Cálculo Exemplos

$\sqrt{x - 9}$

Etapa 1

Escreva $\sqrt{x - 9}$ como uma função.

$f (x) = \sqrt{x - 9}$

Etapa 2

Find the $x$ values where the second derivative is equal to $0$ .

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Etapa 2.1

Encontre a segunda derivada.

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Etapa 2.1.1

Encontre a primeira derivada.

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Etapa 2.1.1.1

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt{x - 9}$ como ${(x - 9)}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{d}{d x} [{(x - 9)}^{\frac{1}{2}}]$

Etapa 2.1.1.2

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ e $g (x) = x - 9$ .

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Etapa 2.1.1.2.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u$ como $x - 9$ .

$\frac{d}{d u} [u^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d x} [x - 9]$

Etapa 2.1.1.2.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ é $n u^{n - 1}$ , em que $n = \frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{2} u^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [x - 9]$

Etapa 2.1.1.2.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $x - 9$ .

$\frac{1}{2} {(x - 9)}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [x - 9]$

Etapa 2.1.1.3

Para escrever $- 1$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2} {(x - 9)}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d x} [x - 9]$

Etapa 2.1.1.4

Combine $- 1$ e $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2} {(x - 9)}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [x - 9]$

Etapa 2.1.1.5

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{1}{2} {(x - 9)}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [x - 9]$

Etapa 2.1.1.6

Simplifique o numerador.

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Etapa 2.1.1.6.1

Multiplique $- 1$ por $2$ .

$\frac{1}{2} {(x - 9)}^{\frac{1 - 2}{2}} \frac{d}{d x} [x - 9]$

Etapa 2.1.1.6.2

Subtraia $2$ de $1$ .

$\frac{1}{2} {(x - 9)}^{\frac{- 1}{2}} \frac{d}{d x} [x - 9]$

Etapa 2.1.1.7

Combine frações.

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Etapa 2.1.1.7.1

Mova o número negativo para a frente da fração.

$\frac{1}{2} {(x - 9)}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x - 9]$

Etapa 2.1.1.7.2

Combine $\frac{1}{2}$ e ${(x - 9)}^{- \frac{1}{2}}$ .

$\frac{{(x - 9)}^{- \frac{1}{2}}}{2} \frac{d}{d x} [x - 9]$

Etapa 2.1.1.7.3

Mova ${(x - 9)}^{- \frac{1}{2}}$ para o denominador usando a regra do expoente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{1}{2 {(x - 9)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [x - 9]$

Etapa 2.1.1.8

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x - 9$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 9]$ .

$\frac{1}{2 {(x - 9)}^{\frac{1}{2}}} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 9])$

Etapa 2.1.1.9

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$\frac{1}{2 {(x - 9)}^{\frac{1}{2}}} (1 + \frac{d}{d x} [- 9])$

Etapa 2.1.1.10

Como $- 9$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 9$ em relação a $x$ é $0$ .

$\frac{1}{2 {(x - 9)}^{\frac{1}{2}}} (1 + 0)$

Etapa 2.1.1.11

Simplifique a expressão.

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Etapa 2.1.1.11.1

Some $1$ e $0$ .

$\frac{1}{2 {(x - 9)}^{\frac{1}{2}}} \cdot 1$

Etapa 2.1.1.11.2

Multiplique $\frac{1}{2 {(x - 9)}^{\frac{1}{2}}}$ por $1$ .

$f' (x) = \frac{1}{2 {(x - 9)}^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 2.1.2

Encontre a segunda derivada.

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Etapa 2.1.2.1

Diferencie usando a regra do múltiplo constante.

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Etapa 2.1.2.1.1

Como $\frac{1}{2}$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $\frac{1}{2 {(x - 9)}^{\frac{1}{2}}}$ em relação a $x$ é $\frac{1}{2} \frac{d}{d x} [\frac{1}{{(x - 9)}^{\frac{1}{2}}}]$ .

