Cálculo Exemplos

$y = 9 x^{\frac{1}{2}} + x^{\frac{3}{2}}$ ; $x = 9$

Etapa 1

Find the corresponding $y$ -value to $x = 9$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1

Substitua $9$ por $x$ .

$y = 9 {(9)}^{\frac{1}{2}} + {(9)}^{\frac{3}{2}}$

Etapa 1.2

Resolva $y$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.1

Remova os parênteses.

$y = 9 \cdot 9^{\frac{1}{2}} + {(9)}^{\frac{3}{2}}$

Etapa 1.2.2

Remova os parênteses.

$y = 9 \cdot 9^{\frac{1}{2}} + 9^{\frac{3}{2}}$

Etapa 1.2.3

Remova os parênteses.

$y = 9 {(9)}^{\frac{1}{2}} + {(9)}^{\frac{3}{2}}$

Etapa 1.2.4

Simplifique $9 {(9)}^{\frac{1}{2}} + {(9)}^{\frac{3}{2}}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.4.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.4.1.1

Multiplique $9$ por ${(9)}^{\frac{1}{2}}$ somando os expoentes.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.4.1.1.1

Multiplique $9$ por ${(9)}^{\frac{1}{2}}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.4.1.1.1.1

Eleve $9$ à potência de $1$ .

$y = 9^{1} {(9)}^{\frac{1}{2}} + {(9)}^{\frac{3}{2}}$

Etapa 1.2.4.1.1.1.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$y = 9^{1 + \frac{1}{2}} + {(9)}^{\frac{3}{2}}$

Etapa 1.2.4.1.1.2

Escreva $1$ como uma fração com um denominador comum.

$y = 9^{\frac{2}{2} + \frac{1}{2}} + {(9)}^{\frac{3}{2}}$

Etapa 1.2.4.1.1.3

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$y = 9^{\frac{2 + 1}{2}} + {(9)}^{\frac{3}{2}}$

Etapa 1.2.4.1.1.4

Some $2$ e $1$ .

$y = 9^{\frac{3}{2}} + {(9)}^{\frac{3}{2}}$

Etapa 1.2.4.1.2

Reescreva $9$ como $3^{2}$ .

$y = {(3^{2})}^{\frac{3}{2}} + {(9)}^{\frac{3}{2}}$

Etapa 1.2.4.1.3

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$y = 3^{2 (\frac{3}{2})} + {(9)}^{\frac{3}{2}}$

Etapa 1.2.4.1.4

Cancele o fator comum de $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.4.1.4.1

Cancele o fator comum.

$y = 3^{2 (\frac{3}{2})} + {(9)}^{\frac{3}{2}}$

Etapa 1.2.4.1.4.2

Reescreva a expressão.

$y = 3^{3} + {(9)}^{\frac{3}{2}}$

Etapa 1.2.4.1.5

Eleve $3$ à potência de $3$ .

$y = 27 + {(9)}^{\frac{3}{2}}$

Etapa 1.2.4.1.6

Reescreva $9$ como $3^{2}$ .

$y = 27 + {(3^{2})}^{\frac{3}{2}}$

Etapa 1.2.4.1.7

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$y = 27 + 3^{2 (\frac{3}{2})}$

Etapa 1.2.4.1.8

Cancele o fator comum de $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.4.1.8.1

Cancele o fator comum.

$y = 27 + 3^{2 (\frac{3}{2})}$

Etapa 1.2.4.1.8.2

Reescreva a expressão.

$y = 27 + 3^{3}$

Etapa 1.2.4.1.9

Eleve $3$ à potência de $3$ .

$y = 27 + 27$

Etapa 1.2.4.2

Some $27$ e $27$ .

$y = 54$

Etapa 2

Encontre a primeira derivada e avalie em $x = 9$ e $y = 54$ para encontrar a inclinação da reta tangente.

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Etapa 2.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $9 x^{\frac{1}{2}} + x^{\frac{3}{2}}$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [9 x^{\frac{1}{2}}] + \frac{d}{d x} [x^{\frac{3}{2}}]$ .

$\frac{d}{d x} [9 x^{\frac{1}{2}}] + \frac{d}{d x} [x^{\frac{3}{2}}]$

Etapa 2.2

Avalie $\frac{d}{d x} [9 x^{\frac{1}{2}}]$ .

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Etapa 2.2.1

Como $9$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $9 x^{\frac{1}{2}}$ em relação a $x$ é $9 \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]$ .

$9 \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}] + \frac{d}{d x} [x^{\frac{3}{2}}]$

Etapa 2.2.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = \frac{1}{2}$ .

