Cálculo Exemplos

$r = 1 - \sin (θ)$ , $r = 2 + \sin (θ)$

Etapa 1

Resolva por substituição para encontrar a intersecção entre as curvas.

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Etapa 1.1

Elimine os lados iguais de cada equação e combine.

$1 - \sin (θ) = 2 + \sin (θ)$

Etapa 1.2

Resolva $1 - \sin (θ) = 2 + \sin (θ)$ para $θ$ .

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Etapa 1.2.1

Mova todos os termos que contêm $\sin (θ)$ para o lado esquerdo da equação.

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Etapa 1.2.1.1

Subtraia $\sin (θ)$ dos dois lados da equação.

$1 - \sin (θ) - \sin (θ) = 2$

Etapa 1.2.1.2

Subtraia $\sin (θ)$ de $- \sin (θ)$ .

$1 - 2 \sin (θ) = 2$

Etapa 1.2.2

Mova todos os termos que não contêm $\sin (θ)$ para o lado direito da equação.

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Etapa 1.2.2.1

Subtraia $1$ dos dois lados da equação.

$- 2 \sin (θ) = 2 - 1$

Etapa 1.2.2.2

Subtraia $1$ de $2$ .

$- 2 \sin (θ) = 1$

Etapa 1.2.3

Divida cada termo em $- 2 \sin (θ) = 1$ por $- 2$ e simplifique.

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Etapa 1.2.3.1

Divida cada termo em $- 2 \sin (θ) = 1$ por $- 2$ .

$\frac{- 2 \sin (θ)}{- 2} = \frac{1}{- 2}$

Etapa 1.2.3.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 1.2.3.2.1

Cancele o fator comum de $- 2$ .

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Etapa 1.2.3.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{- 2 \sin (θ)}{- 2} = \frac{1}{- 2}$

Etapa 1.2.3.2.1.2

Divida $\sin (θ)$ por $1$ .

$\sin (θ) = \frac{1}{- 2}$

Etapa 1.2.3.3

Simplifique o lado direito.

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Etapa 1.2.3.3.1

Mova o número negativo para a frente da fração.

$\sin (θ) = - \frac{1}{2}$

Etapa 1.2.4

Obtenha o seno inverso dos dois lados da equação para extrair $θ$ de dentro do seno.

$θ = \arcsin (- \frac{1}{2})$

Etapa 1.2.5

Simplifique o lado direito.

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Etapa 1.2.5.1

O valor exato de $\arcsin (- \frac{1}{2})$ é $- \frac{π}{6}$ .

$θ = - \frac{π}{6}$

Etapa 1.2.6

A função do seno é negativa no terceiro e no quarto quadrantes. Para encontrar a segunda solução, subtraia a solução de $2 π$ para determinar um ângulo de referência. Depois, some esse ângulo de referência com $π$ para encontrar a solução no terceiro quadrante.

$θ = 2 π + \frac{π}{6} + π$

Etapa 1.2.7

Simplifique a expressão para encontrar a segunda solução.

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Etapa 1.2.7.1

Subtraia $2 π$ de $2 π + \frac{π}{6} + π$ .

$θ = 2 π + \frac{π}{6} + π - 2 π$

Etapa 1.2.7.2

O ângulo resultante de $\frac{7 π}{6}$ é positivo, menor do que $2 π$ e coterminal com $2 π + \frac{π}{6} + π$ .

$θ = \frac{7 π}{6}$

Etapa 1.2.8

Encontre o período de $\sin (θ)$ .

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Etapa 1.2.8.1

O período da função pode ser calculado ao usar $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Etapa 1.2.8.2

Substitua $b$ por $1$ na fórmula do período.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Etapa 1.2.8.3

O valor absoluto é a distância entre um número e zero. A distância entre $0$ e $1$ é $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Etapa 1.2.8.4

Divida $2 π$ por $1$ .

$2 π$

Etapa 1.2.9

Some $2 π$ com todos os ângulos negativos para obter os ângulos positivos.

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Etapa 1.2.9.1

Some $2 π$ com $- \frac{π}{6}$ para encontrar o ângulo positivo.

