Cálculo Exemplos

$y = 8$ , $y = \sqrt{x}$ , $x = 0$

Etapa 1

Resolva por substituição para encontrar a intersecção entre as curvas.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1

Elimine os lados iguais de cada equação e combine.

$8 = \sqrt{x}$

Etapa 1.2

Resolva $8 = \sqrt{x}$ para $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.1

Reescreva a equação como $\sqrt{x} = 8$ .

$\sqrt{x} = 8$

Etapa 1.2.2

Para remover o radical no lado esquerdo da equação, eleve ao quadrado os dois lados da equação.

${\sqrt{x}}^{2} = 8^{2}$

Etapa 1.2.3

Simplifique cada lado da equação.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.3.1

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt{x}$ como $x^{\frac{1}{2}}$ .

${(x^{\frac{1}{2}})}^{2} = 8^{2}$

Etapa 1.2.3.2

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.3.2.1

Simplifique ${(x^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.3.2.1.1

Multiplique os expoentes em ${(x^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.3.2.1.1.1

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$x^{\frac{1}{2} \cdot 2} = 8^{2}$

Etapa 1.2.3.2.1.1.2

Cancele o fator comum de $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.3.2.1.1.2.1

Cancele o fator comum.

$x^{\frac{1}{2} \cdot 2} = 8^{2}$

Etapa 1.2.3.2.1.1.2.2

Reescreva a expressão.

$x^{1} = 8^{2}$

Etapa 1.2.3.2.1.2

Simplifique.

$x = 8^{2}$

Etapa 1.2.3.3

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.3.3.1

Eleve $8$ à potência de $2$ .

$x = 64$

Etapa 1.3

Avalie $y$ quando $x = 64$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.3.1

Substitua $64$ por $x$ .

$y = \sqrt{64}$

Etapa 1.3.2

Simplifique $\sqrt{64}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.3.2.1

Remova os parênteses.

$y = \sqrt{64}$

Etapa 1.3.2.2

Reescreva $64$ como $8^{2}$ .

$y = \sqrt{8^{2}}$

Etapa 1.3.2.3

Elimine os termos abaixo do radical, presumindo que sejam números reais positivos.

$y = 8$

Etapa 1.4

A solução para o sistema é o conjunto completo de pares ordenados que são soluções válidas.

$(64, 8)$

Etapa 2

A área da região entre as curvas é definida como a integral da curva superior menos a integral da curva inferior sobre cada região. As regiões são determinadas pelos pontos de intersecção das curvas. É possível fazer isso de forma algébrica ou gráfica.

$A r e a = \int_{0}^{64} 8 d x - \int_{0}^{64} \sqrt{x} d x$

Etapa 3

Integre para encontrar a área entre $0$ e $64$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.1

Integre para encontrar a área entre $0$ e $64$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.1.1

Combine as integrais em uma única integral.

$\int_{0}^{64} \sqrt{x} - (8) d x$

Etapa 3.1.2

Multiplique $- 1$ por $8$ .

$\int_{0}^{64} \sqrt{x} - 8 d x$

Etapa 3.1.3

Divida a integral única em várias integrais.

$\int_{0}^{64} \sqrt{x} d x + \int_{0}^{64} - 8 d x$

Etapa 3.1.4

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt{x}$ como $x^{\frac{1}{2}}$ .

$\int_{0}^{64} x^{\frac{1}{2}} d x + \int_{0}^{64} - 8 d x$

Etapa 3.1.5

De acordo com a regra da multiplicação de potências, a integral de $x^{\frac{1}{2}}$ com relação a $x$ é $\frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}}$ .

$\frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}}]_{0}^{64} + \int_{0}^{64} - 8 d x$

Etapa 3.1.6

Aplique a regra da constante.

$\frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}}]_{0}^{64} + - 8 x]_{0}^{64}$

Etapa 3.1.7

Simplifique a resposta.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.1.7.1

Combine $\frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}}]_{0}^{64}$ e $- 8 x]_{0}^{64}$ .

$\frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}} - 8 x]_{0}^{64}$

Etapa 3.1.7.2

Substitua e simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.1.7.2.1

Avalie $\frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}} - 8 x$ em $64$ e em $0$ .

