Cálculo Exemplos

$y = x^{2}$ , $y = 2 x - 2$ , $x = 1$ , $x = 2$

Etapa 1

Resolva por substituição para encontrar a intersecção entre as curvas.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1

Elimine os lados iguais de cada equação e combine.

$x^{2} = 2 x - 2$

Etapa 1.2

Resolva $x^{2} = 2 x - 2$ para $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.1

Subtraia $2 x$ dos dois lados da equação.

$x^{2} - 2 x = - 2$

Etapa 1.2.2

Some $2$ aos dois lados da equação.

$x^{2} - 2 x + 2 = 0$

Etapa 1.2.3

Use a fórmula quadrática para encontrar as soluções.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a} + y = 2 x - 2$

Etapa 1.2.4

Substitua os valores $a = 1$ , $b = - 2$ e $c = 2$ na fórmula quadrática e resolva $x$ .

$\frac{2 \pm \sqrt{{(- 2)}^{2} - 4 \cdot (1 \cdot 2)}}{2 \cdot 1} + y = 2 x - 2$

Etapa 1.2.5

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.5.1

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.5.1.1

Eleve $- 2$ à potência de $2$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot 1 \cdot 2}}{2 \cdot 1}$

Etapa 1.2.5.1.2

Multiplique $- 4 \cdot 1 \cdot 2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.5.1.2.1

Multiplique $- 4$ por $1$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot 2}}{2 \cdot 1}$

Etapa 1.2.5.1.2.2

Multiplique $- 4$ por $2$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 8}}{2 \cdot 1}$

Etapa 1.2.5.1.3

Subtraia $8$ de $4$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{- 4}}{2 \cdot 1}$

Etapa 1.2.5.1.4

Reescreva $- 4$ como $- 1 (4)$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{- 1 \cdot 4}}{2 \cdot 1}$

Etapa 1.2.5.1.5

Reescreva $\sqrt{- 1 (4)}$ como $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{4}$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{4}}{2 \cdot 1}$

Etapa 1.2.5.1.6

Reescreva $\sqrt{- 1}$ como $i$ .

$x = \frac{2 \pm i \cdot \sqrt{4}}{2 \cdot 1}$

Etapa 1.2.5.1.7

Reescreva $4$ como $2^{2}$ .

$x = \frac{2 \pm i \cdot \sqrt{2^{2}}}{2 \cdot 1}$

Etapa 1.2.5.1.8

Elimine os termos abaixo do radical, presumindo que sejam números reais positivos.

$x = \frac{2 \pm i \cdot 2}{2 \cdot 1}$

Etapa 1.2.5.1.9

Mova $2$ para a esquerda de $i$ .

$x = \frac{2 \pm 2 i}{2 \cdot 1}$

Etapa 1.2.5.2

Multiplique $2$ por $1$ .

$x = \frac{2 \pm 2 i}{2}$

Etapa 1.2.5.3

Simplifique $\frac{2 \pm 2 i}{2}$ .

$x = 1 \pm i$

Etapa 1.2.6

Simplifique a expressão para resolver a parte $+$ de $\pm$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.6.1

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.6.1.1

Eleve $- 2$ à potência de $2$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot 1 \cdot 2}}{2 \cdot 1}$

Etapa 1.2.6.1.2

Multiplique $- 4 \cdot 1 \cdot 2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.6.1.2.1

Multiplique $- 4$ por $1$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot 2}}{2 \cdot 1}$

Etapa 1.2.6.1.2.2

Multiplique $- 4$ por $2$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 8}}{2 \cdot 1}$

Etapa 1.2.6.1.3

Subtraia $8$ de $4$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{- 4}}{2 \cdot 1}$

Etapa 1.2.6.1.4

Reescreva $- 4$ como $- 1 (4)$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{- 1 \cdot 4}}{2 \cdot 1}$

Etapa 1.2.6.1.5

Reescreva $\sqrt{- 1 (4)}$ como $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{4}$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{4}}{2 \cdot 1}$

Etapa 1.2.6.1.6

Reescreva $\sqrt{- 1}$ como $i$ .

$x = \frac{2 \pm i \cdot \sqrt{4}}{2 \cdot 1}$

Etapa 1.2.6.1.7

Reescreva $4$ como $2^{2}$ .

