Cálculo Exemplos

$\frac{x^{2} + 64}{x}$

Etapa 1

Escreva $\frac{x^{2} + 64}{x}$ como uma função.

$f (x) = \frac{x^{2} + 64}{x}$

Etapa 2

Find the $x$ values where the second derivative is equal to $0$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1

Encontre a segunda derivada.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.1

Encontre a primeira derivada.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.1.1

Diferencie usando a regra do quociente, que determina que $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ é $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ , em que $f (x) = x^{2} + 64$ e $g (x) = x$ .

$\frac{x \frac{d}{d x} [x^{2} + 64] - (x^{2} + 64) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Etapa 2.1.1.2

Diferencie.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.1.2.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x^{2} + 64$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [64]$ .

$\frac{x (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [64]) - (x^{2} + 64) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Etapa 2.1.1.2.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$\frac{x (2 x + \frac{d}{d x} [64]) - (x^{2} + 64) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Etapa 2.1.1.2.3

Como $64$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $64$ em relação a $x$ é $0$ .

$\frac{x (2 x + 0) - (x^{2} + 64) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Etapa 2.1.1.2.4

Some $2 x$ e $0$ .

$\frac{x (2 x) - (x^{2} + 64) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Etapa 2.1.1.3

Eleve $x$ à potência de $1$ .

$\frac{2 (x^{1} x) - (x^{2} + 64) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Etapa 2.1.1.4

Eleve $x$ à potência de $1$ .

$\frac{2 (x^{1} x^{1}) - (x^{2} + 64) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Etapa 2.1.1.5

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$\frac{2 x^{1 + 1} - (x^{2} + 64) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Etapa 2.1.1.6

Some $1$ e $1$ .

$\frac{2 x^{2} - (x^{2} + 64) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Etapa 2.1.1.7

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$\frac{2 x^{2} - (x^{2} + 64) \cdot 1}{x^{2}}$

Etapa 2.1.1.8

Multiplique $- 1$ por $1$ .

$\frac{2 x^{2} - (x^{2} + 64)}{x^{2}}$

Etapa 2.1.1.9

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.1.9.1

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{2 x^{2} - x^{2} - 1 \cdot 64}{x^{2}}$

Etapa 2.1.1.9.2

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.1.9.2.1

Multiplique $- 1$ por $64$ .

$\frac{2 x^{2} - x^{2} - 64}{x^{2}}$

Etapa 2.1.1.9.2.2

Subtraia $x^{2}$ de $2 x^{2}$ .

$\frac{x^{2} - 64}{x^{2}}$

Etapa 2.1.1.9.3

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.1.9.3.1

Reescreva $64$ como $8^{2}$ .

$\frac{x^{2} - 8^{2}}{x^{2}}$

Etapa 2.1.1.9.3.2

Como os dois termos são quadrados perfeitos, fatore usando a fórmula da diferença de quadrados, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ em que $a = x$ e $b = 8$ .

$f' (x) = \frac{(x + 8) (x - 8)}{x^{2}}$

Etapa 2.1.2

Encontre a segunda derivada.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.2.1

$\frac{x^{2} \frac{d}{d x} [(x + 8) (x - 8)] - (x + 8) (x - 8) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{{(x^{2})}^{2}}$

Etapa 2.1.2.2

Multiplique os expoentes em ${(x^{2})}^{2}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.2.2.1

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{x^{2} \frac{d}{d x} [(x + 8) (x - 8)] - (x + 8) (x - 8) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{2 \cdot 2}}$

Etapa 2.1.2.2.2

Multiplique $2$ por $2$ .

$\frac{x^{2} \frac{d}{d x} [(x + 8) (x - 8)] - (x + 8) (x - 8) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

Etapa 2.1.2.3

Diferencie usando a regra do produto, que determina que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ é $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , em que $f (x) = x + 8$ e $g (x) = x - 8$ .

$\frac{x^{2} ((x + 8) \frac{d}{d x} [x - 8] + (x - 8) \frac{d}{d x} [x + 8]) - (x + 8) (x - 8) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

Etapa 2.1.2.4

Diferencie.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.2.4.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x - 8$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 8]$ .