$- \frac{π}{6} + 2 π + r = 2 + \sin (θ)$

Etapa 1.2.9.2

Para escrever $2 π$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{6}{6}$ .

$2 π \cdot \frac{6}{6} - \frac{π}{6} + r = 2 + \sin (θ)$

Etapa 1.2.9.3

Combine frações.

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Etapa 1.2.9.3.1

Combine $2 π$ e $\frac{6}{6}$ .

$\frac{2 π \cdot 6}{6} - \frac{π}{6} + r = 2 + \sin (θ)$

Etapa 1.2.9.3.2

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{2 π \cdot 6 - π}{6} + r = 2 + \sin (θ)$

Etapa 1.2.9.4

Simplifique o numerador.

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Etapa 1.2.9.4.1

Multiplique $6$ por $2$ .

$\frac{12 π - π}{6} + r = 2 + \sin (θ)$

Etapa 1.2.9.4.2

Subtraia $π$ de $12 π$ .

$\frac{11 π}{6} + r = 2 + \sin (θ)$

Etapa 1.2.9.5

Liste os novos ângulos.

$θ = \frac{11 π}{6}$

Etapa 1.2.10

O período da função $\sin (θ)$ é $2 π$ . Portanto, os valores se repetirão a cada $2 π$ radianos nas duas direções.

$θ = \frac{7 π}{6} + 2 π n, \frac{11 π}{6} + 2 π n$ , para qualquer número inteiro $n$

Etapa 1.3

Avalie $r$ quando $θ = \frac{7 π}{6} + 2 π n$ .

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Etapa 1.3.1

Substitua $\frac{7 π}{6} + 2 π n$ por $θ$ .

$r = 2 + \sin (\frac{7 π}{6} + 2 π n)$

Etapa 1.3.2

Substitua $\frac{7 π}{6} + 2 π n$ por $θ$ em $r = 2 + \sin (\frac{7 π}{6} + 2 π n)$ e resolva $r$ .

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Etapa 1.3.2.1

Remova os parênteses.

$r = 2 + \sin (\frac{7 π}{6} + 2 π n)$

Etapa 1.3.2.2

Reordene $\frac{7 π}{6}$ e $2 π n$ .

$r = 2 + \sin (2 π n + \frac{7 π}{6})$

Etapa 1.4

Avalie $r$ quando $θ = \frac{11 π}{6} + 2 π n$ .

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Etapa 1.4.1

Substitua $\frac{11 π}{6} + 2 π n$ por $θ$ .

$r = 2 + \sin (\frac{11 π}{6} + 2 π n)$

Etapa 1.4.2

Substitua $\frac{11 π}{6} + 2 π n$ por $θ$ em $r = 2 + \sin (\frac{11 π}{6} + 2 π n)$ e resolva $r$ .

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Etapa 1.4.2.1

Remova os parênteses.

$r = 2 + \sin (\frac{11 π}{6} + 2 π n)$

Etapa 1.4.2.2

Reordene $\frac{11 π}{6}$ e $2 π n$ .

$r = 2 + \sin (2 π n + \frac{11 π}{6})$

Etapa 1.5

A solução do sistema de equações compreende todos os valores que tornam o sistema verdadeiro.

$r = 2 + \sin (2 π n + \frac{7 π}{6}), θ = \frac{7 π}{6} + 2 π n r = 2 + \sin (2 π n + \frac{11 π}{6}), θ = \frac{11 π}{6} + 2 π n$

Etapa 1.6

Liste todas as soluções.

$r = 2 + \sin (2 π n + \frac{7 π}{6}), θ = \frac{7 π}{6} + 2 π n$

$r = 2 + \sin (2 π n + \frac{11 π}{6}), θ = \frac{11 π}{6} + 2 π n$

$r = 2 + \sin (2 π n + \frac{7 π}{6}), θ = \frac{7 π}{6} + 2 π n$

$r = 2 + \sin (2 π n + \frac{11 π}{6}), θ = \frac{11 π}{6} + 2 π n$

Etapa 2

A área entre as curvas em questão é ilimitada.

Área não limitada

Etapa 3