$9 (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1}) + \frac{d}{d x} [x^{\frac{3}{2}}]$

Etapa 2.2.3

Para escrever $- 1$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{2}{2}$ .

$9 (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}}) + \frac{d}{d x} [x^{\frac{3}{2}}]$

Etapa 2.2.4

Combine $- 1$ e $\frac{2}{2}$ .

$9 (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}}) + \frac{d}{d x} [x^{\frac{3}{2}}]$

Etapa 2.2.5

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$9 (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}}) + \frac{d}{d x} [x^{\frac{3}{2}}]$

Etapa 2.2.6

Simplifique o numerador.

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Etapa 2.2.6.1

Multiplique $- 1$ por $2$ .

$9 (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 2}{2}}) + \frac{d}{d x} [x^{\frac{3}{2}}]$

Etapa 2.2.6.2

Subtraia $2$ de $1$ .

$9 (\frac{1}{2} x^{\frac{- 1}{2}}) + \frac{d}{d x} [x^{\frac{3}{2}}]$

Etapa 2.2.7

Mova o número negativo para a frente da fração.

$9 (\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}}) + \frac{d}{d x} [x^{\frac{3}{2}}]$

Etapa 2.2.8

Combine $\frac{1}{2}$ e $x^{- \frac{1}{2}}$ .

$9 \frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2} + \frac{d}{d x} [x^{\frac{3}{2}}]$

Etapa 2.2.9

Combine $9$ e $\frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2}$ .

$\frac{9 x^{- \frac{1}{2}}}{2} + \frac{d}{d x} [x^{\frac{3}{2}}]$

Etapa 2.2.10

Mova $x^{- \frac{1}{2}}$ para o denominador usando a regra do expoente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{9}{2 x^{\frac{1}{2}}} + \frac{d}{d x} [x^{\frac{3}{2}}]$

Etapa 2.3

Avalie $\frac{d}{d x} [x^{\frac{3}{2}}]$ .

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Etapa 2.3.1

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = \frac{3}{2}$ .

$\frac{9}{2 x^{\frac{1}{2}}} + \frac{3}{2} x^{\frac{3}{2} - 1}$

Etapa 2.3.2

Para escrever $- 1$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{2}{2}$ .

$\frac{9}{2 x^{\frac{1}{2}}} + \frac{3}{2} x^{\frac{3}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}}$

Etapa 2.3.3

Combine $- 1$ e $\frac{2}{2}$ .

$\frac{9}{2 x^{\frac{1}{2}}} + \frac{3}{2} x^{\frac{3}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}}$

Etapa 2.3.4

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{9}{2 x^{\frac{1}{2}}} + \frac{3}{2} x^{\frac{3 - 1 \cdot 2}{2}}$

Etapa 2.3.5

Simplifique o numerador.

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Etapa 2.3.5.1

Multiplique $- 1$ por $2$ .

$\frac{9}{2 x^{\frac{1}{2}}} + \frac{3}{2} x^{\frac{3 - 2}{2}}$

Etapa 2.3.5.2

Subtraia $2$ de $3$ .

$\frac{9}{2 x^{\frac{1}{2}}} + \frac{3}{2} x^{\frac{1}{2}}$

Etapa 2.4

Simplifique.

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Etapa 2.4.1

Reordene os termos.

$\frac{3}{2} x^{\frac{1}{2}} + \frac{9}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 2.4.2

Combine $\frac{3}{2}$ e $x^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{3 x^{\frac{1}{2}}}{2} + \frac{9}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 2.5

Avalie a derivada em $x = 9$ .

$\frac{3 {(9)}^{\frac{1}{2}}}{2} + \frac{9}{2 {(9)}^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 2.6

Simplifique.

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Etapa 2.6.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 2.6.1.1

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.6.1.1.1

Reescreva $9$ como $3^{2}$ .

$\frac{3 \cdot {(3^{2})}^{\frac{1}{2}}}{2} + \frac{9}{2 {(9)}^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 2.6.1.1.2

Multiplique os expoentes em ${(3^{2})}^{\frac{1}{2}}$ .

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Etapa 2.6.1.1.2.1

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{3 \cdot 3^{2 (\frac{1}{2})}}{2} + \frac{9}{2 {(9)}^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 2.6.1.1.2.2

Cancele o fator comum de $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.6.1.1.2.2.1

Cancele o fator comum.

$\frac{3 \cdot 3^{2 (\frac{1}{2})}}{2} + \frac{9}{2 {(9)}^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 2.6.1.1.2.2.2

Reescreva a expressão.