$\frac{1}{2} \frac{d}{d x} [\frac{1}{{(x - 9)}^{\frac{1}{2}}}]$

Etapa 2.1.2.1.2

Aplique regras básicas de expoentes.

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Etapa 2.1.2.1.2.1

Reescreva $\frac{1}{{(x - 9)}^{\frac{1}{2}}}$ como ${({(x - 9)}^{\frac{1}{2}})}^{- 1}$ .

$\frac{1}{2} \frac{d}{d x} [{({(x - 9)}^{\frac{1}{2}})}^{- 1}]$

Etapa 2.1.2.1.2.2

Multiplique os expoentes em ${({(x - 9)}^{\frac{1}{2}})}^{- 1}$ .

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Etapa 2.1.2.1.2.2.1

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{1}{2} \frac{d}{d x} [{(x - 9)}^{\frac{1}{2} \cdot - 1}]$

Etapa 2.1.2.1.2.2.2

Combine $\frac{1}{2}$ e $- 1$ .

$\frac{1}{2} \frac{d}{d x} [{(x - 9)}^{\frac{- 1}{2}}]$

Etapa 2.1.2.1.2.2.3

Mova o número negativo para a frente da fração.

$\frac{1}{2} \frac{d}{d x} [{(x - 9)}^{- \frac{1}{2}}]$

Etapa 2.1.2.2

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = x^{- \frac{1}{2}}$ e $g (x) = x - 9$ .

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Etapa 2.1.2.2.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u$ como $x - 9$ .

$\frac{1}{2} (\frac{d}{d u} [u^{- \frac{1}{2}}] \frac{d}{d x} [x - 9])$

Etapa 2.1.2.2.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ é $n u^{n - 1}$ , em que $n = - \frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{2} (- \frac{1}{2} u^{- \frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [x - 9])$

Etapa 2.1.2.2.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $x - 9$ .

$\frac{1}{2} (- \frac{1}{2} {(x - 9)}^{- \frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [x - 9])$

Etapa 2.1.2.3

Para escrever $- 1$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2} (- \frac{1}{2} {(x - 9)}^{- \frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d x} [x - 9])$

Etapa 2.1.2.4

Combine $- 1$ e $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2} (- \frac{1}{2} {(x - 9)}^{- \frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [x - 9])$

Etapa 2.1.2.5

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{1}{2} (- \frac{1}{2} {(x - 9)}^{\frac{- 1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [x - 9])$

Etapa 2.1.2.6

Simplifique o numerador.

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Etapa 2.1.2.6.1

Multiplique $- 1$ por $2$ .

$\frac{1}{2} (- \frac{1}{2} {(x - 9)}^{\frac{- 1 - 2}{2}} \frac{d}{d x} [x - 9])$

Etapa 2.1.2.6.2

Subtraia $2$ de $- 1$ .

$\frac{1}{2} (- \frac{1}{2} {(x - 9)}^{\frac{- 3}{2}} \frac{d}{d x} [x - 9])$

Etapa 2.1.2.7

Combine frações.

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Etapa 2.1.2.7.1

Mova o número negativo para a frente da fração.

$\frac{1}{2} (- \frac{1}{2} {(x - 9)}^{- \frac{3}{2}} \frac{d}{d x} [x - 9])$

Etapa 2.1.2.7.2

Combine ${(x - 9)}^{- \frac{3}{2}}$ e $\frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{2} (- \frac{{(x - 9)}^{- \frac{3}{2}}}{2} \frac{d}{d x} [x - 9])$

Etapa 2.1.2.7.3

Mova ${(x - 9)}^{- \frac{3}{2}}$ para o denominador usando a regra do expoente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{1}{2} (- \frac{1}{2 {(x - 9)}^{\frac{3}{2}}} \frac{d}{d x} [x - 9])$

Etapa 2.1.2.7.4

Multiplique $\frac{1}{2}$ por $\frac{1}{2 {(x - 9)}^{\frac{3}{2}}}$ .