$(\frac{2}{3} \cdot 64^{\frac{3}{2}} - 8 \cdot 64) - (\frac{2}{3} \cdot 0^{\frac{3}{2}} - 8 \cdot 0)$

Etapa 3.1.7.2.2

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.1.7.2.2.1

Reescreva $64$ como $8^{2}$ .

$\frac{2}{3} \cdot {(8^{2})}^{\frac{3}{2}} - 8 \cdot 64 - (\frac{2}{3} \cdot 0^{\frac{3}{2}} - 8 \cdot 0)$

Etapa 3.1.7.2.2.2

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{2}{3} \cdot 8^{2 (\frac{3}{2})} - 8 \cdot 64 - (\frac{2}{3} \cdot 0^{\frac{3}{2}} - 8 \cdot 0)$

Etapa 3.1.7.2.2.3

Cancele o fator comum de $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.1.7.2.2.3.1

Cancele o fator comum.

$\frac{2}{3} \cdot 8^{2 (\frac{3}{2})} - 8 \cdot 64 - (\frac{2}{3} \cdot 0^{\frac{3}{2}} - 8 \cdot 0)$

Etapa 3.1.7.2.2.3.2

Reescreva a expressão.

$\frac{2}{3} \cdot 8^{3} - 8 \cdot 64 - (\frac{2}{3} \cdot 0^{\frac{3}{2}} - 8 \cdot 0)$

Etapa 3.1.7.2.2.4

Eleve $8$ à potência de $3$ .

$\frac{2}{3} \cdot 512 - 8 \cdot 64 - (\frac{2}{3} \cdot 0^{\frac{3}{2}} - 8 \cdot 0)$

Etapa 3.1.7.2.2.5

Combine $\frac{2}{3}$ e $512$ .

$\frac{2 \cdot 512}{3} - 8 \cdot 64 - (\frac{2}{3} \cdot 0^{\frac{3}{2}} - 8 \cdot 0)$

Etapa 3.1.7.2.2.6

Multiplique $2$ por $512$ .

$\frac{1024}{3} - 8 \cdot 64 - (\frac{2}{3} \cdot 0^{\frac{3}{2}} - 8 \cdot 0)$

Etapa 3.1.7.2.2.7

Multiplique $- 8$ por $64$ .

$\frac{1024}{3} - 512 - (\frac{2}{3} \cdot 0^{\frac{3}{2}} - 8 \cdot 0)$

Etapa 3.1.7.2.2.8

Para escrever $- 512$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{3}{3}$ .

$\frac{1024}{3} - 512 \cdot \frac{3}{3} - (\frac{2}{3} \cdot 0^{\frac{3}{2}} - 8 \cdot 0)$

Etapa 3.1.7.2.2.9

Combine $- 512$ e $\frac{3}{3}$ .

$\frac{1024}{3} + \frac{- 512 \cdot 3}{3} - (\frac{2}{3} \cdot 0^{\frac{3}{2}} - 8 \cdot 0)$

Etapa 3.1.7.2.2.10

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{1024 - 512 \cdot 3}{3} - (\frac{2}{3} \cdot 0^{\frac{3}{2}} - 8 \cdot 0)$

Etapa 3.1.7.2.2.11

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.1.7.2.2.11.1

Multiplique $- 512$ por $3$ .

$\frac{1024 - 1536}{3} - (\frac{2}{3} \cdot 0^{\frac{3}{2}} - 8 \cdot 0)$

Etapa 3.1.7.2.2.11.2

Subtraia $1536$ de $1024$ .

$\frac{- 512}{3} - (\frac{2}{3} \cdot 0^{\frac{3}{2}} - 8 \cdot 0)$

Etapa 3.1.7.2.2.12

Mova o número negativo para a frente da fração.

$- \frac{512}{3} - (\frac{2}{3} \cdot 0^{\frac{3}{2}} - 8 \cdot 0)$

Etapa 3.1.7.2.2.13

Reescreva $0$ como $0^{2}$ .

$- \frac{512}{3} - (\frac{2}{3} \cdot {(0^{2})}^{\frac{3}{2}} - 8 \cdot 0)$

Etapa 3.1.7.2.2.14

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- \frac{512}{3} - (\frac{2}{3} \cdot 0^{2 (\frac{3}{2})} - 8 \cdot 0)$

Etapa 3.1.7.2.2.15

Cancele o fator comum de $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.1.7.2.2.15.1

Cancele o fator comum.

