Cálculo Exemplos

$y^{2} - 4 x = 4$ , $x - y = 2$

Etapa 1

Resolva por substituição para encontrar a intersecção entre as curvas.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1

Some $y$ aos dois lados da equação.

$x = 2 + y$

$y^{2} - 4 x = 4$

Etapa 1.2

Substitua todas as ocorrências de $x$ por $2 + y$ em cada equação.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.1

Substitua todas as ocorrências de $x$ em $y^{2} - 4 x = 4$ por $2 + y$ .

$y^{2} - 4 (2 + y) = 4$

$x = 2 + y$

Etapa 1.2.2

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.2.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.2.1.1

Aplique a propriedade distributiva.

$y^{2} - 4 \cdot 2 - 4 y = 4$

$x = 2 + y$

Etapa 1.2.2.1.2

Multiplique $- 4$ por $2$ .

$y^{2} - 8 - 4 y = 4$

$x = 2 + y$

$y^{2} - 8 - 4 y = 4$

$x = 2 + y$

$y^{2} - 8 - 4 y = 4$

$x = 2 + y$

$y^{2} - 8 - 4 y = 4$

$x = 2 + y$

Etapa 1.3

Resolva $y$ em $y^{2} - 8 - 4 y = 4$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.3.1

Subtraia $4$ dos dois lados da equação.

$y^{2} - 8 - 4 y - 4 = 0$

$x = 2 + y$

Etapa 1.3.2

Subtraia $4$ de $- 8$ .

$y^{2} - 4 y - 12 = 0$

$x = 2 + y$

Etapa 1.3.3

Fatore $y^{2} - 4 y - 12$ usando o método AC.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.3.3.1

Considere a forma $x^{2} + b x + c$ . Encontre um par de números inteiros cujo produto é $c$ e cuja soma é $b$ . Neste caso, cujo produto é $- 12$ e cuja soma é $- 4$ .

$- 6, 2$

$x = 2 + y$

Etapa 1.3.3.2

Escreva a forma fatorada usando estes números inteiros.

$(y - 6) (y + 2) = 0$

$x = 2 + y$

$(y - 6) (y + 2) = 0$

$x = 2 + y$

Etapa 1.3.4

Se qualquer fator individual no lado esquerdo da equação for igual a $0$ , toda a expressão será igual a $0$ .

$y - 6 = 0$

$y + 2 = 0$

$x = 2 + y$

Etapa 1.3.5

Defina $y - 6$ como igual a $0$ e resolva para $y$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.3.5.1

Defina $y - 6$ como igual a $0$ .

$y - 6 = 0$

$x = 2 + y$

Etapa 1.3.5.2

Some $6$ aos dois lados da equação.

$y = 6$

$x = 2 + y$

$y = 6$

$x = 2 + y$

Etapa 1.3.6

Defina $y + 2$ como igual a $0$ e resolva para $y$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.3.6.1

Defina $y + 2$ como igual a $0$ .

$y + 2 = 0$

$x = 2 + y$

Etapa 1.3.6.2

Subtraia $2$ dos dois lados da equação.

$y = - 2$

$x = 2 + y$

$y = - 2$

$x = 2 + y$

Etapa 1.3.7

A solução final são todos os valores que tornam $(y - 6) (y + 2) = 0$ verdadeiro.

$y = 6, - 2$

$x = 2 + y$

$y = 6, - 2$

$x = 2 + y$

Etapa 1.4

Substitua todas as ocorrências de $y$ por $6$ em cada equação.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.4.1

Substitua todas as ocorrências de $y$ em $x = 2 + y$ por $6$ .

$x = 2 + 6$

$y = 6$

Etapa 1.4.2

Simplifique $x = 2 + 6$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.4.2.1

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.4.2.1.1

Remova os parênteses.

$x = 2 + 6$

$y = 6$

$x = 2 + 6$

$y = 6$

Etapa 1.4.2.2

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.4.2.2.1

Some $2$ e $6$ .

$x = 8$

$y = 6$

$x = 8$

$y = 6$

$x = 8$

$y = 6$

$x = 8$

$y = 6$

Etapa 1.5

Substitua todas as ocorrências de $y$ por $- 2$ em cada equação.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.5.1

Substitua todas as ocorrências de $y$ em $x = 2 + y$ por $- 2$ .