$x = \frac{2 \pm i \cdot \sqrt{2^{2}}}{2 \cdot 1}$

Etapa 1.2.6.1.8

Elimine os termos abaixo do radical, presumindo que sejam números reais positivos.

$x = \frac{2 \pm i \cdot 2}{2 \cdot 1}$

Etapa 1.2.6.1.9

Mova $2$ para a esquerda de $i$ .

$x = \frac{2 \pm 2 i}{2 \cdot 1}$

Etapa 1.2.6.2

Multiplique $2$ por $1$ .

$x = \frac{2 \pm 2 i}{2}$

Etapa 1.2.6.3

Simplifique $\frac{2 \pm 2 i}{2}$ .

$x = 1 \pm i$

Etapa 1.2.6.4

Altere $\pm$ para $+$ .

$x = 1 + i$

Etapa 1.2.7

Simplifique a expressão para resolver a parte $-$ de $\pm$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.7.1

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.7.1.1

Eleve $- 2$ à potência de $2$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot 1 \cdot 2}}{2 \cdot 1}$

Etapa 1.2.7.1.2

Multiplique $- 4 \cdot 1 \cdot 2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.7.1.2.1

Multiplique $- 4$ por $1$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot 2}}{2 \cdot 1}$

Etapa 1.2.7.1.2.2

Multiplique $- 4$ por $2$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 8}}{2 \cdot 1}$

Etapa 1.2.7.1.3

Subtraia $8$ de $4$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{- 4}}{2 \cdot 1}$

Etapa 1.2.7.1.4

Reescreva $- 4$ como $- 1 (4)$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{- 1 \cdot 4}}{2 \cdot 1}$

Etapa 1.2.7.1.5

Reescreva $\sqrt{- 1 (4)}$ como $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{4}$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{4}}{2 \cdot 1}$

Etapa 1.2.7.1.6

Reescreva $\sqrt{- 1}$ como $i$ .

$x = \frac{2 \pm i \cdot \sqrt{4}}{2 \cdot 1}$

Etapa 1.2.7.1.7

Reescreva $4$ como $2^{2}$ .

$x = \frac{2 \pm i \cdot \sqrt{2^{2}}}{2 \cdot 1}$

Etapa 1.2.7.1.8

Elimine os termos abaixo do radical, presumindo que sejam números reais positivos.

$x = \frac{2 \pm i \cdot 2}{2 \cdot 1}$

Etapa 1.2.7.1.9

Mova $2$ para a esquerda de $i$ .

$x = \frac{2 \pm 2 i}{2 \cdot 1}$

Etapa 1.2.7.2

Multiplique $2$ por $1$ .

$x = \frac{2 \pm 2 i}{2}$

Etapa 1.2.7.3

Simplifique $\frac{2 \pm 2 i}{2}$ .

$x = 1 \pm i$

Etapa 1.2.7.4

Altere $\pm$ para $-$ .

$x = 1 - i$

Etapa 1.2.8

A resposta final é a combinação das duas soluções.

$x = 1 + i, 1 - i$

Etapa 1.3

Avalie $y$ quando $x = 1 + i$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.3.1

Substitua $1 + i$ por $x$ .

$y = 2 (1 + i) - 2$

Etapa 1.3.2

Simplifique $2 (1 + i) - 2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.3.2.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.3.2.1.1

Aplique a propriedade distributiva.

$y = 2 \cdot 1 + 2 i - 2$

Etapa 1.3.2.1.2

Multiplique $2$ por $1$ .

$y = 2 + 2 i - 2$

Etapa 1.3.2.2

Simplifique subtraindo os números.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.3.2.2.1

Subtraia $2$ de $2$ .

$y = 0 + 2 i$

Etapa 1.3.2.2.2

Some $0$ e $2 i$ .

$y = 2 i$

Etapa 1.4

Avalie $y$ quando $x = 1 - i$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.4.1

Substitua $1 - i$ por $x$ .

$y = 2 (1 - i) - 2$

Etapa 1.4.2

Simplifique $2 (1 - i) - 2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.4.2.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.4.2.1.1

Aplique a propriedade distributiva.

$y = 2 \cdot 1 + 2 (- i) - 2$

Etapa 1.4.2.1.2

Multiplique $2$ por $1$ .

$y = 2 + 2 (- i) - 2$

Etapa 1.4.2.1.3

Multiplique $- 1$ por $2$ .

