Cálculo Exemplos

$6 \sec (x - \frac{π}{2})$

Etapa 1

Escreva $6 \sec (x - \frac{π}{2})$ como uma função.

$f (x) = 6 \sec (x - \frac{π}{2})$

Etapa 2

Find the $x$ values where the second derivative is equal to $0$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1

Encontre a segunda derivada.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.1

Encontre a primeira derivada.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.1.1

Como $6$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $6 \sec (x - \frac{π}{2})$ em relação a $x$ é $6 \frac{d}{d x} [\sec (x - \frac{π}{2})]$ .

$6 \frac{d}{d x} [\sec (x - \frac{π}{2})]$

Etapa 2.1.1.2

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = \sec (x)$ e $g (x) = x - \frac{π}{2}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.1.2.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u$ como $x - \frac{π}{2}$ .

$6 (\frac{d}{d u} [\sec (u)] \frac{d}{d x} [x - \frac{π}{2}])$

Etapa 2.1.1.2.2

A derivada de $\sec (u)$ em relação a $u$ é $\sec (u) \tan (u)$ .

$6 (\sec (u) \tan (u) \frac{d}{d x} [x - \frac{π}{2}])$

Etapa 2.1.1.2.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $x - \frac{π}{2}$ .

$6 (\sec (x - \frac{π}{2}) \tan (x - \frac{π}{2}) \frac{d}{d x} [x - \frac{π}{2}])$

Etapa 2.1.1.3

Diferencie.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.1.3.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x - \frac{π}{2}$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- \frac{π}{2}]$ .

$6 \sec (x - \frac{π}{2}) \tan (x - \frac{π}{2}) (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- \frac{π}{2}])$

Etapa 2.1.1.3.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$6 \sec (x - \frac{π}{2}) \tan (x - \frac{π}{2}) (1 + \frac{d}{d x} [- \frac{π}{2}])$

Etapa 2.1.1.3.3

Como $- \frac{π}{2}$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- \frac{π}{2}$ em relação a $x$ é $0$ .

$6 \sec (x - \frac{π}{2}) \tan (x - \frac{π}{2}) (1 + 0)$

Etapa 2.1.1.3.4

Simplifique a expressão.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.1.3.4.1

Some $1$ e $0$ .

$6 \sec (x - \frac{π}{2}) \tan (x - \frac{π}{2}) \cdot 1$

Etapa 2.1.1.3.4.2

Multiplique $6$ por $1$ .

$f' (x) = 6 \sec (x - \frac{π}{2}) \tan (x - \frac{π}{2})$

Etapa 2.1.2

Encontre a segunda derivada.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.2.1

Como $6$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $6 \sec (x - \frac{π}{2}) \tan (x - \frac{π}{2})$ em relação a $x$ é $6 \frac{d}{d x} [\sec (x - \frac{π}{2}) \tan (x - \frac{π}{2})]$ .

$6 \frac{d}{d x} [\sec (x - \frac{π}{2}) \tan (x - \frac{π}{2})]$

Etapa 2.1.2.2

Diferencie usando a regra do produto, que determina que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ é $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , em que $f (x) = \sec (x - \frac{π}{2})$ e $g (x) = \tan (x - \frac{π}{2})$ .

$6 (\sec (x - \frac{π}{2}) \frac{d}{d x} [\tan (x - \frac{π}{2})] + \tan (x - \frac{π}{2}) \frac{d}{d x} [\sec (x - \frac{π}{2})])$

Etapa 2.1.2.3

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = \tan (x)$ e $g (x) = x - \frac{π}{2}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.2.3.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u_{1}$ como $x - \frac{π}{2}$ .

$6 (\sec (x - \frac{π}{2}) (\frac{d}{d u_{1}} [\tan (u_{1})] \frac{d}{d x} [x - \frac{π}{2}]) + \tan (x - \frac{π}{2}) \frac{d}{d x} [\sec (x - \frac{π}{2})])$

Etapa 2.1.2.3.2

A derivada de $\tan (u_{1})$ em relação a $u_{1}$ é $\sec^{2} (u_{1})$ .

