divida $0$ por $- 2$ .

$\sqrt{16 - x^{2}} = 0$

Etapa 1.2.2

Para remover o radical no lado esquerdo da equação, eleve ao quadrado os dois lados da equação.

${\sqrt{16 - x^{2}}}^{2} = 0^{2}$

Etapa 1.2.3

Simplifique cada lado da equação.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.3.1

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt{16 - x^{2}}$ como ${(16 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ .

${({(16 - x^{2})}^{\frac{1}{2}})}^{2} = 0^{2}$

Etapa 1.2.3.2

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.3.2.1

Simplifique ${({(16 - x^{2})}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.3.2.1.1

Multiplique os expoentes em ${({(16 - x^{2})}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.3.2.1.1.1

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

${(16 - x^{2})}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = 0^{2}$

Etapa 1.2.3.2.1.1.2

Cancele o fator comum de $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.3.2.1.1.2.1

Cancele o fator comum.

${(16 - x^{2})}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = 0^{2}$

Etapa 1.2.3.2.1.1.2.2

Reescreva a expressão.

${(16 - x^{2})}^{1} = 0^{2}$

Etapa 1.2.3.2.1.2

Simplifique.

$16 - x^{2} = 0^{2}$

Etapa 1.2.3.3

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.3.3.1

Elevar $0$ a qualquer potência positiva produz $0$ .

$16 - x^{2} = 0$

Etapa 1.2.4

Resolva $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.4.1

Subtraia $16$ dos dois lados da equação.

$- x^{2} = - 16$

Etapa 1.2.4.2

Divida cada termo em $- x^{2} = - 16$ por $- 1$ e simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.4.2.1

Divida cada termo em $- x^{2} = - 16$ por $- 1$ .

$\frac{- x^{2}}{- 1} = \frac{- 16}{- 1}$

Etapa 1.2.4.2.2

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.4.2.2.1

Dividir dois valores negativos resulta em um valor positivo.

$\frac{x^{2}}{1} = \frac{- 16}{- 1}$

Etapa 1.2.4.2.2.2

Divida $x^{2}$ por $1$ .

$x^{2} = \frac{- 16}{- 1}$

Etapa 1.2.4.2.3

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.4.2.3.1

Divida $- 16$ por $- 1$ .

$x^{2} = 16$

Etapa 1.2.4.3

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{16}$

Etapa 1.2.4.4

Simplifique $\pm \sqrt{16}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.4.4.1

Reescreva $16$ como $4^{2}$ .

$x = \pm \sqrt{4^{2}}$

Etapa 1.2.4.4.2

Elimine os termos abaixo do radical, presumindo que sejam números reais positivos.

$x = \pm 4$

Etapa 1.2.4.5

A solução completa é resultado das partes positiva e negativa da solução.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.4.5.1

Primeiro, use o valor positivo de $\pm$ para encontrar a primeira solução.

$x = 4$

Etapa 1.2.4.5.2

Depois, use o valor negativo de $\pm$ para encontrar a segunda solução.

$x = - 4$

Etapa 1.2.4.5.3

A solução completa é resultado das partes positiva e negativa da solução.

$x = 4, - 4$

Etapa 1.3

Avalie $y$ quando $x = 4$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.3.1

Substitua $4$ por $x$ .

$y = \sqrt{16 - {(4)}^{2}}$

Etapa 1.3.2

Simplifique $\sqrt{16 - {(4)}^{2}}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.3.2.1

Eleve $4$ à potência de $2$ .

$y = \sqrt{16 - 1 \cdot 16}$

Etapa 1.3.2.2

Multiplique $- 1$ por $16$ .

$y = \sqrt{16 - 16}$

Etapa 1.3.2.3

Subtraia $16$ de $16$ .

$y = \sqrt{0}$

Etapa 1.3.2.4

Reescreva $0$ como $0^{2}$ .

$y = \sqrt{0^{2}}$

Etapa 1.3.2.5

Elimine os termos abaixo do radical, presumindo que sejam números reais positivos.

$y = 0$

Etapa 1.4

A solução para o sistema é o conjunto completo de pares ordenados que são soluções válidas.