$y = 2 - 2 i - 2$

Etapa 1.4.2.2

Simplifique subtraindo os números.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.4.2.2.1

Subtraia $2$ de $2$ .

$y = 0 - 2 i$

Etapa 1.4.2.2.2

Subtraia $2 i$ de $0$ .

$y = - 2 i$

Etapa 1.5

Liste todas as soluções.

$y = 2 i, x = 1 + i$

$y = - 2 i, x = 1 - i$

$y = 2 i, x = 1 + i$

$y = - 2 i, x = 1 - i$

Etapa 2

A área da região entre as curvas é definida como a integral da curva superior menos a integral da curva inferior sobre cada região. As regiões são determinadas pelos pontos de intersecção das curvas. É possível fazer isso de forma algébrica ou gráfica.

$A r e a = \int_{1}^{2} x^{2} d x - \int_{1}^{2} 2 x - 2 d x$

Etapa 3

Integre para encontrar a área entre $1$ e $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.1

Combine as integrais em uma única integral.

$\int_{1}^{2} x^{2} - (2 x - 2) d x$

Etapa 3.2

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.2.1

Aplique a propriedade distributiva.

$x^{2} - (2 x) - - 2$

Etapa 3.2.2

Multiplique $2$ por $- 1$ .

$x^{2} - 2 x - - 2$

Etapa 3.2.3

Multiplique $- 1$ por $- 2$ .

$x^{2} - 2 x + 2$

$\int_{1}^{2} x^{2} - 2 x + 2 d x$

Etapa 3.3

Divida a integral única em várias integrais.

$\int_{1}^{2} x^{2} d x + \int_{1}^{2} - 2 x d x + \int_{1}^{2} 2 d x$

Etapa 3.4

De acordo com a regra da multiplicação de potências, a integral de $x^{2}$ com relação a $x$ é $\frac{1}{3} x^{3}$ .

$\frac{1}{3} x^{3}]_{1}^{2} + \int_{1}^{2} - 2 x d x + \int_{1}^{2} 2 d x$

Etapa 3.5

Como $- 2$ é constante com relação a $x$ , mova $- 2$ para fora da integral.

$\frac{1}{3} x^{3}]_{1}^{2} - 2 \int_{1}^{2} x d x + \int_{1}^{2} 2 d x$

Etapa 3.6

De acordo com a regra da multiplicação de potências, a integral de $x$ com relação a $x$ é $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$\frac{1}{3} x^{3}]_{1}^{2} - 2 (\frac{1}{2} x^{2}]_{1}^{2}) + \int_{1}^{2} 2 d x$

Etapa 3.7

Combine $\frac{1}{2}$ e $x^{2}$ .

$\frac{1}{3} x^{3}]_{1}^{2} - 2 (\frac{x^{2}}{2}]_{1}^{2}) + \int_{1}^{2} 2 d x$

Etapa 3.8

Aplique a regra da constante.

$\frac{1}{3} x^{3}]_{1}^{2} - 2 (\frac{x^{2}}{2}]_{1}^{2}) + 2 x]_{1}^{2}$

Etapa 3.9

Simplifique a resposta.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.9.1

Combine $\frac{1}{3} x^{3}]_{1}^{2}$ e $2 x]_{1}^{2}$ .

$\frac{1}{3} x^{3} + 2 x]_{1}^{2} - 2 (\frac{x^{2}}{2}]_{1}^{2})$

Etapa 3.9.2

Substitua e simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.9.2.1

Avalie $\frac{1}{3} x^{3} + 2 x$ em $2$ e em $1$ .

$(\frac{1}{3} \cdot 2^{3} + 2 \cdot 2) - (\frac{1}{3} \cdot 1^{3} + 2 \cdot 1) - 2 (\frac{x^{2}}{2}]_{1}^{2})$

Etapa 3.9.2.2

Avalie $\frac{x^{2}}{2}$ em $2$ e em $1$ .

$(\frac{1}{3} \cdot 2^{3} + 2 \cdot 2) - (\frac{1}{3} \cdot 1^{3} + 2 \cdot 1) - 2 ((\frac{2^{2}}{2}) - \frac{1^{2}}{2})$

Etapa 3.9.2.3

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.9.2.3.1

Eleve $2$ à potência de $3$ .

