Cálculo Exemplos

$f (x) = \sqrt{x + 1} + \sin (x)$ , $x = 0$

Etapa 1

Considere a função usada para encontrar a linearização em $a$ .

$L (x) = f (a) + f' (a) (x - a)$

Etapa 2

Substitua o valor de $a = 0$ na função de linearização.

$L (x) = f (0) + f' (0) (x - 0)$

Etapa 3

Avalie $f (0)$ .

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Etapa 3.1

Substitua a variável $x$ por $0$ na expressão.

$f (0) = \sqrt{(0) + 1} + \sin (0)$

Etapa 3.2

Simplifique $\sqrt{(0) + 1} + \sin (0)$ .

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Etapa 3.2.1

Remova os parênteses.

$\sqrt{(0) + 1} + \sin (0)$

Etapa 3.2.2

Simplifique cada termo.

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Etapa 3.2.2.1

Some $0$ e $1$ .

$\sqrt{1} + \sin (0)$

Etapa 3.2.2.2

Qualquer raiz de $1$ é $1$ .

$1 + \sin (0)$

Etapa 3.2.2.3

O valor exato de $\sin (0)$ é $0$ .

$1 + 0$

Etapa 3.2.3

Some $1$ e $0$ .

$1$

Etapa 4

Encontre a derivada e a avalie em $0$ .

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Etapa 4.1

Encontre a derivada de $f (x) = \sqrt{x + 1} + \sin (x)$ .

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Etapa 4.1.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $\sqrt{x + 1} + \sin (x)$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [\sqrt{x + 1}] + \frac{d}{d x} [\sin (x)]$ .

$\frac{d}{d x} [\sqrt{x + 1}] + \frac{d}{d x} [\sin (x)]$

Etapa 4.1.2

Avalie $\frac{d}{d x} [\sqrt{x + 1}]$ .

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Etapa 4.1.2.1

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt{x + 1}$ como ${(x + 1)}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{d}{d x} [{(x + 1)}^{\frac{1}{2}}] + \frac{d}{d x} [\sin (x)]$

Etapa 4.1.2.2

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ e $g (x) = x + 1$ .

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Etapa 4.1.2.2.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u$ como $x + 1$ .

$\frac{d}{d u} [u^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d x} [x + 1] + \frac{d}{d x} [\sin (x)]$

Etapa 4.1.2.2.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ é $n u^{n - 1}$ , em que $n = \frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{2} u^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [x + 1] + \frac{d}{d x} [\sin (x)]$

Etapa 4.1.2.2.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $x + 1$ .

$\frac{1}{2} {(x + 1)}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [x + 1] + \frac{d}{d x} [\sin (x)]$

Etapa 4.1.2.3

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x + 1$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\frac{1}{2} {(x + 1)}^{\frac{1}{2} - 1} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]) + \frac{d}{d x} [\sin (x)]$

Etapa 4.1.2.4

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$\frac{1}{2} {(x + 1)}^{\frac{1}{2} - 1} (1 + \frac{d}{d x} [1]) + \frac{d}{d x} [\sin (x)]$

Etapa 4.1.2.5

Como $1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $1$ em relação a $x$ é $0$ .

$\frac{1}{2} {(x + 1)}^{\frac{1}{2} - 1} (1 + 0) + \frac{d}{d x} [\sin (x)]$

Etapa 4.1.2.6

Para escrever $- 1$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2} {(x + 1)}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} (1 + 0) + \frac{d}{d x} [\sin (x)]$

Etapa 4.1.2.7

Combine $- 1$ e $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2} {(x + 1)}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} (1 + 0) + \frac{d}{d x} [\sin (x)]$

Etapa 4.1.2.8

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{1}{2} {(x + 1)}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} (1 + 0) + \frac{d}{d x} [\sin (x)]$

Etapa 4.1.2.9

Simplifique o numerador.

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Etapa 4.1.2.9.1

Multiplique $- 1$ por $2$ .

$\frac{1}{2} {(x + 1)}^{\frac{1 - 2}{2}} (1 + 0) + \frac{d}{d x} [\sin (x)]$

Etapa 4.1.2.9.2

Subtraia $2$ de $1$ .

$\frac{1}{2} {(x + 1)}^{\frac{- 1}{2}} (1 + 0) + \frac{d}{d x} [\sin (x)]$

Etapa 4.1.2.10

Mova o número negativo para a frente da fração.

$\frac{1}{2} {(x + 1)}^{- \frac{1}{2}} (1 + 0) + \frac{d}{d x} [\sin (x)]$

Etapa 4.1.2.11

Some $1$ e $0$ .

$\frac{1}{2} {(x + 1)}^{- \frac{1}{2}} \cdot 1 + \frac{d}{d x} [\sin (x)]$

Etapa 4.1.2.12

Combine $\frac{1}{2}$ e ${(x + 1)}^{- \frac{1}{2}}$ .

$\frac{{(x + 1)}^{- \frac{1}{2}}}{2} \cdot 1 + \frac{d}{d x} [\sin (x)]$

Etapa 4.1.2.13

Multiplique $\frac{{(x + 1)}^{- \frac{1}{2}}}{2}$ por $1$ .

$\frac{{(x + 1)}^{- \frac{1}{2}}}{2} + \frac{d}{d x} [\sin (x)]$

Etapa 4.1.2.14

Mova ${(x + 1)}^{- \frac{1}{2}}$ para o denominador usando a regra do expoente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{1}{2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}}} + \frac{d}{d x} [\sin (x)]$

Etapa 4.1.3

A derivada de $\sin (x)$ em relação a $x$ é $\cos (x)$ .

$\frac{1}{2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}}} + \cos (x)$

Etapa 4.2

Substitua a variável $x$ por $0$ na expressão.

$\frac{1}{2 {((0) + 1)}^{\frac{1}{2}}} + \cos (0)$

Etapa 4.3

Simplifique.

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Etapa 4.3.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 4.3.1.1

Simplifique o denominador.

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Etapa 4.3.1.1.1

Some $0$ e $1$ .

$\frac{1}{2 \cdot 1^{\frac{1}{2}}} + \cos (0)$

Etapa 4.3.1.1.2

Um elevado a qualquer potência é um.

$\frac{1}{2 \cdot 1} + \cos (0)$

Etapa 4.3.1.2

Multiplique $2$ por $1$ .

$\frac{1}{2} + \cos (0)$

Etapa 4.3.1.3

O valor exato de $\cos (0)$ é $1$ .

$\frac{1}{2} + 1$

Etapa 4.3.2

Simplifique a expressão.

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Etapa 4.3.2.1

Escreva $1$ como uma fração com um denominador comum.

$\frac{1}{2} + \frac{2}{2}$

Etapa 4.3.2.2

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{1 + 2}{2}$

Etapa 4.3.2.3

Some $1$ e $2$ .

$\frac{3}{2}$

Etapa 5

Substitua os componentes na função de linearização para encontrar a linearização em $a$ .

$L (x) = 1 + \frac{3}{2} (x - 0)$

Etapa 6

Simplifique cada termo.

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Etapa 6.1

Subtraia $0$ de $x$ .

$L (x) = 1 + \frac{3}{2} x$

Etapa 6.2

Combine $\frac{3}{2}$ e $x$ .

$L (x) = 1 + \frac{3 x}{2}$

Etapa 7