$- \frac{512}{3} - (\frac{2}{3} \cdot 0^{2 (\frac{3}{2})} - 8 \cdot 0)$

Etapa 3.1.7.2.2.15.2

Reescreva a expressão.

$- \frac{512}{3} - (\frac{2}{3} \cdot 0^{3} - 8 \cdot 0)$

Etapa 3.1.7.2.2.16

Elevar $0$ a qualquer potência positiva produz $0$ .

$- \frac{512}{3} - (\frac{2}{3} \cdot 0 - 8 \cdot 0)$

Etapa 3.1.7.2.2.17

Multiplique $\frac{2}{3}$ por $0$ .

$- \frac{512}{3} - (0 - 8 \cdot 0)$

Etapa 3.1.7.2.2.18

Multiplique $- 8$ por $0$ .

$- \frac{512}{3} - (0 + 0)$

Etapa 3.1.7.2.2.19

Some $0$ e $0$ .

$- \frac{512}{3} - 0$

Etapa 3.1.7.2.2.20

Multiplique $- 1$ por $0$ .

$- \frac{512}{3} + 0$

Etapa 3.1.7.2.2.21

Some $- \frac{512}{3}$ e $0$ .

$- \frac{512}{3}$

Etapa 3.2

Combine as integrais em uma única integral.

$\int_{0}^{64} 8 - (\sqrt{x}) d x$

Etapa 3.3

Multiplique $- 1$ por $\sqrt{x}$ .

$\int_{0}^{64} 8 - \sqrt{x} d x$

Etapa 3.4

Divida a integral única em várias integrais.

$\int_{0}^{64} 8 d x + \int_{0}^{64} - \sqrt{x} d x$

Etapa 3.5

Aplique a regra da constante.

$8 x]_{0}^{64} + \int_{0}^{64} - \sqrt{x} d x$

Etapa 3.6

Como $- 1$ é constante com relação a $x$ , mova $- 1$ para fora da integral.

$8 x]_{0}^{64} - \int_{0}^{64} \sqrt{x} d x$

Etapa 3.7

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt{x}$ como $x^{\frac{1}{2}}$ .

$8 x]_{0}^{64} - \int_{0}^{64} x^{\frac{1}{2}} d x$

Etapa 3.8

De acordo com a regra da multiplicação de potências, a integral de $x^{\frac{1}{2}}$ com relação a $x$ é $\frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}}$ .

$8 x]_{0}^{64} - (\frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}}]_{0}^{64})$

Etapa 3.9

Simplifique a resposta.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.9.1

Combine $\frac{2}{3}$ e $x^{\frac{3}{2}}$ .

$8 x]_{0}^{64} - (\frac{2 x^{\frac{3}{2}}}{3}]_{0}^{64})$

Etapa 3.9.2

Substitua e simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.9.2.1

Avalie $8 x$ em $64$ e em $0$ .

$(8 \cdot 64) - 8 \cdot 0 - (\frac{2 x^{\frac{3}{2}}}{3}]_{0}^{64})$

Etapa 3.9.2.2

Avalie $\frac{2 x^{\frac{3}{2}}}{3}$ em $64$ e em $0$ .

$8 \cdot 64 - 8 \cdot 0 - (\frac{2 \cdot 64^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{2 \cdot 0^{\frac{3}{2}}}{3})$

Etapa 3.9.2.3

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.9.2.3.1

Multiplique $8$ por $64$ .

$512 - 8 \cdot 0 - (\frac{2 \cdot 64^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{2 \cdot 0^{\frac{3}{2}}}{3})$

Etapa 3.9.2.3.2

Multiplique $- 8$ por $0$ .

$512 + 0 - (\frac{2 \cdot 64^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{2 \cdot 0^{\frac{3}{2}}}{3})$

Etapa 3.9.2.3.3

Some $512$ e $0$ .

$512 - (\frac{2 \cdot 64^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{2 \cdot 0^{\frac{3}{2}}}{3})$

Etapa 3.9.2.3.4

Reescreva $64$ como $8^{2}$ .