$(4, 0)$

$(- 4, 0)$

$(4, 0)$

$(- 4, 0)$

Etapa 2

Simplifique $- \sqrt{16 - x^{2}}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1

Reescreva $16$ como $4^{2}$ .

$y = - \sqrt{4^{2} - x^{2}}$

Etapa 2.2

Como os dois termos são quadrados perfeitos, fatore usando a fórmula da diferença de quadrados, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ em que $a = 4$ e $b = x$ .

$y = - \sqrt{(4 + x) (4 - x)}$

Etapa 3

Simplifique $\sqrt{16 - x^{2}}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.1

Reescreva $16$ como $4^{2}$ .

$y = \sqrt{4^{2} - x^{2}}$

Etapa 3.2

Como os dois termos são quadrados perfeitos, fatore usando a fórmula da diferença de quadrados, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ em que $a = 4$ e $b = x$ .

$y = \sqrt{(4 + x) (4 - x)}$

Etapa 4

A área da região entre as curvas é definida como a integral da curva superior menos a integral da curva inferior sobre cada região. As regiões são determinadas pelos pontos de intersecção das curvas. É possível fazer isso de forma algébrica ou gráfica.

$A r e a = \int_{- 4}^{4} \sqrt{(4 + x) (4 - x)} d x - \int_{- 4}^{4} - \sqrt{(4 + x) (4 - x)} d x$

Etapa 5

Integre para encontrar a área entre $- 4$ e $4$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.1

Combine as integrais em uma única integral.

$\int_{- 4}^{4} \sqrt{(4 + x) (4 - x)} - (- \sqrt{(4 + x) (4 - x)}) d x$

Etapa 5.2

Multiplique $- (- \sqrt{(4 + x) (4 - x)})$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.2.1

Multiplique $- 1$ por $- 1$ .

$\sqrt{(4 + x) (4 - x)} + 1 \sqrt{(4 + x) (4 - x)}$

Etapa 5.2.2

Multiplique $\sqrt{(4 + x) (4 - x)}$ por $1$ .

$\sqrt{(4 + x) (4 - x)} + \sqrt{(4 + x) (4 - x)}$

$\int_{- 4}^{4} \sqrt{(4 + x) (4 - x)} + \sqrt{(4 + x) (4 - x)} d x$

Etapa 5.3

Some $\sqrt{(4 + x) (4 - x)}$ e $\sqrt{(4 + x) (4 - x)}$ .

$\int_{- 4}^{4} 2 \sqrt{(4 + x) (4 - x)} d x$

Etapa 5.4

Como $2$ é constante com relação a $x$ , mova $2$ para fora da integral.

$2 \int_{- 4}^{4} \sqrt{(4 + x) (4 - x)} d x$

Etapa 5.5

Complete o quadrado.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.5.1

Simplifique a expressão.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.5.1.1

Expanda $(4 + x) (4 - x)$ usando o método FOIL.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.5.1.1.1

Aplique a propriedade distributiva.

$4 (4 - x) + x (4 - x)$

Etapa 5.5.1.1.2

Aplique a propriedade distributiva.

$4 \cdot 4 + 4 (- x) + x (4 - x)$

Etapa 5.5.1.1.3

Aplique a propriedade distributiva.

$4 \cdot 4 + 4 (- x) + x \cdot 4 + x (- x)$

Etapa 5.5.1.2

Simplifique e combine termos semelhantes.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.5.1.2.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.5.1.2.1.1

Multiplique $4$ por $4$ .

$16 + 4 (- x) + x \cdot 4 + x (- x)$

Etapa 5.5.1.2.1.2

Multiplique $- 1$ por $4$ .

$16 - 4 x + x \cdot 4 + x (- x)$

Etapa 5.5.1.2.1.3

Mova $4$ para a esquerda de $x$ .

$16 - 4 x + 4 \cdot x + x (- x)$

Etapa 5.5.1.2.1.4

Reescreva usando a propriedade comutativa da multiplicação.

$16 - 4 x + 4 x - x \cdot x$

Etapa 5.5.1.2.1.5

Multiplique $x$ por $x$ somando os expoentes.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.5.1.2.1.5.1

Mova $x$ .