$\frac{3 \cdot 3^{1}}{2} + \frac{9}{2 {(9)}^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 2.6.1.1.3

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$\frac{3^{1 + 1}}{2} + \frac{9}{2 {(9)}^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 2.6.1.1.4

Some $1$ e $1$ .

$\frac{3^{2}}{2} + \frac{9}{2 {(9)}^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 2.6.1.2

Eleve $3$ à potência de $2$ .

$\frac{9}{2} + \frac{9}{2 {(9)}^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 2.6.1.3

Mova ${(9)}^{\frac{1}{2}}$ para o numerador usando a regra do expoente negativo $\frac{1}{b^{n}} = b^{- n}$ .

$\frac{9}{2} + \frac{9 \cdot 9^{- \frac{1}{2}}}{2}$

Etapa 2.6.1.4

Multiplique $9$ por $9^{- \frac{1}{2}}$ somando os expoentes.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.6.1.4.1

Multiplique $9$ por $9^{- \frac{1}{2}}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.6.1.4.1.1

Eleve $9$ à potência de $1$ .

$\frac{9}{2} + \frac{9^{1} \cdot 9^{- \frac{1}{2}}}{2}$

Etapa 2.6.1.4.1.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$\frac{9}{2} + \frac{9^{1 - \frac{1}{2}}}{2}$

Etapa 2.6.1.4.2

Escreva $1$ como uma fração com um denominador comum.

$\frac{9}{2} + \frac{9^{\frac{2}{2} - \frac{1}{2}}}{2}$

Etapa 2.6.1.4.3

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{9}{2} + \frac{9^{\frac{2 - 1}{2}}}{2}$

Etapa 2.6.1.4.4

Subtraia $1$ de $2$ .

$\frac{9}{2} + \frac{9^{\frac{1}{2}}}{2}$

Etapa 2.6.1.5

Simplifique o numerador.

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Etapa 2.6.1.5.1

Reescreva $9$ como $3^{2}$ .

$\frac{9}{2} + \frac{{(3^{2})}^{\frac{1}{2}}}{2}$

Etapa 2.6.1.5.2

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{9}{2} + \frac{3^{2 (\frac{1}{2})}}{2}$

Etapa 2.6.1.5.3

Cancele o fator comum de $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.6.1.5.3.1

Cancele o fator comum.

$\frac{9}{2} + \frac{3^{2 (\frac{1}{2})}}{2}$

Etapa 2.6.1.5.3.2

Reescreva a expressão.

$\frac{9}{2} + \frac{3^{1}}{2}$

Etapa 2.6.1.5.4

Avalie o expoente.

$\frac{9}{2} + \frac{3}{2}$

Etapa 2.6.2

Combine frações.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.6.2.1

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{9 + 3}{2}$

Etapa 2.6.2.2

Simplifique a expressão.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.6.2.2.1

Some $9$ e $3$ .

$\frac{12}{2}$

Etapa 2.6.2.2.2

Divida $12$ por $2$ .

$6$

Etapa 3

Substitua os valores de inclinação e ponto na fórmula do ponto-declividade e resolva $y$ .

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Etapa 3.1

Use a inclinação $6$ e um ponto determinado $(9, 54)$ para substituir $x_{1}$ e $y_{1}$ na forma do ponto-declividade $y - y_{1} = m (x - x_{1})$ , que é derivada da equação de inclinação $m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$ .

$y - (54) = 6 \cdot (x - (9))$

Etapa 3.2

Simplifique a equação e mantenha-a na forma do ponto-declividade.

$y - 54 = 6 \cdot (x - 9)$

Etapa 3.3

Resolva $y$ .

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Etapa 3.3.1

Simplifique $6 \cdot (x - 9)$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.3.1.1

Reescreva.

$y - 54 = 0 + 0 + 6 \cdot (x - 9)$

Etapa 3.3.1.2

Simplifique somando os zeros.

$y - 54 = 6 \cdot (x - 9)$

Etapa 3.3.1.3

Aplique a propriedade distributiva.

$y - 54 = 6 x + 6 \cdot - 9$

Etapa 3.3.1.4

Multiplique $6$ por $- 9$ .

$y - 54 = 6 x - 54$

Etapa 3.3.2

Mova todos os termos que não contêm $y$ para o lado direito da equação.

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Etapa 3.3.2.1

Some $54$ aos dois lados da equação.

$y = 6 x - 54 + 54$

Etapa 3.3.2.2

Combine os termos opostos em $6 x - 54 + 54$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.3.2.2.1

Some $- 54$ e $54$ .

$y = 6 x + 0$

Etapa 3.3.2.2.2

Some $6 x$ e $0$ .

$y = 6 x$

Etapa 4