Cálculo Exemplos

$y = x (16 x^{- 2} + 2)$ ; $x = - 2$

Etapa 1

Find the corresponding $y$ -value to $x = - 2$ .

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Etapa 1.1

Substitua $- 2$ por $x$ .

$y = (- 2) (16 {(- 2)}^{- 2} + 2)$

Etapa 1.2

Resolva $y$ .

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Etapa 1.2.1

Multiplique $- 2$ por $16 {(- 2)}^{- 2} + 2$ .

$y = - 2 (16 {(- 2)}^{- 2} + 2)$

Etapa 1.2.2

Simplifique $- 2 (16 {(- 2)}^{- 2} + 2)$ .

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Etapa 1.2.2.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 1.2.2.1.1

Reescreva a expressão usando a regra do expoente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$y = - 2 (16 \frac{1}{{(- 2)}^{2}} + 2)$

Etapa 1.2.2.1.2

Eleve $- 2$ à potência de $2$ .

$y = - 2 (16 (\frac{1}{4}) + 2)$

Etapa 1.2.2.1.3

Cancele o fator comum de $4$ .

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Etapa 1.2.2.1.3.1

Fatore $4$ de $16$ .

$y = - 2 (4 (4) \frac{1}{4} + 2)$

Etapa 1.2.2.1.3.2

Cancele o fator comum.

$y = - 2 (4 \cdot 4 \frac{1}{4} + 2)$

Etapa 1.2.2.1.3.3

Reescreva a expressão.

$y = - 2 (4 + 2)$

Etapa 1.2.2.2

Simplifique a expressão.

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Etapa 1.2.2.2.1

Some $4$ e $2$ .

$y = - 2 \cdot 6$

Etapa 1.2.2.2.2

Multiplique $- 2$ por $6$ .

$y = - 12$

Etapa 2

Encontre a primeira derivada e avalie em $x = - 2$ e $y = - 12$ para encontrar a inclinação da reta tangente.

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Etapa 2.1

Diferencie usando a regra do produto, que determina que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ é $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , em que $f (x) = x$ e $g (x) = 16 x^{- 2} + 2$ .

$x \frac{d}{d x} [16 x^{- 2} + 2] + (16 x^{- 2} + 2) \frac{d}{d x} [x]$

Etapa 2.2

Diferencie.

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Etapa 2.2.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $16 x^{- 2} + 2$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [16 x^{- 2}] + \frac{d}{d x} [2]$ .

$x (\frac{d}{d x} [16 x^{- 2}] + \frac{d}{d x} [2]) + (16 x^{- 2} + 2) \frac{d}{d x} [x]$

Etapa 2.2.2

Como $16$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $16 x^{- 2}$ em relação a $x$ é $16 \frac{d}{d x} [x^{- 2}]$ .

$x (16 \frac{d}{d x} [x^{- 2}] + \frac{d}{d x} [2]) + (16 x^{- 2} + 2) \frac{d}{d x} [x]$

Etapa 2.2.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = - 2$ .

$x (16 (- 2 x^{- 3}) + \frac{d}{d x} [2]) + (16 x^{- 2} + 2) \frac{d}{d x} [x]$

Etapa 2.2.4

Multiplique $- 2$ por $16$ .

$x (- 32 x^{- 3} + \frac{d}{d x} [2]) + (16 x^{- 2} + 2) \frac{d}{d x} [x]$

Etapa 2.2.5

Como $2$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $2$ em relação a $x$ é $0$ .

$x (- 32 x^{- 3} + 0) + (16 x^{- 2} + 2) \frac{d}{d x} [x]$

Etapa 2.2.6

Some $- 32 x^{- 3}$ e $0$ .

$x (- 32 x^{- 3}) + (16 x^{- 2} + 2) \frac{d}{d x} [x]$

Etapa 2.3

Eleve $x$ à potência de $1$ .

$- 32 (x^{1} x^{- 3}) + (16 x^{- 2} + 2) \frac{d}{d x} [x]$

Etapa 2.4

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$- 32 x^{1 - 3} + (16 x^{- 2} + 2) \frac{d}{d x} [x]$

Etapa 2.5

Subtraia $3$ de $1$ .

$- 32 x^{- 2} + (16 x^{- 2} + 2) \frac{d}{d x} [x]$

Etapa 2.6

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$- 32 x^{- 2} + (16 x^{- 2} + 2) \cdot 1$

Etapa 2.7

Simplifique os termos.

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Etapa 2.7.1

Multiplique $16 x^{- 2} + 2$ por $1$ .

$- 32 x^{- 2} + 16 x^{- 2} + 2$

Etapa 2.7.2

Some $- 32 x^{- 2}$ e $16 x^{- 2}$ .

$- 16 x^{- 2} + 2$

Etapa 2.7.3

Simplifique cada termo.

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Etapa 2.7.3.1

Reescreva a expressão usando a regra do expoente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- 16 \frac{1}{x^{2}} + 2$

Etapa 2.7.3.2

Combine $- 16$ e $\frac{1}{x^{2}}$ .

$\frac{- 16}{x^{2}} + 2$

Etapa 2.7.3.3

Mova o número negativo para a frente da fração.

$- \frac{16}{x^{2}} + 2$

Etapa 2.8

Avalie a derivada em $x = - 2$ .

$- \frac{16}{{(- 2)}^{2}} + 2$

Etapa 2.9

Simplifique.

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Etapa 2.9.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 2.9.1.1

Eleve $- 2$ à potência de $2$ .

$- \frac{16}{4} + 2$

Etapa 2.9.1.2

Divida $16$ por $4$ .

$- 1 \cdot 4 + 2$

Etapa 2.9.1.3

Multiplique $- 1$ por $4$ .

$- 4 + 2$

Etapa 2.9.2

Some $- 4$ e $2$ .

$- 2$

Etapa 3

Substitua os valores de inclinação e ponto na fórmula do ponto-declividade e resolva $y$ .

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Etapa 3.1

Use a inclinação $- 2$ e um ponto determinado $(- 2, - 12)$ para substituir $x_{1}$ e $y_{1}$ na forma do ponto-declividade $y - y_{1} = m (x - x_{1})$ , que é derivada da equação de inclinação $m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$ .

$y - (- 12) = - 2 \cdot (x - (- 2))$

Etapa 3.2

Simplifique a equação e mantenha-a na forma do ponto-declividade.

$y + 12 = - 2 \cdot (x + 2)$

Etapa 3.3

Resolva $y$ .

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Etapa 3.3.1

Simplifique $- 2 \cdot (x + 2)$ .

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Etapa 3.3.1.1

Reescreva.

$y + 12 = 0 + 0 - 2 \cdot (x + 2)$

Etapa 3.3.1.2

Simplifique somando os zeros.

$y + 12 = - 2 \cdot (x + 2)$

Etapa 3.3.1.3

Aplique a propriedade distributiva.

$y + 12 = - 2 x - 2 \cdot 2$

Etapa 3.3.1.4

Multiplique $- 2$ por $2$ .

$y + 12 = - 2 x - 4$

Etapa 3.3.2

Mova todos os termos que não contêm $y$ para o lado direito da equação.

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Etapa 3.3.2.1

Subtraia $12$ dos dois lados da equação.

$y = - 2 x - 4 - 12$

Etapa 3.3.2.2

Subtraia $12$ de $- 4$ .

$y = - 2 x - 16$

Etapa 4