$16 - 4 x + 4 x - (x \cdot x)$

Etapa 5.5.1.2.1.5.2

Multiplique $x$ por $x$ .

$16 - 4 x + 4 x - x^{2}$

Etapa 5.5.1.2.2

Some $- 4 x$ e $4 x$ .

$16 + 0 - x^{2}$

Etapa 5.5.1.2.3

Some $16$ e $0$ .

$16 - x^{2}$

Etapa 5.5.1.3

Reordene $16$ e $- x^{2}$ .

$- x^{2} + 16$

Etapa 5.5.2

Use a forma $a x^{2} + b x + c$ para encontrar os valores de $a$ , $b$ e $c$ .

$a = - 1$

$b = 0$

$c = 16$

Etapa 5.5.3

Considere a forma de vértice de uma parábola.

$a {(x + d)}^{2} + e$

Etapa 5.5.4

Encontre o valor de $d$ usando a fórmula $d = \frac{b}{2 a}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.5.4.1

Substitua os valores de $a$ e $b$ na fórmula $d = \frac{b}{2 a}$ .

$d = \frac{0}{2 \cdot - 1}$

Etapa 5.5.4.2

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.5.4.2.1

Cancele o fator comum de $0$ e $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.5.4.2.1.1

Fatore $2$ de $0$ .

$d = \frac{2 (0)}{2 \cdot - 1}$

Etapa 5.5.4.2.1.2

Mova o número negativo do denominador de $\frac{0}{- 1}$ .

$d = - 1 \cdot 0$

Etapa 5.5.4.2.2

Reescreva $- 1 \cdot 0$ como $- 0$ .

$d = - 0$

Etapa 5.5.4.2.3

Multiplique $- 1$ por $0$ .

$d = 0$

Etapa 5.5.5

Encontre o valor de $e$ usando a fórmula $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.5.5.1

Substitua os valores de $c$ , $b$ e $a$ na fórmula $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

$e = 16 - \frac{0^{2}}{4 \cdot - 1}$

Etapa 5.5.5.2

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.5.5.2.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.5.5.2.1.1

Elevar $0$ a qualquer potência positiva produz $0$ .

$e = 16 - \frac{0}{4 \cdot - 1}$

Etapa 5.5.5.2.1.2

Multiplique $4$ por $- 1$ .

$e = 16 - \frac{0}{- 4}$

Etapa 5.5.5.2.1.3

Divida $0$ por $- 4$ .

$e = 16 - 0$

Etapa 5.5.5.2.1.4

Multiplique $- 1$ por $0$ .

$e = 16 + 0$

Etapa 5.5.5.2.2

Some $16$ e $0$ .

$e = 16$

Etapa 5.5.6

Substitua os valores de $a$ , $d$ e $e$ na forma do vértice $- {(x + 0)}^{2} + 16$ .

$2 \int_{- 4}^{4} \sqrt{- {(x + 0)}^{2} + 16} d x$

Etapa 5.6

Deixe $u_{1} = x + 0$ . Depois, $d u_{1} = d x$ . Reescreva usando $u_{1}$ e $d$ $u_{1}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.6.1

Deixe $u_{1} = x + 0$ . Encontre $\frac{d u_{1}}{d x}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.6.1.1

Diferencie $x + 0$ .

$\frac{d}{d x} [x + 0]$

Etapa 5.6.1.2

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x + 0$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [0]$ .

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [0]$

Etapa 5.6.1.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d x} [0]$

Etapa 5.6.1.4

Como $0$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $0$ em relação a $x$ é $0$ .

$1 + 0$

Etapa 5.6.1.5

Some $1$ e $0$ .

$1$

Etapa 5.6.2

Substitua o limite inferior por $x$ em $u_{1} = x + 0$ .

$u_{lower} = - 4 + 0$

Etapa 5.6.3

Some $- 4$ e $0$ .

$u_{lower} = - 4$

Etapa 5.6.4

Substitua o limite superior por $x$ em $u_{1} = x + 0$ .

