Cálculo Exemplos

$\frac{4 x - 5}{x + 1}$ $x = 0$

Etapa 1

Escreva $\frac{4 x - 5}{x + 1}$ como uma equação.

$y = \frac{4 x - 5}{x + 1}$

Etapa 2

Find the corresponding $y$ -value to $x = 0$ .

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Etapa 2.1

Substitua $0$ por $x$ .

$y = \frac{4 (0) - 5}{(0) + 1}$

Etapa 2.2

Resolva $y$ .

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Etapa 2.2.1

Remova os parênteses.

$y = \frac{4 (0) - 5}{0 + 1}$

Etapa 2.2.2

Remova os parênteses.

$y = \frac{4 (0) - 5}{(0) + 1}$

Etapa 2.2.3

Simplifique $\frac{4 (0) - 5}{(0) + 1}$ .

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Etapa 2.2.3.1

Simplifique o numerador.

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Etapa 2.2.3.1.1

Multiplique $4$ por $0$ .

$y = \frac{0 - 5}{0 + 1}$

Etapa 2.2.3.1.2

Subtraia $5$ de $0$ .

$y = \frac{- 5}{0 + 1}$

Etapa 2.2.3.2

Simplifique a expressão.

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Etapa 2.2.3.2.1

Some $0$ e $1$ .

$y = \frac{- 5}{1}$

Etapa 2.2.3.2.2

Divida $- 5$ por $1$ .

$y = - 5$

Etapa 3

Encontre a primeira derivada e avalie em $x = 0$ e $y = - 5$ para encontrar a inclinação da reta tangente.

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Etapa 3.1

Diferencie usando a regra do quociente, que determina que $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ é $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ , em que $f (x) = 4 x - 5$ e $g (x) = x + 1$ .

$\frac{(x + 1) \frac{d}{d x} [4 x - 5] - (4 x - 5) \frac{d}{d x} [x + 1]}{{(x + 1)}^{2}}$

Etapa 3.2

Diferencie.

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Etapa 3.2.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $4 x - 5$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [- 5]$ .

$\frac{(x + 1) (\frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [- 5]) - (4 x - 5) \frac{d}{d x} [x + 1]}{{(x + 1)}^{2}}$

Etapa 3.2.2

Como $4$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $4 x$ em relação a $x$ é $4 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{(x + 1) (4 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 5]) - (4 x - 5) \frac{d}{d x} [x + 1]}{{(x + 1)}^{2}}$

Etapa 3.2.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$\frac{(x + 1) (4 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 5]) - (4 x - 5) \frac{d}{d x} [x + 1]}{{(x + 1)}^{2}}$

Etapa 3.2.4

Multiplique $4$ por $1$ .

$\frac{(x + 1) (4 + \frac{d}{d x} [- 5]) - (4 x - 5) \frac{d}{d x} [x + 1]}{{(x + 1)}^{2}}$

Etapa 3.2.5

Como $- 5$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 5$ em relação a $x$ é $0$ .

$\frac{(x + 1) (4 + 0) - (4 x - 5) \frac{d}{d x} [x + 1]}{{(x + 1)}^{2}}$

Etapa 3.2.6

Simplifique a expressão.

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Etapa 3.2.6.1

Some $4$ e $0$ .

$\frac{(x + 1) \cdot 4 - (4 x - 5) \frac{d}{d x} [x + 1]}{{(x + 1)}^{2}}$

Etapa 3.2.6.2

Mova $4$ para a esquerda de $x + 1$ .

$\frac{4 \cdot (x + 1) - (4 x - 5) \frac{d}{d x} [x + 1]}{{(x + 1)}^{2}}$

Etapa 3.2.7

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x + 1$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\frac{4 (x + 1) - (4 x - 5) (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1])}{{(x + 1)}^{2}}$

Etapa 3.2.8

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$\frac{4 (x + 1) - (4 x - 5) (1 + \frac{d}{d x} [1])}{{(x + 1)}^{2}}$

Etapa 3.2.9

Como $1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $1$ em relação a $x$ é $0$ .

$\frac{4 (x + 1) - (4 x - 5) (1 + 0)}{{(x + 1)}^{2}}$

Etapa 3.2.10

Simplifique a expressão.

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Etapa 3.2.10.1

Some $1$ e $0$ .

$\frac{4 (x + 1) - (4 x - 5) \cdot 1}{{(x + 1)}^{2}}$

Etapa 3.2.10.2

Multiplique $- 1$ por $1$ .

$\frac{4 (x + 1) - (4 x - 5)}{{(x + 1)}^{2}}$

Etapa 3.3

Simplifique.

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Etapa 3.3.1

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{4 x + 4 \cdot 1 - (4 x - 5)}{{(x + 1)}^{2}}$

Etapa 3.3.2

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{4 x + 4 \cdot 1 - (4 x) - - 5}{{(x + 1)}^{2}}$

Etapa 3.3.3

Simplifique o numerador.

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Etapa 3.3.3.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 3.3.3.1.1

Multiplique $4$ por $1$ .

$\frac{4 x + 4 - (4 x) - - 5}{{(x + 1)}^{2}}$

Etapa 3.3.3.1.2

Multiplique $4$ por $- 1$ .

$\frac{4 x + 4 - 4 x - - 5}{{(x + 1)}^{2}}$

Etapa 3.3.3.1.3

Multiplique $- 1$ por $- 5$ .

$\frac{4 x + 4 - 4 x + 5}{{(x + 1)}^{2}}$

Etapa 3.3.3.2

Combine os termos opostos em $4 x + 4 - 4 x + 5$ .

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Etapa 3.3.3.2.1

Subtraia $4 x$ de $4 x$ .

$\frac{0 + 4 + 5}{{(x + 1)}^{2}}$

Etapa 3.3.3.2.2

Some $0$ e $4$ .

$\frac{4 + 5}{{(x + 1)}^{2}}$

Etapa 3.3.3.3

Some $4$ e $5$ .

$\frac{9}{{(x + 1)}^{2}}$

Etapa 3.4

Avalie a derivada em $x = 0$ .

$\frac{9}{{((0) + 1)}^{2}}$

Etapa 3.5

Simplifique.

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Etapa 3.5.1

Simplifique o denominador.

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Etapa 3.5.1.1

Some $0$ e $1$ .

$\frac{9}{1^{2}}$

Etapa 3.5.1.2

Um elevado a qualquer potência é um.

$\frac{9}{1}$

Etapa 3.5.2

Divida $9$ por $1$ .

$9$

Etapa 4

Substitua os valores de inclinação e ponto na fórmula do ponto-declividade e resolva $y$ .

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Etapa 4.1

Use a inclinação $9$ e um ponto determinado $(0, - 5)$ para substituir $x_{1}$ e $y_{1}$ na forma do ponto-declividade $y - y_{1} = m (x - x_{1})$ , que é derivada da equação de inclinação $m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$ .

$y - (- 5) = 9 \cdot (x - (0))$

Etapa 4.2

Simplifique a equação e mantenha-a na forma do ponto-declividade.

$y + 5 = 9 \cdot (x + 0)$

Etapa 4.3

Resolva $y$ .

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Etapa 4.3.1

Some $x$ e $0$ .

$y + 5 = 9 x$

Etapa 4.3.2

Subtraia $5$ dos dois lados da equação.

$y = 9 x - 5$

Etapa 5