$6 (\sec (x - \frac{π}{2}) (\sec^{2} (u_{1}) \frac{d}{d x} [x - \frac{π}{2}]) + \tan (x - \frac{π}{2}) \frac{d}{d x} [\sec (x - \frac{π}{2})])$

Etapa 2.1.2.3.3

Substitua todas as ocorrências de $u_{1}$ por $x - \frac{π}{2}$ .

$6 (\sec (x - \frac{π}{2}) (\sec^{2} (x - \frac{π}{2}) \frac{d}{d x} [x - \frac{π}{2}]) + \tan (x - \frac{π}{2}) \frac{d}{d x} [\sec (x - \frac{π}{2})])$

Etapa 2.1.2.4

Eleve $\sec (x - \frac{π}{2})$ à potência de $1$ .

$6 (\sec^{2} (x - \frac{π}{2}) \sec^{1} (x - \frac{π}{2}) \frac{d}{d x} [x - \frac{π}{2}] + \tan (x - \frac{π}{2}) \frac{d}{d x} [\sec (x - \frac{π}{2})])$

Etapa 2.1.2.5

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$6 ({\sec (x - \frac{π}{2})}^{2 + 1} \frac{d}{d x} [x - \frac{π}{2}] + \tan (x - \frac{π}{2}) \frac{d}{d x} [\sec (x - \frac{π}{2})])$

Etapa 2.1.2.6

Diferencie.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.2.6.1

Some $2$ e $1$ .

$6 (\sec^{3} (x - \frac{π}{2}) \frac{d}{d x} [x - \frac{π}{2}] + \tan (x - \frac{π}{2}) \frac{d}{d x} [\sec (x - \frac{π}{2})])$

Etapa 2.1.2.6.2

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x - \frac{π}{2}$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- \frac{π}{2}]$ .

$6 (\sec^{3} (x - \frac{π}{2}) (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- \frac{π}{2}]) + \tan (x - \frac{π}{2}) \frac{d}{d x} [\sec (x - \frac{π}{2})])$

Etapa 2.1.2.6.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$6 (\sec^{3} (x - \frac{π}{2}) (1 + \frac{d}{d x} [- \frac{π}{2}]) + \tan (x - \frac{π}{2}) \frac{d}{d x} [\sec (x - \frac{π}{2})])$

Etapa 2.1.2.6.4

Como $- \frac{π}{2}$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- \frac{π}{2}$ em relação a $x$ é $0$ .

$6 (\sec^{3} (x - \frac{π}{2}) (1 + 0) + \tan (x - \frac{π}{2}) \frac{d}{d x} [\sec (x - \frac{π}{2})])$

Etapa 2.1.2.6.5

Simplifique a expressão.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.2.6.5.1

Some $1$ e $0$ .

$6 (\sec^{3} (x - \frac{π}{2}) \cdot 1 + \tan (x - \frac{π}{2}) \frac{d}{d x} [\sec (x - \frac{π}{2})])$

Etapa 2.1.2.6.5.2

Multiplique $\sec^{3} (x - \frac{π}{2})$ por $1$ .

$6 (\sec^{3} (x - \frac{π}{2}) + \tan (x - \frac{π}{2}) \frac{d}{d x} [\sec (x - \frac{π}{2})])$

Etapa 2.1.2.7

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = \sec (x)$ e $g (x) = x - \frac{π}{2}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.2.7.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u_{2}$ como $x - \frac{π}{2}$ .

$6 (\sec^{3} (x - \frac{π}{2}) + \tan (x - \frac{π}{2}) (\frac{d}{d u_{2}} [\sec (u_{2})] \frac{d}{d x} [x - \frac{π}{2}]))$

Etapa 2.1.2.7.2

A derivada de $\sec (u_{2})$ em relação a $u_{2}$ é $\sec (u_{2}) \tan (u_{2})$ .