$x = 2 - 2$

$y = - 2$

Etapa 1.5.2

Simplifique $x = 2 - 2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.5.2.1

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.5.2.1.1

Remova os parênteses.

$x = 2 - 2$

$y = - 2$

$x = 2 - 2$

$y = - 2$

Etapa 1.5.2.2

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.5.2.2.1

Subtraia $2$ de $2$ .

$x = 0$

$y = - 2$

$x = 0$

$y = - 2$

$x = 0$

$y = - 2$

$x = 0$

$y = - 2$

Etapa 1.6

A solução para o sistema é o conjunto completo de pares ordenados que são soluções válidas.

$(8, 6)$

$(0, - 2)$

$(8, 6)$

$(0, - 2)$

Etapa 2

Resolva $y^{2} - 4 x = 4$ em termos de $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1

Subtraia $y^{2}$ dos dois lados da equação.

$- 4 x = 4 - y^{2}$

Etapa 2.2

Divida cada termo em $- 4 x = 4 - y^{2}$ por $- 4$ e simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.1

Divida cada termo em $- 4 x = 4 - y^{2}$ por $- 4$ .

$\frac{- 4 x}{- 4} = \frac{4}{- 4} + \frac{- y^{2}}{- 4}$

Etapa 2.2.2

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.2.1

Cancele o fator comum de $- 4$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{- 4 x}{- 4} = \frac{4}{- 4} + \frac{- y^{2}}{- 4}$

Etapa 2.2.2.1.2

Divida $x$ por $1$ .

$x = \frac{4}{- 4} + \frac{- y^{2}}{- 4}$

Etapa 2.2.3

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.3.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.3.1.1

Divida $4$ por $- 4$ .

$x = - 1 + \frac{- y^{2}}{- 4}$

Etapa 2.2.3.1.2

Dividir dois valores negativos resulta em um valor positivo.

$x = - 1 + \frac{y^{2}}{4}$

Etapa 3

Some $y$ aos dois lados da equação.

$x = 2 + y$

Etapa 4

A área da região entre as curvas é definida como a integral da curva superior menos a integral da curva inferior sobre cada região. As regiões são determinadas pelos pontos de intersecção das curvas. É possível fazer isso de forma algébrica ou gráfica.

$A r e a = \int_{- 2}^{6} 2 + y d y - \int_{- 2}^{6} - 1 + \frac{y^{2}}{4} d y$

Etapa 5

Integre para encontrar a área entre $- 2$ e $6$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.1

Combine as integrais em uma única integral.

$\int_{- 2}^{6} 2 + y - (- 1 + \frac{y^{2}}{4}) d y$

Etapa 5.2

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.2.1

Aplique a propriedade distributiva.

$2 + y - - 1 - \frac{y^{2}}{4}$

Etapa 5.2.2

Multiplique $- 1$ por $- 1$ .

$2 + y + 1 - \frac{y^{2}}{4}$

$\int_{- 2}^{6} 2 + y + 1 - \frac{y^{2}}{4} d y$

Etapa 5.3

Some $2$ e $1$ .

$\int_{- 2}^{6} y + 3 - \frac{y^{2}}{4} d y$

Etapa 5.4

Divida a integral única em várias integrais.

$\int_{- 2}^{6} y d y + \int_{- 2}^{6} 3 d y + \int_{- 2}^{6} - \frac{y^{2}}{4} d y$

Etapa 5.5

De acordo com a regra da multiplicação de potências, a integral de $y$ com relação a $y$ é $\frac{1}{2} y^{2}$ .

$\frac{1}{2} y^{2}]_{- 2}^{6} + \int_{- 2}^{6} 3 d y + \int_{- 2}^{6} - \frac{y^{2}}{4} d y$

Etapa 5.6

Aplique a regra da constante.

$\frac{1}{2} y^{2}]_{- 2}^{6} + 3 y]_{- 2}^{6} + \int_{- 2}^{6} - \frac{y^{2}}{4} d y$

Etapa 5.7

Como $- 1$ é constante com relação a $y$ , mova $- 1$ para fora da integral.

$\frac{1}{2} y^{2}]_{- 2}^{6} + 3 y]_{- 2}^{6} - \int_{- 2}^{6} \frac{y^{2}}{4} d y$

Etapa 5.8

Como $\frac{1}{4}$ é constante com relação a $y$ , mova $\frac{1}{4}$ para fora da integral.