$u_{upper} = 4 + 0$

Etapa 5.6.5

Some $4$ e $0$ .

$u_{upper} = 4$

Etapa 5.6.6

Os valores encontrados para $u_{lower}$ e $u_{upper}$ serão usados para avaliar a integral definida.

$u_{lower} = - 4$

$u_{upper} = 4$

Etapa 5.6.7

Reescreva o problema usando $u_{1}$ , $d u_{1}$ e os novos limites de integração.

$2 \int_{- 4}^{4} \sqrt{- {u_{1}}^{2} + 16} d u_{1}$

Etapa 5.7

Deixe $u_{1} = 4 \sin (t)$ , em que $- \frac{π}{2} \leq t \leq \frac{π}{2}$ . Depois, $d u_{1} = 4 \cos (t) d t$ . Como $- \frac{π}{2} \leq t \leq \frac{π}{2}$ , $4 \cos (t)$ é positivo.

$2 \int_{- \frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}} \sqrt{- {(4 \sin (t))}^{2} + 16} (4 \cos (t)) d t$

Etapa 5.8

Simplifique os termos.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.8.1

Simplifique $\sqrt{- {(4 \sin (t))}^{2} + 16}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.8.1.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.8.1.1.1

Aplique a regra do produto a $4 \sin (t)$ .

$2 \int_{- \frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}} \sqrt{- (4^{2} \sin^{2} (t)) + 16} (4 \cos (t)) d t$

Etapa 5.8.1.1.2

Eleve $4$ à potência de $2$ .

$2 \int_{- \frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}} \sqrt{- (16 \sin^{2} (t)) + 16} (4 \cos (t)) d t$

Etapa 5.8.1.1.3

Multiplique $16$ por $- 1$ .

$2 \int_{- \frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}} \sqrt{- 16 \sin^{2} (t) + 16} (4 \cos (t)) d t$

Etapa 5.8.1.2

Reordene $- 16 \sin^{2} (t)$ e $16$ .

$2 \int_{- \frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}} \sqrt{16 - 16 \sin^{2} (t)} (4 \cos (t)) d t$

Etapa 5.8.1.3

Fatore $16$ de $16$ .

$2 \int_{- \frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}} \sqrt{16 (1) - 16 \sin^{2} (t)} (4 \cos (t)) d t$

Etapa 5.8.1.4

Fatore $16$ de $- 16 \sin^{2} (t)$ .

$2 \int_{- \frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}} \sqrt{16 (1) + 16 (- \sin^{2} (t))} (4 \cos (t)) d t$

Etapa 5.8.1.5

Fatore $16$ de $16 (1) + 16 (- \sin^{2} (t))$ .

$2 \int_{- \frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}} \sqrt{16 (1 - \sin^{2} (t))} (4 \cos (t)) d t$

Etapa 5.8.1.6

Aplique a identidade trigonométrica fundamental.

$2 \int_{- \frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}} \sqrt{16 \cos^{2} (t)} (4 \cos (t)) d t$

Etapa 5.8.1.7

Reescreva $16 \cos^{2} (t)$ como ${(4 \cos (t))}^{2}$ .

$2 \int_{- \frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}} \sqrt{{(4 \cos (t))}^{2}} (4 \cos (t)) d t$

Etapa 5.8.1.8

Elimine os termos abaixo do radical, presumindo que sejam números reais positivos.

$2 \int_{- \frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}} 4 \cos (t) (4 \cos (t)) d t$

Etapa 5.8.2

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.8.2.1

Multiplique $4$ por $4$ .

$2 \int_{- \frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}} 16 \cos (t) \cos (t) d t$

Etapa 5.8.2.2

Eleve $\cos (t)$ à potência de $1$ .

$2 \int_{- \frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}} 16 (\cos^{1} (t) \cos (t)) d t$

Etapa 5.8.2.3

Eleve $\cos (t)$ à potência de $1$ .

$2 \int_{- \frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}} 16 (\cos^{1} (t) \cos^{1} (t)) d t$

Etapa 5.8.2.4

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$2 \int_{- \frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}} 16 {\cos (t)}^{1 + 1} d t$

Etapa 5.8.2.5

Some $1$ e $1$ .