$\frac{x^{2} ((x + 8) (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 8]) + (x - 8) \frac{d}{d x} [x + 8]) - (x + 8) (x - 8) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

Etapa 2.1.2.4.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$\frac{x^{2} ((x + 8) (1 + \frac{d}{d x} [- 8]) + (x - 8) \frac{d}{d x} [x + 8]) - (x + 8) (x - 8) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

Etapa 2.1.2.4.3

Como $- 8$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 8$ em relação a $x$ é $0$ .

$\frac{x^{2} ((x + 8) (1 + 0) + (x - 8) \frac{d}{d x} [x + 8]) - (x + 8) (x - 8) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

Etapa 2.1.2.4.4

Simplifique a expressão.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.2.4.4.1

Some $1$ e $0$ .

$\frac{x^{2} ((x + 8) \cdot 1 + (x - 8) \frac{d}{d x} [x + 8]) - (x + 8) (x - 8) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

Etapa 2.1.2.4.4.2

Multiplique $x + 8$ por $1$ .

$\frac{x^{2} (x + 8 + (x - 8) \frac{d}{d x} [x + 8]) - (x + 8) (x - 8) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

Etapa 2.1.2.4.5

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x + 8$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [8]$ .

$\frac{x^{2} (x + 8 + (x - 8) (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [8])) - (x + 8) (x - 8) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

Etapa 2.1.2.4.6

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$\frac{x^{2} (x + 8 + (x - 8) (1 + \frac{d}{d x} [8])) - (x + 8) (x - 8) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

Etapa 2.1.2.4.7

Como $8$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $8$ em relação a $x$ é $0$ .

$\frac{x^{2} (x + 8 + (x - 8) (1 + 0)) - (x + 8) (x - 8) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

Etapa 2.1.2.4.8

Simplifique somando os termos.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.2.4.8.1

Some $1$ e $0$ .

$\frac{x^{2} (x + 8 + (x - 8) \cdot 1) - (x + 8) (x - 8) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

Etapa 2.1.2.4.8.2

Multiplique $x - 8$ por $1$ .

$\frac{x^{2} (x + 8 + x - 8) - (x + 8) (x - 8) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

Etapa 2.1.2.4.8.3

Some $x$ e $x$ .

$\frac{x^{2} (2 x + 8 - 8) - (x + 8) (x - 8) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

Etapa 2.1.2.4.8.4

Simplifique subtraindo os números.

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Etapa 2.1.2.4.8.4.1

Subtraia $8$ de $8$ .

$\frac{x^{2} (2 x + 0) - (x + 8) (x - 8) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

Etapa 2.1.2.4.8.4.2

Some $2 x$ e $0$ .

$\frac{x^{2} (2 x) - (x + 8) (x - 8) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

Etapa 2.1.2.5

Multiplique $x^{2}$ por $x$ somando os expoentes.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.2.5.1

Mova $x$ .

$\frac{x \cdot x^{2} \cdot 2 - (x + 8) (x - 8) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

Etapa 2.1.2.5.2

Multiplique $x$ por $x^{2}$ .

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Etapa 2.1.2.5.2.1

Eleve $x$ à potência de $1$ .

$\frac{x^{1} x^{2} \cdot 2 - (x + 8) (x - 8) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

Etapa 2.1.2.5.2.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$\frac{x^{1 + 2} \cdot 2 - (x + 8) (x - 8) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

Etapa 2.1.2.5.3

Some $1$ e $2$ .

$\frac{x^{3} \cdot 2 - (x + 8) (x - 8) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

Etapa 2.1.2.6

Mova $2$ para a esquerda de $x^{3}$ .

$\frac{2 \cdot x^{3} - (x + 8) (x - 8) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

Etapa 2.1.2.7

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$\frac{2 x^{3} - (x + 8) (x - 8) (2 x)}{x^{4}}$

Etapa 2.1.2.8

Multiplique $2$ por $- 1$ .

$\frac{2 x^{3} - 2 (x + 8) (x - 8) x}{x^{4}}$

Etapa 2.1.2.9

Simplifique.