$\frac{1}{2} y^{2}]_{- 2}^{6} + 3 y]_{- 2}^{6} - (\frac{1}{4} \int_{- 2}^{6} y^{2} d y)$

Etapa 5.9

De acordo com a regra da multiplicação de potências, a integral de $y^{2}$ com relação a $y$ é $\frac{1}{3} y^{3}$ .

$\frac{1}{2} y^{2}]_{- 2}^{6} + 3 y]_{- 2}^{6} - \frac{1}{4} \frac{1}{3} y^{3}]_{- 2}^{6}$

Etapa 5.10

Simplifique a resposta.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.10.1

Combine $\frac{1}{2} y^{2}]_{- 2}^{6}$ e $3 y]_{- 2}^{6}$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + 3 y]_{- 2}^{6} - \frac{1}{4} \frac{1}{3} y^{3}]_{- 2}^{6}$

Etapa 5.10.2

Substitua e simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.10.2.1

Avalie $\frac{1}{2} y^{2} + 3 y$ em $6$ e em $- 2$ .

$(\frac{1}{2} \cdot 6^{2} + 3 \cdot 6) - (\frac{1}{2} {(- 2)}^{2} + 3 \cdot - 2) - \frac{1}{4} \frac{1}{3} y^{3}]_{- 2}^{6}$

Etapa 5.10.2.2

Avalie $\frac{1}{3} y^{3}$ em $6$ e em $- 2$ .

$(\frac{1}{2} \cdot 6^{2} + 3 \cdot 6) - (\frac{1}{2} {(- 2)}^{2} + 3 \cdot - 2) - \frac{1}{4} ((\frac{1}{3} \cdot 6^{3}) - \frac{1}{3} {(- 2)}^{3})$

Etapa 5.10.2.3

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.10.2.3.1

Eleve $6$ à potência de $2$ .

$\frac{1}{2} \cdot 36 + 3 \cdot 6 - (\frac{1}{2} {(- 2)}^{2} + 3 \cdot - 2) - \frac{1}{4} ((\frac{1}{3} \cdot 6^{3}) - \frac{1}{3} {(- 2)}^{3})$

Etapa 5.10.2.3.2

Combine $\frac{1}{2}$ e $36$ .

$\frac{36}{2} + 3 \cdot 6 - (\frac{1}{2} {(- 2)}^{2} + 3 \cdot - 2) - \frac{1}{4} ((\frac{1}{3} \cdot 6^{3}) - \frac{1}{3} {(- 2)}^{3})$

Etapa 5.10.2.3.3

Cancele o fator comum de $36$ e $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.10.2.3.3.1

Fatore $2$ de $36$ .

$\frac{2 \cdot 18}{2} + 3 \cdot 6 - (\frac{1}{2} {(- 2)}^{2} + 3 \cdot - 2) - \frac{1}{4} ((\frac{1}{3} \cdot 6^{3}) - \frac{1}{3} {(- 2)}^{3})$

Etapa 5.10.2.3.3.2

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.10.2.3.3.2.1

Fatore $2$ de $2$ .

$\frac{2 \cdot 18}{2 (1)} + 3 \cdot 6 - (\frac{1}{2} {(- 2)}^{2} + 3 \cdot - 2) - \frac{1}{4} ((\frac{1}{3} \cdot 6^{3}) - \frac{1}{3} {(- 2)}^{3})$

Etapa 5.10.2.3.3.2.2

Cancele o fator comum.

$\frac{2 \cdot 18}{2 \cdot 1} + 3 \cdot 6 - (\frac{1}{2} {(- 2)}^{2} + 3 \cdot - 2) - \frac{1}{4} ((\frac{1}{3} \cdot 6^{3}) - \frac{1}{3} {(- 2)}^{3})$

Etapa 5.10.2.3.3.2.3

Reescreva a expressão.

$\frac{18}{1} + 3 \cdot 6 - (\frac{1}{2} {(- 2)}^{2} + 3 \cdot - 2) - \frac{1}{4} ((\frac{1}{3} \cdot 6^{3}) - \frac{1}{3} {(- 2)}^{3})$

Etapa 5.10.2.3.3.2.4

Divida $18$ por $1$ .