$2 \int_{- \frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}} 16 \cos^{2} (t) d t$

Etapa 5.9

Como $16$ é constante com relação a $t$ , mova $16$ para fora da integral.

$2 (16 \int_{- \frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}} \cos^{2} (t) d t)$

Etapa 5.10

Multiplique $16$ por $2$ .

$32 \int_{- \frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}} \cos^{2} (t) d t$

Etapa 5.11

Use a fórmula do arco metade para reescrever $\cos^{2} (t)$ como $\frac{1 + \cos (2 t)}{2}$ .

$32 \int_{- \frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}} \frac{1 + \cos (2 t)}{2} d t$

Etapa 5.12

Como $\frac{1}{2}$ é constante com relação a $t$ , mova $\frac{1}{2}$ para fora da integral.

$32 (\frac{1}{2} \int_{- \frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}} 1 + \cos (2 t) d t)$

Etapa 5.13

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.13.1

Combine $\frac{1}{2}$ e $32$ .

$\frac{32}{2} \int_{- \frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}} 1 + \cos (2 t) d t$

Etapa 5.13.2

Cancele o fator comum de $32$ e $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.13.2.1

Fatore $2$ de $32$ .

$\frac{2 \cdot 16}{2} \int_{- \frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}} 1 + \cos (2 t) d t$

Etapa 5.13.2.2

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.13.2.2.1

Fatore $2$ de $2$ .

$\frac{2 \cdot 16}{2 (1)} \int_{- \frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}} 1 + \cos (2 t) d t$

Etapa 5.13.2.2.2

Cancele o fator comum.

$\frac{2 \cdot 16}{2 \cdot 1} \int_{- \frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}} 1 + \cos (2 t) d t$

Etapa 5.13.2.2.3

Reescreva a expressão.

$\frac{16}{1} \int_{- \frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}} 1 + \cos (2 t) d t$

Etapa 5.13.2.2.4

Divida $16$ por $1$ .

$16 \int_{- \frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}} 1 + \cos (2 t) d t$

Etapa 5.14

Divida a integral única em várias integrais.

$16 (\int_{- \frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}} d t + \int_{- \frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}} \cos (2 t) d t)$

Etapa 5.15

Aplique a regra da constante.

$16 (t]_{- \frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}} + \int_{- \frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}} \cos (2 t) d t)$

Etapa 5.16

Deixe $u_{2} = 2 t$ . Depois, $d u_{2} = 2 d t$ , então, $\frac{1}{2} d u_{2} = d t$ . Reescreva usando $u_{2}$ e $d$ $u_{2}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.16.1

Deixe $u_{2} = 2 t$ . Encontre $\frac{d u_{2}}{d t}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.16.1.1

Diferencie $2 t$ .

$\frac{d}{d t} [2 t]$

Etapa 5.16.1.2

Como $2$ é constante em relação a $t$ , a derivada de $2 t$ em relação a $t$ é $2 \frac{d}{d t} [t]$ .

$2 \frac{d}{d t} [t]$

Etapa 5.16.1.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ é $n t^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$2 \cdot 1$

Etapa 5.16.1.4

Multiplique $2$ por $1$ .

$2$

Etapa 5.16.2

Substitua o limite inferior por $t$ em $u_{2} = 2 t$ .

$u_{lower} = 2 (- \frac{π}{2})$

Etapa 5.16.3

Cancele o fator comum de $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.16.3.1

Mova o negativo de maior ordem em $- \frac{π}{2}$ para o numerador.

$u_{lower} = 2 \frac{- π}{2}$

Etapa 5.16.3.2

Cancele o fator comum.

$u_{lower} = 2 \frac{- π}{2}$

Etapa 5.16.3.3

Reescreva a expressão.

$u_{lower} = - π$

Etapa 5.16.4

Substitua o limite superior por $t$ em $u_{2} = 2 t$ .

$u_{upper} = 2 \frac{π}{2}$

Etapa 5.16.5

Cancele o fator comum de $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.16.5.1

Cancele o fator comum.