$512 - (\frac{2 \cdot {(8^{2})}^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{2 \cdot 0^{\frac{3}{2}}}{3})$

Etapa 3.9.2.3.5

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$512 - (\frac{2 \cdot 8^{2 (\frac{3}{2})}}{3} - \frac{2 \cdot 0^{\frac{3}{2}}}{3})$

Etapa 3.9.2.3.6

Cancele o fator comum de $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.9.2.3.6.1

Cancele o fator comum.

$512 - (\frac{2 \cdot 8^{2 (\frac{3}{2})}}{3} - \frac{2 \cdot 0^{\frac{3}{2}}}{3})$

Etapa 3.9.2.3.6.2

Reescreva a expressão.

$512 - (\frac{2 \cdot 8^{3}}{3} - \frac{2 \cdot 0^{\frac{3}{2}}}{3})$

Etapa 3.9.2.3.7

Eleve $8$ à potência de $3$ .

$512 - (\frac{2 \cdot 512}{3} - \frac{2 \cdot 0^{\frac{3}{2}}}{3})$

Etapa 3.9.2.3.8

Multiplique $2$ por $512$ .

$512 - (\frac{1024}{3} - \frac{2 \cdot 0^{\frac{3}{2}}}{3})$

Etapa 3.9.2.3.9

Reescreva $0$ como $0^{2}$ .

$512 - (\frac{1024}{3} - \frac{2 \cdot {(0^{2})}^{\frac{3}{2}}}{3})$

Etapa 3.9.2.3.10

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$512 - (\frac{1024}{3} - \frac{2 \cdot 0^{2 (\frac{3}{2})}}{3})$

Etapa 3.9.2.3.11

Cancele o fator comum de $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.9.2.3.11.1

Cancele o fator comum.

$512 - (\frac{1024}{3} - \frac{2 \cdot 0^{2 (\frac{3}{2})}}{3})$

Etapa 3.9.2.3.11.2

Reescreva a expressão.

$512 - (\frac{1024}{3} - \frac{2 \cdot 0^{3}}{3})$

Etapa 3.9.2.3.12

Elevar $0$ a qualquer potência positiva produz $0$ .

$512 - (\frac{1024}{3} - \frac{2 \cdot 0}{3})$

Etapa 3.9.2.3.13

Multiplique $2$ por $0$ .

$512 - (\frac{1024}{3} - \frac{0}{3})$

Etapa 3.9.2.3.14

Cancele o fator comum de $0$ e $3$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.9.2.3.14.1

Fatore $3$ de $0$ .

$512 - (\frac{1024}{3} - \frac{3 (0)}{3})$

Etapa 3.9.2.3.14.2

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.9.2.3.14.2.1

Fatore $3$ de $3$ .

$512 - (\frac{1024}{3} - \frac{3 \cdot 0}{3 \cdot 1})$

Etapa 3.9.2.3.14.2.2

Cancele o fator comum.

$512 - (\frac{1024}{3} - \frac{3 \cdot 0}{3 \cdot 1})$

Etapa 3.9.2.3.14.2.3

Reescreva a expressão.

$512 - (\frac{1024}{3} - \frac{0}{1})$

Etapa 3.9.2.3.14.2.4

Divida $0$ por $1$ .

$512 - (\frac{1024}{3} - 0)$

Etapa 3.9.2.3.15

Multiplique $- 1$ por $0$ .

$512 - (\frac{1024}{3} + 0)$

Etapa 3.9.2.3.16

Some $\frac{1024}{3}$ e $0$ .

$512 - \frac{1024}{3}$

Etapa 3.9.2.3.17

Para escrever $512$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{3}{3}$ .

$512 \cdot \frac{3}{3} - \frac{1024}{3}$

Etapa 3.9.2.3.18

Combine $512$ e $\frac{3}{3}$ .

$\frac{512 \cdot 3}{3} - \frac{1024}{3}$

Etapa 3.9.2.3.19

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{512 \cdot 3 - 1024}{3}$

Etapa 3.9.2.3.20

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.9.2.3.20.1

Multiplique $512$ por $3$ .

$\frac{1536 - 1024}{3}$

Etapa 3.9.2.3.20.2

Subtraia $1024$ de $1536$ .

$\frac{512}{3}$

Etapa 4