Cálculo Exemplos

$r = 13 \cos (θ)$ , $r = 6 + \cos (θ)$

Etapa 1

Resolva por substituição para encontrar a intersecção entre as curvas.

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Etapa 1.1

Elimine os lados iguais de cada equação e combine.

$13 \cos (θ) = 6 + \cos (θ)$

Etapa 1.2

Resolva $13 \cos (θ) = 6 + \cos (θ)$ para $θ$ .

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Etapa 1.2.1

Mova todos os termos que contêm $\cos (θ)$ para o lado esquerdo da equação.

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Etapa 1.2.1.1

Subtraia $\cos (θ)$ dos dois lados da equação.

$13 \cos (θ) - \cos (θ) = 6$

Etapa 1.2.1.2

Subtraia $\cos (θ)$ de $13 \cos (θ)$ .

$12 \cos (θ) = 6$

Etapa 1.2.2

Divida cada termo em $12 \cos (θ) = 6$ por $12$ e simplifique.

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Etapa 1.2.2.1

Divida cada termo em $12 \cos (θ) = 6$ por $12$ .

$\frac{12 \cos (θ)}{12} = \frac{6}{12}$

Etapa 1.2.2.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 1.2.2.2.1

Cancele o fator comum de $12$ .

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Etapa 1.2.2.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{12 \cos (θ)}{12} = \frac{6}{12}$

Etapa 1.2.2.2.1.2

Divida $\cos (θ)$ por $1$ .

$\cos (θ) = \frac{6}{12}$

Etapa 1.2.2.3

Simplifique o lado direito.

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Etapa 1.2.2.3.1

Cancele o fator comum de $6$ e $12$ .

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Etapa 1.2.2.3.1.1

Fatore $6$ de $6$ .

$\cos (θ) = \frac{6 (1)}{12}$

Etapa 1.2.2.3.1.2

Cancele os fatores comuns.

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Etapa 1.2.2.3.1.2.1

Fatore $6$ de $12$ .

$\cos (θ) = \frac{6 \cdot 1}{6 \cdot 2}$

Etapa 1.2.2.3.1.2.2

Cancele o fator comum.

$\cos (θ) = \frac{6 \cdot 1}{6 \cdot 2}$

Etapa 1.2.2.3.1.2.3

Reescreva a expressão.

$\cos (θ) = \frac{1}{2}$

Etapa 1.2.3

Obtenha o cosseno inverso dos dois lados da equação para extrair $θ$ de dentro do cosseno.

$θ = \arccos (\frac{1}{2})$

Etapa 1.2.4

Simplifique o lado direito.

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Etapa 1.2.4.1

O valor exato de $\arccos (\frac{1}{2})$ é $\frac{π}{3}$ .

$θ = \frac{π}{3}$

Etapa 1.2.5

A função do cosseno é positiva no primeiro e no quarto quadrantes. Para encontrar a segunda solução, subtraia o ângulo de referência de $2 π$ para determinar a solução no quarto quadrante.

$θ = 2 π - \frac{π}{3}$

Etapa 1.2.6

Simplifique $2 π - \frac{π}{3}$ .

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Etapa 1.2.6.1

Para escrever $2 π$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{3}{3}$ .

$θ = 2 π \cdot \frac{3}{3} - \frac{π}{3}$

Etapa 1.2.6.2

Combine frações.

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Etapa 1.2.6.2.1

Combine $2 π$ e $\frac{3}{3}$ .

$θ = \frac{2 π \cdot 3}{3} - \frac{π}{3}$

Etapa 1.2.6.2.2

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$θ = \frac{2 π \cdot 3 - π}{3}$

Etapa 1.2.6.3

Simplifique o numerador.

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Etapa 1.2.6.3.1

Multiplique $3$ por $2$ .

$θ = \frac{6 π - π}{3}$

Etapa 1.2.6.3.2

Subtraia $π$ de $6 π$ .

$θ = \frac{5 π}{3}$

Etapa 1.2.7

Encontre o período de $\cos (θ)$ .

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Etapa 1.2.7.1

O período da função pode ser calculado ao usar $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Etapa 1.2.7.2

Substitua $b$ por $1$ na fórmula do período.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Etapa 1.2.7.3

O valor absoluto é a distância entre um número e zero. A distância entre $0$ e $1$ é $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Etapa 1.2.7.4

Divida $2 π$ por $1$ .

$2 π$

Etapa 1.2.8

O período da função $\cos (θ)$ é $2 π$ . Portanto, os valores se repetirão a cada $2 π$ radianos nas duas direções.

$θ = \frac{π}{3} + 2 π n, \frac{5 π}{3} + 2 π n$ , para qualquer número inteiro $n$

Etapa 1.3

Avalie $r$ quando $θ = \frac{π}{3} + 2 π n$ .

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Etapa 1.3.1

Substitua $\frac{π}{3} + 2 π n$ por $θ$ .

$r = 6 + \cos (\frac{π}{3} + 2 π n)$

Etapa 1.3.2

Substitua $\frac{π}{3} + 2 π n$ por $θ$ em $r = 6 + \cos (\frac{π}{3} + 2 π n)$ e resolva $r$ .

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Etapa 1.3.2.1

Remova os parênteses.

$r = 6 + \cos (\frac{π}{3} + 2 π n)$

Etapa 1.3.2.2

Reordene $\frac{π}{3}$ e $2 π n$ .

$r = 6 + \cos (2 π n + \frac{π}{3})$

Etapa 1.4

Avalie $r$ quando $θ = \frac{5 π}{3} + 2 π n$ .

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Etapa 1.4.1

Substitua $\frac{5 π}{3} + 2 π n$ por $θ$ .

$r = 6 + \cos (\frac{5 π}{3} + 2 π n)$

Etapa 1.4.2

Substitua $\frac{5 π}{3} + 2 π n$ por $θ$ em $r = 6 + \cos (\frac{5 π}{3} + 2 π n)$ e resolva $r$ .

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Etapa 1.4.2.1

Remova os parênteses.

$r = 6 + \cos (\frac{5 π}{3} + 2 π n)$

Etapa 1.4.2.2

Reordene $\frac{5 π}{3}$ e $2 π n$ .

$r = 6 + \cos (2 π n + \frac{5 π}{3})$

Etapa 1.5

A solução do sistema de equações compreende todos os valores que tornam o sistema verdadeiro.

$r = 6 + \cos (2 π n + \frac{π}{3}), θ = \frac{π}{3} + 2 π n r = 6 + \cos (2 π n + \frac{5 π}{3}), θ = \frac{5 π}{3} + 2 π n$

Etapa 1.6

Liste todas as soluções.

$r = 6 + \cos (2 π n + \frac{π}{3}), θ = \frac{π}{3} + 2 π n$

$r = 6 + \cos (2 π n + \frac{5 π}{3}), θ = \frac{5 π}{3} + 2 π n$

$r = 6 + \cos (2 π n + \frac{π}{3}), θ = \frac{π}{3} + 2 π n$

$r = 6 + \cos (2 π n + \frac{5 π}{3}), θ = \frac{5 π}{3} + 2 π n$

Etapa 2

A área entre as curvas em questão é ilimitada.

Área não limitada

Etapa 3