$u_{upper} = 2 \frac{π}{2}$

Etapa 5.16.5.2

Reescreva a expressão.

$u_{upper} = π$

Etapa 5.16.6

Os valores encontrados para $u_{lower}$ e $u_{upper}$ serão usados para avaliar a integral definida.

$u_{lower} = - π$

$u_{upper} = π$

Etapa 5.16.7

Reescreva o problema usando $u_{2}$ , $d u_{2}$ e os novos limites de integração.

$16 (t]_{- \frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}} + \int_{- π}^{π} \cos (u_{2}) \frac{1}{2} d u_{2})$

Etapa 5.17

Combine $\cos (u_{2})$ e $\frac{1}{2}$ .

$16 (t]_{- \frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}} + \int_{- π}^{π} \frac{\cos (u_{2})}{2} d u_{2})$

Etapa 5.18

Como $\frac{1}{2}$ é constante com relação a $u_{2}$ , mova $\frac{1}{2}$ para fora da integral.

$16 (t]_{- \frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}} + \frac{1}{2} \int_{- π}^{π} \cos (u_{2}) d u_{2})$

Etapa 5.19

A integral de $\cos (u_{2})$ com relação a $u_{2}$ é $\sin (u_{2})$ .

$16 (t]_{- \frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}} + \frac{1}{2} \sin (u_{2})]_{- π}^{π})$

Etapa 5.20

Combine $\frac{1}{2}$ e $\sin (u_{2})]_{- π}^{π}$ .

$16 (t]_{- \frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}} + \frac{\sin (u_{2})]_{- π}^{π}}{2})$

Etapa 5.21

Substitua e simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.21.1

Avalie $t$ em $\frac{π}{2}$ e em $- \frac{π}{2}$ .

$16 ((\frac{π}{2}) + \frac{π}{2} + \frac{\sin (u_{2})]_{- π}^{π}}{2})$

Etapa 5.21.2

Avalie $\sin (u_{2})$ em $π$ e em $- π$ .

$16 ((\frac{π}{2}) + \frac{π}{2} + \frac{(\sin (π)) - \sin (- π)}{2})$

Etapa 5.21.3

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.21.3.1

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$16 (\frac{π + π}{2} + \frac{(\sin (π)) - \sin (- π)}{2})$

Etapa 5.21.3.2

Some $π$ e $π$ .

$16 (\frac{2 π}{2} + \frac{(\sin (π)) - \sin (- π)}{2})$

Etapa 5.21.3.3

Cancele o fator comum de $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.21.3.3.1

Cancele o fator comum.

$16 (\frac{2 π}{2} + \frac{(\sin (π)) - \sin (- π)}{2})$

Etapa 5.21.3.3.2

Divida $π$ por $1$ .

$16 (π + \frac{(\sin (π)) - \sin (- π)}{2})$

$16 (π + \frac{\sin (π) - \sin (- π)}{2})$

Etapa 5.22

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.22.1

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.22.1.1

Aplique o ângulo de referência encontrando o ângulo com valores trigonométricos equivalentes no primeiro quadrante.

$16 (π + \frac{\sin (0) - \sin (- π)}{2})$

Etapa 5.22.1.2

O valor exato de $\sin (0)$ é $0$ .

$16 (π + \frac{0 - \sin (- π)}{2})$

Etapa 5.22.1.3

Aplique o ângulo de referência encontrando o ângulo com valores trigonométricos equivalentes no primeiro quadrante.

$16 (π + \frac{0 - \sin (0)}{2})$

Etapa 5.22.1.4

O valor exato de $\sin (0)$ é $0$ .

$16 (π + \frac{0 - 0}{2})$

Etapa 5.22.1.5

Multiplique $- 1$ por $0$ .

$16 (π + \frac{0 + 0}{2})$

Etapa 5.22.1.6

Some $0$ e $0$ .

$16 (π + \frac{0}{2})$

Etapa 5.22.2

Divida $0$ por $2$ .

$16 (π + 0)$

Etapa 5.23

Some $π$ e $0$ .

$16 π$

Etapa 6