$18 + 3 \cdot 6 - (\frac{1}{2} {(- 2)}^{2} + 3 \cdot - 2) - \frac{1}{4} ((\frac{1}{3} \cdot 6^{3}) - \frac{1}{3} {(- 2)}^{3})$

Etapa 5.10.2.3.4

Multiplique $3$ por $6$ .

$18 + 18 - (\frac{1}{2} {(- 2)}^{2} + 3 \cdot - 2) - \frac{1}{4} ((\frac{1}{3} \cdot 6^{3}) - \frac{1}{3} {(- 2)}^{3})$

Etapa 5.10.2.3.5

Some $18$ e $18$ .

$36 - (\frac{1}{2} {(- 2)}^{2} + 3 \cdot - 2) - \frac{1}{4} ((\frac{1}{3} \cdot 6^{3}) - \frac{1}{3} {(- 2)}^{3})$

Etapa 5.10.2.3.6

Eleve $- 2$ à potência de $2$ .

$36 - (\frac{1}{2} \cdot 4 + 3 \cdot - 2) - \frac{1}{4} ((\frac{1}{3} \cdot 6^{3}) - \frac{1}{3} {(- 2)}^{3})$

Etapa 5.10.2.3.7

Combine $\frac{1}{2}$ e $4$ .

$36 - (\frac{4}{2} + 3 \cdot - 2) - \frac{1}{4} ((\frac{1}{3} \cdot 6^{3}) - \frac{1}{3} {(- 2)}^{3})$

Etapa 5.10.2.3.8

Cancele o fator comum de $4$ e $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.10.2.3.8.1

Fatore $2$ de $4$ .

$36 - (\frac{2 \cdot 2}{2} + 3 \cdot - 2) - \frac{1}{4} ((\frac{1}{3} \cdot 6^{3}) - \frac{1}{3} {(- 2)}^{3})$

Etapa 5.10.2.3.8.2

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.10.2.3.8.2.1

Fatore $2$ de $2$ .

$36 - (\frac{2 \cdot 2}{2 (1)} + 3 \cdot - 2) - \frac{1}{4} ((\frac{1}{3} \cdot 6^{3}) - \frac{1}{3} {(- 2)}^{3})$

Etapa 5.10.2.3.8.2.2

Cancele o fator comum.

$36 - (\frac{2 \cdot 2}{2 \cdot 1} + 3 \cdot - 2) - \frac{1}{4} ((\frac{1}{3} \cdot 6^{3}) - \frac{1}{3} {(- 2)}^{3})$

Etapa 5.10.2.3.8.2.3

Reescreva a expressão.

$36 - (\frac{2}{1} + 3 \cdot - 2) - \frac{1}{4} ((\frac{1}{3} \cdot 6^{3}) - \frac{1}{3} {(- 2)}^{3})$

Etapa 5.10.2.3.8.2.4

Divida $2$ por $1$ .

$36 - (2 + 3 \cdot - 2) - \frac{1}{4} ((\frac{1}{3} \cdot 6^{3}) - \frac{1}{3} {(- 2)}^{3})$

Etapa 5.10.2.3.9

Multiplique $3$ por $- 2$ .

$36 - (2 - 6) - \frac{1}{4} ((\frac{1}{3} \cdot 6^{3}) - \frac{1}{3} {(- 2)}^{3})$

Etapa 5.10.2.3.10

Subtraia $6$ de $2$ .

$36 - - 4 - \frac{1}{4} ((\frac{1}{3} \cdot 6^{3}) - \frac{1}{3} {(- 2)}^{3})$

Etapa 5.10.2.3.11

Multiplique $- 1$ por $- 4$ .

$36 + 4 - \frac{1}{4} ((\frac{1}{3} \cdot 6^{3}) - \frac{1}{3} {(- 2)}^{3})$

Etapa 5.10.2.3.12

Some $36$ e $4$ .

$40 - \frac{1}{4} ((\frac{1}{3} \cdot 6^{3}) - \frac{1}{3} {(- 2)}^{3})$

Etapa 5.10.2.3.13

Eleve $6$ à potência de $3$ .

$40 - \frac{1}{4} (\frac{1}{3} \cdot 216 - \frac{1}{3} {(- 2)}^{3})$

Etapa 5.10.2.3.14

Combine $\frac{1}{3}$ e $216$ .