$6 (\sec^{3} (x - \frac{π}{2}) + \tan (x - \frac{π}{2}) (\sec (u_{2}) \tan (u_{2}) \frac{d}{d x} [x - \frac{π}{2}]))$

Etapa 2.1.2.7.3

Substitua todas as ocorrências de $u_{2}$ por $x - \frac{π}{2}$ .

$6 (\sec^{3} (x - \frac{π}{2}) + \tan (x - \frac{π}{2}) (\sec (x - \frac{π}{2}) \tan (x - \frac{π}{2}) \frac{d}{d x} [x - \frac{π}{2}]))$

Etapa 2.1.2.8

Eleve $\tan (x - \frac{π}{2})$ à potência de $1$ .

$6 (\sec^{3} (x - \frac{π}{2}) + \tan^{1} (x - \frac{π}{2}) \tan (x - \frac{π}{2}) (\sec (x - \frac{π}{2}) \frac{d}{d x} [x - \frac{π}{2}]))$

Etapa 2.1.2.9

Eleve $\tan (x - \frac{π}{2})$ à potência de $1$ .

$6 (\sec^{3} (x - \frac{π}{2}) + \tan^{1} (x - \frac{π}{2}) \tan^{1} (x - \frac{π}{2}) (\sec (x - \frac{π}{2}) \frac{d}{d x} [x - \frac{π}{2}]))$

Etapa 2.1.2.10

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$6 (\sec^{3} (x - \frac{π}{2}) + {\tan (x - \frac{π}{2})}^{1 + 1} (\sec (x - \frac{π}{2}) \frac{d}{d x} [x - \frac{π}{2}]))$

Etapa 2.1.2.11

Some $1$ e $1$ .

$6 (\sec^{3} (x - \frac{π}{2}) + \tan^{2} (x - \frac{π}{2}) (\sec (x - \frac{π}{2}) \frac{d}{d x} [x - \frac{π}{2}]))$

Etapa 2.1.2.12

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x - \frac{π}{2}$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- \frac{π}{2}]$ .

$6 (\sec^{3} (x - \frac{π}{2}) + \tan^{2} (x - \frac{π}{2}) \sec (x - \frac{π}{2}) (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- \frac{π}{2}]))$

Etapa 2.1.2.13

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$6 (\sec^{3} (x - \frac{π}{2}) + \tan^{2} (x - \frac{π}{2}) \sec (x - \frac{π}{2}) (1 + \frac{d}{d x} [- \frac{π}{2}]))$

Etapa 2.1.2.14

Como $- \frac{π}{2}$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- \frac{π}{2}$ em relação a $x$ é $0$ .

$6 (\sec^{3} (x - \frac{π}{2}) + \tan^{2} (x - \frac{π}{2}) \sec (x - \frac{π}{2}) (1 + 0))$

Etapa 2.1.2.15

Simplifique a expressão.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.2.15.1

Some $1$ e $0$ .

$6 (\sec^{3} (x - \frac{π}{2}) + \tan^{2} (x - \frac{π}{2}) \sec (x - \frac{π}{2}) \cdot 1)$

Etapa 2.1.2.15.2

Multiplique $\tan^{2} (x - \frac{π}{2})$ por $1$ .

$6 (\sec^{3} (x - \frac{π}{2}) + \tan^{2} (x - \frac{π}{2}) \sec (x - \frac{π}{2}))$

Etapa 2.1.2.16

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.2.16.1

Aplique a propriedade distributiva.

$6 \sec^{3} (x - \frac{π}{2}) + 6 (\tan^{2} (x - \frac{π}{2}) \sec (x - \frac{π}{2}))$

Etapa 2.1.2.16.2

Reordene os termos.