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Etapa 2.1.2.9.1

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{2 x^{3} + (- 2 x - 2 \cdot 8) (x - 8) x}{x^{4}}$

Etapa 2.1.2.9.2

Simplifique o numerador.

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Etapa 2.1.2.9.2.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.2.9.2.1.1

Multiplique $- 2$ por $8$ .

$\frac{2 x^{3} + (- 2 x - 16) (x - 8) x}{x^{4}}$

Etapa 2.1.2.9.2.1.2

Expanda $(- 2 x - 16) (x - 8)$ usando o método FOIL.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.2.9.2.1.2.1

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{2 x^{3} + (- 2 x (x - 8) - 16 (x - 8)) x}{x^{4}}$

Etapa 2.1.2.9.2.1.2.2

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{2 x^{3} + (- 2 x \cdot x - 2 x \cdot - 8 - 16 (x - 8)) x}{x^{4}}$

Etapa 2.1.2.9.2.1.2.3

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{2 x^{3} + (- 2 x \cdot x - 2 x \cdot - 8 - 16 x - 16 \cdot - 8) x}{x^{4}}$

Etapa 2.1.2.9.2.1.3

Simplifique e combine termos semelhantes.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.2.9.2.1.3.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.2.9.2.1.3.1.1

Multiplique $x$ por $x$ somando os expoentes.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.2.9.2.1.3.1.1.1

Mova $x$ .

$\frac{2 x^{3} + (- 2 (x \cdot x) - 2 x \cdot - 8 - 16 x - 16 \cdot - 8) x}{x^{4}}$

Etapa 2.1.2.9.2.1.3.1.1.2

Multiplique $x$ por $x$ .

$\frac{2 x^{3} + (- 2 x^{2} - 2 x \cdot - 8 - 16 x - 16 \cdot - 8) x}{x^{4}}$

Etapa 2.1.2.9.2.1.3.1.2

Multiplique $- 8$ por $- 2$ .

$\frac{2 x^{3} + (- 2 x^{2} + 16 x - 16 x - 16 \cdot - 8) x}{x^{4}}$

Etapa 2.1.2.9.2.1.3.1.3

Multiplique $- 16$ por $- 8$ .

$\frac{2 x^{3} + (- 2 x^{2} + 16 x - 16 x + 128) x}{x^{4}}$

Etapa 2.1.2.9.2.1.3.2

Subtraia $16 x$ de $16 x$ .

$\frac{2 x^{3} + (- 2 x^{2} + 0 + 128) x}{x^{4}}$

Etapa 2.1.2.9.2.1.3.3

Some $- 2 x^{2}$ e $0$ .

$\frac{2 x^{3} + (- 2 x^{2} + 128) x}{x^{4}}$

Etapa 2.1.2.9.2.1.4

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{2 x^{3} - 2 x^{2} x + 128 x}{x^{4}}$

Etapa 2.1.2.9.2.1.5

Multiplique $x^{2}$ por $x$ somando os expoentes.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.2.9.2.1.5.1

Mova $x$ .

$\frac{2 x^{3} - 2 (x \cdot x^{2}) + 128 x}{x^{4}}$

Etapa 2.1.2.9.2.1.5.2

Multiplique $x$ por $x^{2}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.2.9.2.1.5.2.1

Eleve $x$ à potência de $1$ .

$\frac{2 x^{3} - 2 (x^{1} x^{2}) + 128 x}{x^{4}}$

Etapa 2.1.2.9.2.1.5.2.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$\frac{2 x^{3} - 2 x^{1 + 2} + 128 x}{x^{4}}$

Etapa 2.1.2.9.2.1.5.3

Some $1$ e $2$ .

$\frac{2 x^{3} - 2 x^{3} + 128 x}{x^{4}}$

Etapa 2.1.2.9.2.2

Subtraia $2 x^{3}$ de $2 x^{3}$ .

$\frac{0 + 128 x}{x^{4}}$

Etapa 2.1.2.9.2.3

Some $0$ e $128 x$ .

$\frac{128 x}{x^{4}}$

Etapa 2.1.2.9.3

Cancele o fator comum de $x$ e $x^{4}$ .

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Etapa 2.1.2.9.3.1

Fatore $x$ de $128 x$ .

