Cálculo Exemplos

$y = x^{\frac{2}{3}}$ , $(8, 4)$

Etapa 1

Encontre a primeira derivada e avalie em $x = 8$ e $y = 4$ para encontrar a inclinação da reta tangente.

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Etapa 1.1

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = \frac{2}{3}$ .

$\frac{2}{3} x^{\frac{2}{3} - 1}$

Etapa 1.2

Para escrever $- 1$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{3}{3}$ .

$\frac{2}{3} x^{\frac{2}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}}$

Etapa 1.3

Combine $- 1$ e $\frac{3}{3}$ .

$\frac{2}{3} x^{\frac{2}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}}$

Etapa 1.4

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{2}{3} x^{\frac{2 - 1 \cdot 3}{3}}$

Etapa 1.5

Simplifique o numerador.

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Etapa 1.5.1

Multiplique $- 1$ por $3$ .

$\frac{2}{3} x^{\frac{2 - 3}{3}}$

Etapa 1.5.2

Subtraia $3$ de $2$ .

$\frac{2}{3} x^{\frac{- 1}{3}}$

Etapa 1.6

Mova o número negativo para a frente da fração.

$\frac{2}{3} x^{- \frac{1}{3}}$

Etapa 1.7

Simplifique.

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Etapa 1.7.1

Reescreva a expressão usando a regra do expoente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{2}{3} \cdot \frac{1}{x^{\frac{1}{3}}}$

Etapa 1.7.2

Multiplique $\frac{2}{3}$ por $\frac{1}{x^{\frac{1}{3}}}$ .

$\frac{2}{3 x^{\frac{1}{3}}}$

Etapa 1.8

Avalie a derivada em $x = 8$ .

$\frac{2}{3 {(8)}^{\frac{1}{3}}}$

Etapa 1.9

Simplifique.

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Etapa 1.9.1

Simplifique o denominador.

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Etapa 1.9.1.1

Reescreva $8$ como $2^{3}$ .

$\frac{2}{3 \cdot {(2^{3})}^{\frac{1}{3}}}$

Etapa 1.9.1.2

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{2}{3 \cdot 2^{3 (\frac{1}{3})}}$

Etapa 1.9.1.3

Cancele o fator comum de $3$ .

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Etapa 1.9.1.3.1

Cancele o fator comum.

$\frac{2}{3 \cdot 2^{3 (\frac{1}{3})}}$

Etapa 1.9.1.3.2

Reescreva a expressão.

$\frac{2}{3 \cdot 2^{1}}$

Etapa 1.9.1.4

Avalie o expoente.

$\frac{2}{3 \cdot 2}$

Etapa 1.9.2

Reduza a expressão cancelando os fatores comuns.

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Etapa 1.9.2.1

Multiplique $3$ por $2$ .

$\frac{2}{6}$

Etapa 1.9.2.2

Cancele o fator comum de $2$ e $6$ .

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Etapa 1.9.2.2.1

Fatore $2$ de $2$ .

$\frac{2 (1)}{6}$

Etapa 1.9.2.2.2

Cancele os fatores comuns.

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Etapa 1.9.2.2.2.1

Fatore $2$ de $6$ .

$\frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 3}$

Etapa 1.9.2.2.2.2

Cancele o fator comum.

$\frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 3}$

Etapa 1.9.2.2.2.3

Reescreva a expressão.

$\frac{1}{3}$

Etapa 2

Substitua os valores de inclinação e ponto na fórmula do ponto-declividade e resolva $y$ .

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Etapa 2.1

Use a inclinação $\frac{1}{3}$ e um ponto determinado $(8, 4)$ para substituir $x_{1}$ e $y_{1}$ na forma do ponto-declividade $y - y_{1} = m (x - x_{1})$ , que é derivada da equação de inclinação $m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$ .

$y - (4) = \frac{1}{3} \cdot (x - (8))$

Etapa 2.2

Simplifique a equação e mantenha-a na forma do ponto-declividade.

$y - 4 = \frac{1}{3} \cdot (x - 8)$

Etapa 2.3

Resolva $y$ .

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Etapa 2.3.1

Simplifique $\frac{1}{3} \cdot (x - 8)$ .

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Etapa 2.3.1.1

Reescreva.

$y - 4 = 0 + 0 + \frac{1}{3} \cdot (x - 8)$

Etapa 2.3.1.2

Simplifique somando os zeros.

$y - 4 = \frac{1}{3} \cdot (x - 8)$

Etapa 2.3.1.3

Aplique a propriedade distributiva.

$y - 4 = \frac{1}{3} x + \frac{1}{3} \cdot - 8$

Etapa 2.3.1.4

Combine $\frac{1}{3}$ e $x$ .

$y - 4 = \frac{x}{3} + \frac{1}{3} \cdot - 8$

Etapa 2.3.1.5

Combine $\frac{1}{3}$ e $- 8$ .

$y - 4 = \frac{x}{3} + \frac{- 8}{3}$

Etapa 2.3.1.6

Mova o número negativo para a frente da fração.

$y - 4 = \frac{x}{3} - \frac{8}{3}$

Etapa 2.3.2

Mova todos os termos que não contêm $y$ para o lado direito da equação.

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Etapa 2.3.2.1

Some $4$ aos dois lados da equação.

$y = \frac{x}{3} - \frac{8}{3} + 4$

Etapa 2.3.2.2

Para escrever $4$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{3}{3}$ .

$y = \frac{x}{3} - \frac{8}{3} + 4 \cdot \frac{3}{3}$

Etapa 2.3.2.3

Combine $4$ e $\frac{3}{3}$ .

$y = \frac{x}{3} - \frac{8}{3} + \frac{4 \cdot 3}{3}$

Etapa 2.3.2.4

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$y = \frac{x}{3} + \frac{- 8 + 4 \cdot 3}{3}$

Etapa 2.3.2.5

Simplifique o numerador.

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Etapa 2.3.2.5.1

Multiplique $4$ por $3$ .

$y = \frac{x}{3} + \frac{- 8 + 12}{3}$

Etapa 2.3.2.5.2

Some $- 8$ e $12$ .

$y = \frac{x}{3} + \frac{4}{3}$

Etapa 2.3.3

Reordene os termos.

$y = \frac{1}{3} x + \frac{4}{3}$

Etapa 3