$f'' (x) = 6 \tan^{2} (x - \frac{π}{2}) \sec (x - \frac{π}{2}) + 6 \sec^{3} (x - \frac{π}{2})$

Etapa 2.1.3

A segunda derivada de $f (x)$ com relação a $x$ é $6 \tan^{2} (x - \frac{π}{2}) \sec (x - \frac{π}{2}) + 6 \sec^{3} (x - \frac{π}{2})$ .

$6 \tan^{2} (x - \frac{π}{2}) \sec (x - \frac{π}{2}) + 6 \sec^{3} (x - \frac{π}{2})$

Etapa 2.2

Defina a segunda derivada como igual a $0$ e resolva a equação $6 \tan^{2} (x - \frac{π}{2}) \sec (x - \frac{π}{2}) + 6 \sec^{3} (x - \frac{π}{2}) = 0$ .

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Etapa 2.2.1

Defina a segunda derivada como igual a $0$ .

$6 \tan^{2} (x - \frac{π}{2}) \sec (x - \frac{π}{2}) + 6 \sec^{3} (x - \frac{π}{2}) = 0$

Etapa 2.2.2

Substitua $\tan^{2} (x - \frac{π}{2})$ por $\sec^{2} (x - \frac{π}{2}) - 1$ com base na identidade $\tan^{2} (x) + 1 = \sec^{2} (x)$ .

$(\sec^{2} (x - \frac{π}{2}) - 1) \sec (x - \frac{π}{2}) + 6 \sec^{3} (x - \frac{π}{2}) = 0$

Etapa 2.2.3

Simplifique cada termo.

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Etapa 2.2.3.1

Aplique a propriedade distributiva.

$\sec^{2} (x - \frac{π}{2}) \sec (x - \frac{π}{2}) - 1 \sec (x - \frac{π}{2}) + 6 \sec^{3} (x - \frac{π}{2}) = 0$

Etapa 2.2.3.2

Multiplique $\sec^{2} (x - \frac{π}{2})$ por $\sec (x - \frac{π}{2})$ somando os expoentes.

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Etapa 2.2.3.2.1

Multiplique $\sec^{2} (x - \frac{π}{2})$ por $\sec (x - \frac{π}{2})$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.3.2.1.1

Eleve $\sec (x - \frac{π}{2})$ à potência de $1$ .

$\sec^{2} (x - \frac{π}{2}) \sec (x - \frac{π}{2}) - 1 \sec (x - \frac{π}{2}) + 6 \sec^{3} (x - \frac{π}{2}) = 0$

Etapa 2.2.3.2.1.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

${\sec (x - \frac{π}{2})}^{2 + 1} - 1 \sec (x - \frac{π}{2}) + 6 \sec^{3} (x - \frac{π}{2}) = 0$

Etapa 2.2.3.2.2

Some $2$ e $1$ .

$\sec^{3} (x - \frac{π}{2}) - 1 \sec (x - \frac{π}{2}) + 6 \sec^{3} (x - \frac{π}{2}) = 0$

Etapa 2.2.3.3

Reescreva $- 1 \sec (x - \frac{π}{2})$ como $- \sec (x - \frac{π}{2})$ .

$\sec^{3} (x - \frac{π}{2}) - \sec (x - \frac{π}{2}) + 6 \sec^{3} (x - \frac{π}{2}) = 0$

Etapa 2.2.4

Some $\sec^{3} (x - \frac{π}{2})$ e $6 \sec^{3} (x - \frac{π}{2})$ .

$7 \sec^{3} (x - \frac{π}{2}) - \sec (x - \frac{π}{2}) = 0$

Etapa 2.2.5

Substitua $u$ por $\sec (x - \frac{π}{2})$ .

$7 {(u)}^{3} - (u) = 0$

Etapa 2.2.6

Fatore $u$ de $7 u^{3} - u$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.6.1

Fatore $u$ de $7 u^{3}$ .

$u (7 u^{2}) - u = 0$

Etapa 2.2.6.2

Fatore $u$ de $- u$ .

$u (7 u^{2}) + u \cdot - 1 = 0$

Etapa 2.2.6.3

Fatore $u$ de $u (7 u^{2}) + u \cdot - 1$ .