$\frac{x \cdot 128}{x^{4}}$

Etapa 2.1.2.9.3.2

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.2.9.3.2.1

Fatore $x$ de $x^{4}$ .

$\frac{x \cdot 128}{x \cdot x^{3}}$

Etapa 2.1.2.9.3.2.2

Cancele o fator comum.

$\frac{x \cdot 128}{x \cdot x^{3}}$

Etapa 2.1.2.9.3.2.3

Reescreva a expressão.

$f'' (x) = \frac{128}{x^{3}}$

Etapa 2.1.3

A segunda derivada de $f (x)$ com relação a $x$ é $\frac{128}{x^{3}}$ .

$\frac{128}{x^{3}}$

Etapa 2.2

Defina a segunda derivada como igual a $0$ e resolva a equação $\frac{128}{x^{3}} = 0$ .

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Etapa 2.2.1

Defina a segunda derivada como igual a $0$ .

$\frac{128}{x^{3}} = 0$

Etapa 2.2.2

Defina o numerador como igual a zero.

$128 = 0$

Etapa 2.2.3

Como $128 \neq 0$ , não há soluções.

Nenhuma solução

Etapa 3

Encontre o domínio de $f (x) = \frac{x^{2} + 64}{x}$ .

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Etapa 3.1

Defina o denominador em $\frac{x^{2} + 64}{x}$ como igual a $0$ para encontrar onde a expressão está indefinida.

$x = 0$

Etapa 3.2

O domínio consiste em todos os valores de $x$ que tornam a expressão definida.

Notação de intervalo:

$(- \infty, 0) \cup (0, \infty)$

Notação de construtor de conjuntos:

${x | x \neq 0}$

Notação de intervalo:

$(- \infty, 0) \cup (0, \infty)$

Notação de construtor de conjuntos:

${x | x \neq 0}$

Etapa 4

Crie intervalos em torno dos valores $x$ , em que a segunda derivada é zero ou indefinida.

$(- \infty, 0) \cup (0, \infty)$

Etapa 5

Substitua qualquer número do intervalo $(- \infty, 0)$ na segunda derivada e avalie para determinar a concavidade.

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Etapa 5.1

Substitua a variável $x$ por $- 2$ na expressão.

$f'' (- 2) = \frac{128}{{(- 2)}^{3}}$

Etapa 5.2

Simplifique o resultado.

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Etapa 5.2.1

Eleve $- 2$ à potência de $3$ .

$f'' (- 2) = \frac{128}{- 8}$

Etapa 5.2.2

Divida $128$ por $- 8$ .

$f'' (- 2) = - 16$

Etapa 5.2.3

A resposta final é $- 16$ .

$- 16$

Etapa 5.3

O gráfico tem concavidade para baixo no intervalo $(- \infty, 0)$ porque $f'' (- 2)$ é negativo.

Concavidade para baixo em $(- \infty, 0)$ , já que $f'' (x)$ é negativo

Etapa 6

Substitua qualquer número do intervalo $(0, \infty)$ na segunda derivada e avalie para determinar a concavidade.

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Etapa 6.1

Substitua a variável $x$ por $2$ na expressão.

$f'' (2) = \frac{128}{{(2)}^{3}}$

Etapa 6.2

Simplifique o resultado.

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Etapa 6.2.1

Eleve $2$ à potência de $3$ .

$f'' (2) = \frac{128}{8}$

Etapa 6.2.2

Divida $128$ por $8$ .

$f'' (2) = 16$

Etapa 6.2.3

A resposta final é $16$ .

$16$

Etapa 6.3

O gráfico tem concavidade para cima no intervalo $(0, \infty)$ porque $f'' (2)$ é positivo.

Concavidade para cima em $(0, \infty)$ , já que $f'' (x)$ é positivo

Etapa 7

O gráfico tem concavidade para baixo quando a segunda derivada é negativa e concavidade para cima quando a segunda derivada é positiva.

Concavidade para baixo em $(- \infty, 0)$ , já que $f'' (x)$ é negativo

Concavidade para cima em $(0, \infty)$ , já que $f'' (x)$ é positivo

Etapa 8