$- \frac{1}{2 (2 {(x - 9)}^{\frac{3}{2}})} \frac{d}{d x} [x - 9]$

Etapa 2.1.2.7.5

Multiplique $2$ por $2$ .

$- \frac{1}{4 {(x - 9)}^{\frac{3}{2}}} \frac{d}{d x} [x - 9]$

Etapa 2.1.2.8

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x - 9$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 9]$ .

$- \frac{1}{4 {(x - 9)}^{\frac{3}{2}}} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 9])$

Etapa 2.1.2.9

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$- \frac{1}{4 {(x - 9)}^{\frac{3}{2}}} (1 + \frac{d}{d x} [- 9])$

Etapa 2.1.2.10

Como $- 9$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 9$ em relação a $x$ é $0$ .

$- \frac{1}{4 {(x - 9)}^{\frac{3}{2}}} (1 + 0)$

Etapa 2.1.2.11

Simplifique a expressão.

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Etapa 2.1.2.11.1

Some $1$ e $0$ .

$- \frac{1}{4 {(x - 9)}^{\frac{3}{2}}} \cdot 1$

Etapa 2.1.2.11.2

Multiplique $- 1$ por $1$ .

$f'' (x) = - \frac{1}{4 {(x - 9)}^{\frac{3}{2}}}$

Etapa 2.1.3

A segunda derivada de $f (x)$ com relação a $x$ é $- \frac{1}{4 {(x - 9)}^{\frac{3}{2}}}$ .

$- \frac{1}{4 {(x - 9)}^{\frac{3}{2}}}$

Etapa 2.2

Defina a segunda derivada como igual a $0$ e resolva a equação $- \frac{1}{4 {(x - 9)}^{\frac{3}{2}}} = 0$ .

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Etapa 2.2.1

Defina a segunda derivada como igual a $0$ .

$- \frac{1}{4 {(x - 9)}^{\frac{3}{2}}} = 0$

Etapa 2.2.2

Defina o numerador como igual a zero.

$1 = 0$

Etapa 2.2.3

Como $1 \neq 0$ , não há soluções.

Nenhuma solução

Etapa 3

Encontre o domínio de $f (x) = \sqrt{x - 9}$ .

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Etapa 3.1

Defina o radicando em $\sqrt{x - 9}$ como maior do que ou igual a $0$ para encontrar onde a expressão está definida.

$x - 9 \geq 0$

Etapa 3.2

Some $9$ aos dois lados da desigualdade.

$x \geq 9$

Etapa 3.3

O domínio consiste em todos os valores de $x$ que tornam a expressão definida.

Notação de intervalo:

$[9, \infty)$

Notação de construtor de conjuntos:

${x | x \geq 9}$

Notação de intervalo:

$[9, \infty)$

Notação de construtor de conjuntos:

${x | x \geq 9}$

Etapa 4

Crie intervalos em torno dos valores $x$ , em que a segunda derivada é zero ou indefinida.

$[9, \infty)$

Etapa 5

Substitua qualquer número do intervalo $[9, \infty)$ na segunda derivada e avalie para determinar a concavidade.

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Etapa 5.1

Substitua a variável $x$ por $12$ na expressão.

$f'' (12) = - \frac{1}{4 {((12) - 9)}^{\frac{3}{2}}}$

Etapa 5.2

Simplifique o resultado.

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Etapa 5.2.1

Subtraia $9$ de $12$ .

$f'' (12) = - \frac{1}{4 \cdot 3^{\frac{3}{2}}}$

Etapa 5.2.2

A resposta final é $- \frac{1}{4 \cdot 3^{\frac{3}{2}}}$ .

$- \frac{1}{4 \cdot 3^{\frac{3}{2}}}$

Etapa 5.3

O gráfico tem concavidade para baixo no intervalo $[9, \infty)$ porque $f'' (12)$ é negativo.

Concavidade para baixo em $[9, \infty)$ , já que $f'' (x)$ é negativo

Etapa 6