$u (7 u^{2} - 1) = 0$

Etapa 2.2.7

Se qualquer fator individual no lado esquerdo da equação for igual a $0$ , toda a expressão será igual a $0$ .

$u = 0$

$7 u^{2} - 1 = 0$

Etapa 2.2.8

Defina $u$ como igual a $0$ .

$u = 0$

Etapa 2.2.9

Defina $7 u^{2} - 1$ como igual a $0$ e resolva para $u$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.9.1

Defina $7 u^{2} - 1$ como igual a $0$ .

$7 u^{2} - 1 = 0$

Etapa 2.2.9.2

Resolva $7 u^{2} - 1 = 0$ para $u$ .

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Etapa 2.2.9.2.1

Some $1$ aos dois lados da equação.

$7 u^{2} = 1$

Etapa 2.2.9.2.2

Divida cada termo em $7 u^{2} = 1$ por $7$ e simplifique.

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Etapa 2.2.9.2.2.1

Divida cada termo em $7 u^{2} = 1$ por $7$ .

$\frac{7 u^{2}}{7} = \frac{1}{7}$

Etapa 2.2.9.2.2.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 2.2.9.2.2.2.1

Cancele o fator comum de $7$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.9.2.2.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{7 u^{2}}{7} = \frac{1}{7}$

Etapa 2.2.9.2.2.2.1.2

Divida $u^{2}$ por $1$ .

$u^{2} = \frac{1}{7}$

Etapa 2.2.9.2.3

Pegue a raiz especificada de ambos os lados da equação para eliminar o expoente no lado esquerdo.

$u = \pm \sqrt{\frac{1}{7}}$

Etapa 2.2.9.2.4

Simplifique $\pm \sqrt{\frac{1}{7}}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.9.2.4.1

Reescreva $\sqrt{\frac{1}{7}}$ como $\frac{\sqrt{1}}{\sqrt{7}}$ .

$u = \pm \frac{\sqrt{1}}{\sqrt{7}}$

Etapa 2.2.9.2.4.2

Qualquer raiz de $1$ é $1$ .

$u = \pm \frac{1}{\sqrt{7}}$

Etapa 2.2.9.2.4.3

Multiplique $\frac{1}{\sqrt{7}}$ por $\frac{\sqrt{7}}{\sqrt{7}}$ .

$u = \pm \frac{1}{\sqrt{7}} \cdot \frac{\sqrt{7}}{\sqrt{7}}$

Etapa 2.2.9.2.4.4

Combine e simplifique o denominador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.9.2.4.4.1

Multiplique $\frac{1}{\sqrt{7}}$ por $\frac{\sqrt{7}}{\sqrt{7}}$ .

$u = \pm \frac{\sqrt{7}}{\sqrt{7} \sqrt{7}}$

Etapa 2.2.9.2.4.4.2

Eleve $\sqrt{7}$ à potência de $1$ .

$u = \pm \frac{\sqrt{7}}{{\sqrt{7}}^{1} \sqrt{7}}$

Etapa 2.2.9.2.4.4.3

Eleve $\sqrt{7}$ à potência de $1$ .

$u = \pm \frac{\sqrt{7}}{{\sqrt{7}}^{1} {\sqrt{7}}^{1}}$

Etapa 2.2.9.2.4.4.4

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$u = \pm \frac{\sqrt{7}}{{\sqrt{7}}^{1 + 1}}$

Etapa 2.2.9.2.4.4.5

Some $1$ e $1$ .

$u = \pm \frac{\sqrt{7}}{{\sqrt{7}}^{2}}$

Etapa 2.2.9.2.4.4.6

Reescreva ${\sqrt{7}}^{2}$ como $7$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.9.2.4.4.6.1

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt{7}$ como $7^{\frac{1}{2}}$ .