$\frac{1}{3} \cdot 8 + 2 \cdot 2 - (\frac{1}{3} \cdot 1^{3} + 2 \cdot 1) - 2 ((\frac{2^{2}}{2}) - \frac{1^{2}}{2})$

Etapa 3.9.2.3.2

Combine $\frac{1}{3}$ e $8$ .

$\frac{8}{3} + 2 \cdot 2 - (\frac{1}{3} \cdot 1^{3} + 2 \cdot 1) - 2 ((\frac{2^{2}}{2}) - \frac{1^{2}}{2})$

Etapa 3.9.2.3.3

Multiplique $2$ por $2$ .

$\frac{8}{3} + 4 - (\frac{1}{3} \cdot 1^{3} + 2 \cdot 1) - 2 ((\frac{2^{2}}{2}) - \frac{1^{2}}{2})$

Etapa 3.9.2.3.4

Para escrever $4$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{3}{3}$ .

$\frac{8}{3} + 4 \cdot \frac{3}{3} - (\frac{1}{3} \cdot 1^{3} + 2 \cdot 1) - 2 ((\frac{2^{2}}{2}) - \frac{1^{2}}{2})$

Etapa 3.9.2.3.5

Combine $4$ e $\frac{3}{3}$ .

$\frac{8}{3} + \frac{4 \cdot 3}{3} - (\frac{1}{3} \cdot 1^{3} + 2 \cdot 1) - 2 ((\frac{2^{2}}{2}) - \frac{1^{2}}{2})$

Etapa 3.9.2.3.6

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{8 + 4 \cdot 3}{3} - (\frac{1}{3} \cdot 1^{3} + 2 \cdot 1) - 2 ((\frac{2^{2}}{2}) - \frac{1^{2}}{2})$

Etapa 3.9.2.3.7

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.9.2.3.7.1

Multiplique $4$ por $3$ .

$\frac{8 + 12}{3} - (\frac{1}{3} \cdot 1^{3} + 2 \cdot 1) - 2 ((\frac{2^{2}}{2}) - \frac{1^{2}}{2})$

Etapa 3.9.2.3.7.2

Some $8$ e $12$ .

$\frac{20}{3} - (\frac{1}{3} \cdot 1^{3} + 2 \cdot 1) - 2 ((\frac{2^{2}}{2}) - \frac{1^{2}}{2})$

Etapa 3.9.2.3.8

Um elevado a qualquer potência é um.

$\frac{20}{3} - (\frac{1}{3} \cdot 1 + 2 \cdot 1) - 2 ((\frac{2^{2}}{2}) - \frac{1^{2}}{2})$

Etapa 3.9.2.3.9

Multiplique $\frac{1}{3}$ por $1$ .

$\frac{20}{3} - (\frac{1}{3} + 2 \cdot 1) - 2 ((\frac{2^{2}}{2}) - \frac{1^{2}}{2})$

Etapa 3.9.2.3.10

Multiplique $2$ por $1$ .

$\frac{20}{3} - (\frac{1}{3} + 2) - 2 ((\frac{2^{2}}{2}) - \frac{1^{2}}{2})$

Etapa 3.9.2.3.11

Para escrever $2$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{3}{3}$ .

$\frac{20}{3} - (\frac{1}{3} + 2 \cdot \frac{3}{3}) - 2 ((\frac{2^{2}}{2}) - \frac{1^{2}}{2})$

Etapa 3.9.2.3.12

Combine $2$ e $\frac{3}{3}$ .

$\frac{20}{3} - (\frac{1}{3} + \frac{2 \cdot 3}{3}) - 2 ((\frac{2^{2}}{2}) - \frac{1^{2}}{2})$

Etapa 3.9.2.3.13

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{20}{3} - \frac{1 + 2 \cdot 3}{3} - 2 ((\frac{2^{2}}{2}) - \frac{1^{2}}{2})$

Etapa 3.9.2.3.14

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.9.2.3.14.1

Multiplique $2$ por $3$ .

$\frac{20}{3} - \frac{1 + 6}{3} - 2 ((\frac{2^{2}}{2}) - \frac{1^{2}}{2})$

Etapa 3.9.2.3.14.2

Some $1$ e $6$ .

$\frac{20}{3} - \frac{7}{3} - 2 ((\frac{2^{2}}{2}) - \frac{1^{2}}{2})$

Etapa 3.9.2.3.15

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{20 - 7}{3} - 2 ((\frac{2^{2}}{2}) - \frac{1^{2}}{2})$

Etapa 3.9.2.3.16

Subtraia $7$ de $20$ .