$40 - \frac{1}{4} (\frac{216}{3} - \frac{1}{3} {(- 2)}^{3})$

Etapa 5.10.2.3.15

Cancele o fator comum de $216$ e $3$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.10.2.3.15.1

Fatore $3$ de $216$ .

$40 - \frac{1}{4} (\frac{3 \cdot 72}{3} - \frac{1}{3} {(- 2)}^{3})$

Etapa 5.10.2.3.15.2

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.10.2.3.15.2.1

Fatore $3$ de $3$ .

$40 - \frac{1}{4} (\frac{3 \cdot 72}{3 (1)} - \frac{1}{3} {(- 2)}^{3})$

Etapa 5.10.2.3.15.2.2

Cancele o fator comum.

$40 - \frac{1}{4} (\frac{3 \cdot 72}{3 \cdot 1} - \frac{1}{3} {(- 2)}^{3})$

Etapa 5.10.2.3.15.2.3

Reescreva a expressão.

$40 - \frac{1}{4} (\frac{72}{1} - \frac{1}{3} {(- 2)}^{3})$

Etapa 5.10.2.3.15.2.4

Divida $72$ por $1$ .

$40 - \frac{1}{4} (72 - \frac{1}{3} {(- 2)}^{3})$

Etapa 5.10.2.3.16

Eleve $- 2$ à potência de $3$ .

$40 - \frac{1}{4} (72 - \frac{1}{3} \cdot - 8)$

Etapa 5.10.2.3.17

Multiplique $- 8$ por $- 1$ .

$40 - \frac{1}{4} (72 + 8 (\frac{1}{3}))$

Etapa 5.10.2.3.18

Combine $8$ e $\frac{1}{3}$ .

$40 - \frac{1}{4} (72 + \frac{8}{3})$

Etapa 5.10.2.3.19

Para escrever $72$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{3}{3}$ .

$40 - \frac{1}{4} (72 \cdot \frac{3}{3} + \frac{8}{3})$

Etapa 5.10.2.3.20

Combine $72$ e $\frac{3}{3}$ .

$40 - \frac{1}{4} (\frac{72 \cdot 3}{3} + \frac{8}{3})$

Etapa 5.10.2.3.21

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$40 - \frac{1}{4} \cdot \frac{72 \cdot 3 + 8}{3}$

Etapa 5.10.2.3.22

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.10.2.3.22.1

Multiplique $72$ por $3$ .

$40 - \frac{1}{4} \cdot \frac{216 + 8}{3}$

Etapa 5.10.2.3.22.2

Some $216$ e $8$ .

$40 - \frac{1}{4} \cdot \frac{224}{3}$

Etapa 5.10.2.3.23

Multiplique $\frac{224}{3}$ por $\frac{1}{4}$ .

$40 - \frac{224}{3 \cdot 4}$

Etapa 5.10.2.3.24

Multiplique $3$ por $4$ .

$40 - \frac{224}{12}$

Etapa 5.10.2.3.25

Cancele o fator comum de $224$ e $12$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.10.2.3.25.1

Fatore $4$ de $224$ .

$40 - \frac{4 (56)}{12}$

Etapa 5.10.2.3.25.2

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.10.2.3.25.2.1

Fatore $4$ de $12$ .

$40 - \frac{4 \cdot 56}{4 \cdot 3}$

Etapa 5.10.2.3.25.2.2

Cancele o fator comum.

$40 - \frac{4 \cdot 56}{4 \cdot 3}$

Etapa 5.10.2.3.25.2.3

Reescreva a expressão.

$40 - \frac{56}{3}$

Etapa 5.10.2.3.26

Para escrever $40$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{3}{3}$ .

$40 \cdot \frac{3}{3} - \frac{56}{3}$

Etapa 5.10.2.3.27

Combine $40$ e $\frac{3}{3}$ .

$\frac{40 \cdot 3}{3} - \frac{56}{3}$

Etapa 5.10.2.3.28

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{40 \cdot 3 - 56}{3}$

Etapa 5.10.2.3.29

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.10.2.3.29.1

Multiplique $40$ por $3$ .

$\frac{120 - 56}{3}$

Etapa 5.10.2.3.29.2

Subtraia $56$ de $120$ .

$\frac{64}{3}$

Etapa 6