$u = \pm \frac{\sqrt{7}}{{(7^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Etapa 2.2.9.2.4.4.6.2

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$u = \pm \frac{\sqrt{7}}{7^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Etapa 2.2.9.2.4.4.6.3

Combine $\frac{1}{2}$ e $2$ .

$u = \pm \frac{\sqrt{7}}{7^{\frac{2}{2}}}$

Etapa 2.2.9.2.4.4.6.4

Cancele o fator comum de $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.9.2.4.4.6.4.1

Cancele o fator comum.

$u = \pm \frac{\sqrt{7}}{7^{\frac{2}{2}}}$

Etapa 2.2.9.2.4.4.6.4.2

Reescreva a expressão.

$u = \pm \frac{\sqrt{7}}{7^{1}}$

Etapa 2.2.9.2.4.4.6.5

Avalie o expoente.

$u = \pm \frac{\sqrt{7}}{7}$

Etapa 2.2.9.2.5

A solução completa é resultado das partes positiva e negativa da solução.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.9.2.5.1

Primeiro, use o valor positivo de $\pm$ para encontrar a primeira solução.

$u = \frac{\sqrt{7}}{7}$

Etapa 2.2.9.2.5.2

Depois, use o valor negativo de $\pm$ para encontrar a segunda solução.

$u = - \frac{\sqrt{7}}{7}$

Etapa 2.2.9.2.5.3

A solução completa é resultado das partes positiva e negativa da solução.

$u = \frac{\sqrt{7}}{7}, - \frac{\sqrt{7}}{7}$

Etapa 2.2.10

A solução final são todos os valores que tornam $u (7 u^{2} - 1) = 0$ verdadeiro.

$u = 0, \frac{\sqrt{7}}{7}, - \frac{\sqrt{7}}{7}$

Etapa 2.2.11

Substitua $\sec (x - \frac{π}{2})$ por $u$ .

$\sec (x - \frac{π}{2}) = 0, \frac{\sqrt{7}}{7}, - \frac{\sqrt{7}}{7}$

Etapa 2.2.12

Estabeleça cada uma das soluções para resolver $x$ .

$\sec (x - \frac{π}{2}) = 0$

$\sec (x - \frac{π}{2}) = \frac{\sqrt{7}}{7}$

$\sec (x - \frac{π}{2}) = - \frac{\sqrt{7}}{7}$

Etapa 2.2.13

Resolva $x$ em $\sec (x - \frac{π}{2}) = 0$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.13.1

O intervalo da secante é $y \leq - 1$ e $y \geq 1$ . Como $0$ não se enquadra nesse intervalo, não há solução.

Nenhuma solução

Etapa 2.2.14

Resolva $x$ em $\sec (x - \frac{π}{2}) = \frac{\sqrt{7}}{7}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.14.1

O intervalo da secante é $y \leq - 1$ e $y \geq 1$ . Como $\frac{\sqrt{7}}{7}$ não se enquadra nesse intervalo, não há solução.

Nenhuma solução

Etapa 2.2.15

Resolva $x$ em $\sec (x - \frac{π}{2}) = - \frac{\sqrt{7}}{7}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.15.1

O intervalo da secante é $y \leq - 1$ e $y \geq 1$ . Como $- \frac{\sqrt{7}}{7}$ não se enquadra nesse intervalo, não há solução.

Nenhuma solução

Etapa 3

Encontre o domínio de $f (x) = 6 \sec (x - \frac{π}{2})$ .

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Etapa 3.1

Defina o argumento em $\sec (x - \frac{π}{2})$ como igual a $\frac{π}{2} + π n$ para encontrar onde a expressão está indefinida.

$x - \frac{π}{2} = \frac{π}{2} + π n$ , para qualquer número inteiro $n$

Etapa 3.2

Mova todos os termos que não contêm $x$ para o lado direito da equação.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.2.1

Some $\frac{π}{2}$ aos dois lados da equação.

$x = \frac{π}{2} + π n + \frac{π}{2}$

Etapa 3.2.2

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$x = π n + \frac{π + π}{2}$

Etapa 3.2.3

Some $π$ e $π$ .