$\frac{13}{3} - 2 ((\frac{2^{2}}{2}) - \frac{1^{2}}{2})$

Etapa 3.9.2.3.17

Eleve $2$ à potência de $2$ .

$\frac{13}{3} - 2 (\frac{4}{2} - \frac{1^{2}}{2})$

Etapa 3.9.2.3.18

Cancele o fator comum de $4$ e $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.9.2.3.18.1

Fatore $2$ de $4$ .

$\frac{13}{3} - 2 (\frac{2 \cdot 2}{2} - \frac{1^{2}}{2})$

Etapa 3.9.2.3.18.2

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.9.2.3.18.2.1

Fatore $2$ de $2$ .

$\frac{13}{3} - 2 (\frac{2 \cdot 2}{2 (1)} - \frac{1^{2}}{2})$

Etapa 3.9.2.3.18.2.2

Cancele o fator comum.

$\frac{13}{3} - 2 (\frac{2 \cdot 2}{2 \cdot 1} - \frac{1^{2}}{2})$

Etapa 3.9.2.3.18.2.3

Reescreva a expressão.

$\frac{13}{3} - 2 (\frac{2}{1} - \frac{1^{2}}{2})$

Etapa 3.9.2.3.18.2.4

Divida $2$ por $1$ .

$\frac{13}{3} - 2 (2 - \frac{1^{2}}{2})$

Etapa 3.9.2.3.19

Um elevado a qualquer potência é um.

$\frac{13}{3} - 2 (2 - \frac{1}{2})$

Etapa 3.9.2.3.20

Para escrever $2$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{2}{2}$ .

$\frac{13}{3} - 2 (2 \cdot \frac{2}{2} - \frac{1}{2})$

Etapa 3.9.2.3.21

Combine $2$ e $\frac{2}{2}$ .

$\frac{13}{3} - 2 (\frac{2 \cdot 2}{2} - \frac{1}{2})$

Etapa 3.9.2.3.22

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{13}{3} - 2 \frac{2 \cdot 2 - 1}{2}$

Etapa 3.9.2.3.23

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.9.2.3.23.1

Multiplique $2$ por $2$ .

$\frac{13}{3} - 2 \frac{4 - 1}{2}$

Etapa 3.9.2.3.23.2

Subtraia $1$ de $4$ .

$\frac{13}{3} - 2 (\frac{3}{2})$

Etapa 3.9.2.3.24

Combine $- 2$ e $\frac{3}{2}$ .

$\frac{13}{3} + \frac{- 2 \cdot 3}{2}$

Etapa 3.9.2.3.25

Multiplique $- 2$ por $3$ .

$\frac{13}{3} + \frac{- 6}{2}$

Etapa 3.9.2.3.26

Cancele o fator comum de $- 6$ e $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.9.2.3.26.1

Fatore $2$ de $- 6$ .

$\frac{13}{3} + \frac{2 \cdot - 3}{2}$

Etapa 3.9.2.3.26.2

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.9.2.3.26.2.1

Fatore $2$ de $2$ .

$\frac{13}{3} + \frac{2 \cdot - 3}{2 (1)}$

Etapa 3.9.2.3.26.2.2

Cancele o fator comum.

$\frac{13}{3} + \frac{2 \cdot - 3}{2 \cdot 1}$

Etapa 3.9.2.3.26.2.3

Reescreva a expressão.

$\frac{13}{3} + \frac{- 3}{1}$

Etapa 3.9.2.3.26.2.4

Divida $- 3$ por $1$ .

$\frac{13}{3} - 3$

Etapa 3.9.2.3.27

Para escrever $- 3$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{3}{3}$ .

$\frac{13}{3} - 3 \cdot \frac{3}{3}$

Etapa 3.9.2.3.28

Combine $- 3$ e $\frac{3}{3}$ .

$\frac{13}{3} + \frac{- 3 \cdot 3}{3}$

Etapa 3.9.2.3.29

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{13 - 3 \cdot 3}{3}$

Etapa 3.9.2.3.30

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.9.2.3.30.1

Multiplique $- 3$ por $3$ .

$\frac{13 - 9}{3}$

Etapa 3.9.2.3.30.2

Subtraia $9$ de $13$ .

$\frac{4}{3}$

Etapa 4