$x = π n + \frac{2 π}{2}$

Etapa 3.2.4

Cancele o fator comum de $2$ .

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Etapa 3.2.4.1

Cancele o fator comum.

$x = π n + \frac{2 π}{2}$

Etapa 3.2.4.2

Divida $π$ por $1$ .

$x = π n + π$

Etapa 3.3

O domínio consiste em todos os valores de $x$ que tornam a expressão definida.

Notação de construtor de conjuntos:

${x | x \neq π n + π}$ , para qualquer número inteiro $n$

Notação de construtor de conjuntos:

${x | x \neq π n + π}$ , para qualquer número inteiro $n$

Etapa 4

Substitua qualquer número do intervalo ${x | x \neq π n + π}$ na segunda derivada e avalie para determinar a concavidade.

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Etapa 4.1

Substitua a variável $x$ por $N a N$ na expressão.

$f'' (N a N) = 6 \tan^{2} ((N a N) - \frac{π}{2}) \sec ((N a N) - \frac{π}{2}) + 6 \sec^{3} ((N a N) - \frac{π}{2})$

Etapa 4.2

Simplifique o resultado.

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Etapa 4.2.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 4.2.1.1

Multiplique $N$ por $N$ somando os expoentes.

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Etapa 4.2.1.1.1

Mova $N$ .

$f'' (N a N) = 6 \tan^{2} (N \cdot N a - \frac{π}{2}) \sec ((N a N) - \frac{π}{2}) + 6 \sec^{3} ((N a N) - \frac{π}{2})$

Etapa 4.2.1.1.2

Multiplique $N$ por $N$ .

$f'' (N a N) = 6 \tan^{2} (N^{2} a - \frac{π}{2}) \sec ((N a N) - \frac{π}{2}) + 6 \sec^{3} ((N a N) - \frac{π}{2})$

Etapa 4.2.1.2

Multiplique $N$ por $N$ somando os expoentes.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.2.1.2.1

Mova $N$ .

$f'' (N a N) = 6 \tan^{2} (N^{2} a - \frac{π}{2}) \sec (N \cdot N a - \frac{π}{2}) + 6 \sec^{3} ((N a N) - \frac{π}{2})$

Etapa 4.2.1.2.2

Multiplique $N$ por $N$ .

$f'' (N a N) = 6 \tan^{2} (N^{2} a - \frac{π}{2}) \sec (N^{2} a - \frac{π}{2}) + 6 \sec^{3} ((N a N) - \frac{π}{2})$

Etapa 4.2.1.3

Multiplique $N$ por $N$ somando os expoentes.

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Etapa 4.2.1.3.1

Mova $N$ .

$f'' (N a N) = 6 \tan^{2} (N^{2} a - \frac{π}{2}) \sec (N^{2} a - \frac{π}{2}) + 6 \sec^{3} (N \cdot N a - \frac{π}{2})$

Etapa 4.2.1.3.2

Multiplique $N$ por $N$ .

$f'' (N a N) = 6 \tan^{2} (N^{2} a - \frac{π}{2}) \sec (N^{2} a - \frac{π}{2}) + 6 \sec^{3} (N^{2} a - \frac{π}{2})$

Etapa 4.2.2

A resposta final é $6 \tan^{2} (N^{2} a - \frac{π}{2}) \sec (N^{2} a - \frac{π}{2}) + 6 \sec^{3} (N^{2} a - \frac{π}{2})$ .

$6 \tan^{2} (N^{2} a - \frac{π}{2}) \sec (N^{2} a - \frac{π}{2}) + 6 \sec^{3} (N^{2} a - \frac{π}{2})$

Etapa 4.3

O gráfico tem concavidade para cima no intervalo ${x | x \neq π n + π}$ porque $f'' (N a N)$ é positivo.

Concavidade para cima em ${x | x \neq π n + π}$ , já que $f'' (x)$ é positivo

Etapa 5