Cálculo Exemplos

$f (x) = 4 \csc (\frac{1}{4} π x + \frac{1}{3} π)$

Etapa 1

Remova os parênteses.

$y = 4 \csc (\frac{1}{4} \cdot (π x) + \frac{1}{3} \cdot π)$

Etapa 2

Remova os parênteses.

$y = 4 \csc (\frac{1}{4} \cdot (π x) + \frac{1}{3} \cdot π)$

Etapa 3

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.1

Multiplique $\frac{1}{4} (π x)$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.1.1

Combine $π$ e $\frac{1}{4}$ .

$y = 4 \csc (\frac{π}{4} x + \frac{1}{3} \cdot π)$

Etapa 3.1.2

Combine $\frac{π}{4}$ e $x$ .

$y = 4 \csc (\frac{π x}{4} + \frac{1}{3} \cdot π)$

Etapa 3.2

Combine $\frac{1}{3}$ e $π$ .

$y = 4 \csc (\frac{π x}{4} + \frac{π}{3})$

Etapa 4

Em qualquer $y = \csc (x)$ , as assíntotas verticais ocorrem em $x = n π$ , em que $n$ é um número inteiro. Use o período básico de $y = c s c (x)$ , $(0, 2 π)$ , para encontrar as assíntotas verticais de $y = 4 \csc (\frac{π x}{4} + \frac{π}{3})$ . Defina a parte interna da função cossecante, $b x + c$ , para $y = a \csc (b x + c) + d$ igual a $0$ para encontrar onde a assíntota vertical ocorre para $y = 4 \csc (\frac{π x}{4} + \frac{π}{3})$ .

$\frac{π x}{4} + \frac{π}{3} = 0$

Etapa 5

Resolva $x$ .

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Etapa 5.1

Subtraia $\frac{π}{3}$ dos dois lados da equação.

$\frac{π x}{4} = - \frac{π}{3}$

Etapa 5.2

Multiplique os dois lados da equação por $\frac{4}{π}$ .

$\frac{4}{π} \cdot \frac{π x}{4} = \frac{4}{π} (- \frac{π}{3})$

Etapa 5.3

Simplifique os dois lados da equação.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.3.1

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.3.1.1

Simplifique $\frac{4}{π} \cdot \frac{π x}{4}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.3.1.1.1

Cancele o fator comum de $4$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.3.1.1.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{4}{π} \cdot \frac{π x}{4} = \frac{4}{π} (- \frac{π}{3})$

Etapa 5.3.1.1.1.2

Reescreva a expressão.

$\frac{1}{π} (π x) = \frac{4}{π} (- \frac{π}{3})$

Etapa 5.3.1.1.2

Cancele o fator comum de $π$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.3.1.1.2.1

Fatore $π$ de $π x$ .

$\frac{1}{π} (π (x)) = \frac{4}{π} (- \frac{π}{3})$

Etapa 5.3.1.1.2.2

Cancele o fator comum.

$\frac{1}{π} (π x) = \frac{4}{π} (- \frac{π}{3})$

Etapa 5.3.1.1.2.3

Reescreva a expressão.

$x = \frac{4}{π} (- \frac{π}{3})$

Etapa 5.3.2

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.3.2.1

Simplifique $\frac{4}{π} (- \frac{π}{3})$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.3.2.1.1

Cancele o fator comum de $π$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.3.2.1.1.1

Mova o negativo de maior ordem em $- \frac{π}{3}$ para o numerador.

$x = \frac{4}{π} \cdot \frac{- π}{3}$

Etapa 5.3.2.1.1.2

Fatore $π$ de $- π$ .

$x = \frac{4}{π} \cdot \frac{π \cdot - 1}{3}$

Etapa 5.3.2.1.1.3

Cancele o fator comum.

$x = \frac{4}{π} \cdot \frac{π \cdot - 1}{3}$

Etapa 5.3.2.1.1.4

Reescreva a expressão.

$x = 4 (\frac{- 1}{3})$

Etapa 5.3.2.1.2

Combine $4$ e $\frac{- 1}{3}$ .

$x = \frac{4 \cdot - 1}{3}$

Etapa 5.3.2.1.3

Simplifique a expressão.

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Etapa 5.3.2.1.3.1

Multiplique $4$ por $- 1$ .

$x = \frac{- 4}{3}$

Etapa 5.3.2.1.3.2

Mova o número negativo para a frente da fração.

$x = - \frac{4}{3}$

Etapa 6

Defina a parte interna da função cossecante $\frac{π x}{4} + \frac{π}{3}$ como igual a $2 π$ .

$\frac{π x}{4} + \frac{π}{3} = 2 π$

Etapa 7

Resolva $x$ .

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Etapa 7.1

Mova todos os termos que não contêm $x$ para o lado direito da equação.

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Etapa 7.1.1

Subtraia $\frac{π}{3}$ dos dois lados da equação.

$\frac{π x}{4} = 2 π - \frac{π}{3}$

Etapa 7.1.2

Para escrever $2 π$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{3}{3}$ .

$\frac{π x}{4} = 2 π \cdot \frac{3}{3} - \frac{π}{3}$

Etapa 7.1.3

Combine $2 π$ e $\frac{3}{3}$ .

$\frac{π x}{4} = \frac{2 π \cdot 3}{3} - \frac{π}{3}$

Etapa 7.1.4

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{π x}{4} = \frac{2 π \cdot 3 - π}{3}$

Etapa 7.1.5

Simplifique o numerador.

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Etapa 7.1.5.1

Multiplique $3$ por $2$ .

$\frac{π x}{4} = \frac{6 π - π}{3}$

Etapa 7.1.5.2

Subtraia $π$ de $6 π$ .

$\frac{π x}{4} = \frac{5 π}{3}$

Etapa 7.2

Multiplique os dois lados da equação por $\frac{4}{π}$ .

$\frac{4}{π} \cdot \frac{π x}{4} = \frac{4}{π} \cdot \frac{5 π}{3}$

Etapa 7.3

Simplifique os dois lados da equação.

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Etapa 7.3.1

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 7.3.1.1

Simplifique $\frac{4}{π} \cdot \frac{π x}{4}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.3.1.1.1

Cancele o fator comum de $4$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.3.1.1.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{4}{π} \cdot \frac{π x}{4} = \frac{4}{π} \cdot \frac{5 π}{3}$

Etapa 7.3.1.1.1.2

Reescreva a expressão.

$\frac{1}{π} (π x) = \frac{4}{π} \cdot \frac{5 π}{3}$

Etapa 7.3.1.1.2

Cancele o fator comum de $π$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.3.1.1.2.1

Fatore $π$ de $π x$ .

$\frac{1}{π} (π (x)) = \frac{4}{π} \cdot \frac{5 π}{3}$

Etapa 7.3.1.1.2.2

Cancele o fator comum.

$\frac{1}{π} (π x) = \frac{4}{π} \cdot \frac{5 π}{3}$

Etapa 7.3.1.1.2.3

Reescreva a expressão.

$x = \frac{4}{π} \cdot \frac{5 π}{3}$

Etapa 7.3.2

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.3.2.1

Simplifique $\frac{4}{π} \cdot \frac{5 π}{3}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.3.2.1.1

Cancele o fator comum de $π$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.3.2.1.1.1

Fatore $π$ de $5 π$ .

$x = \frac{4}{π} \cdot \frac{π \cdot 5}{3}$

Etapa 7.3.2.1.1.2

Cancele o fator comum.

$x = \frac{4}{π} \cdot \frac{π \cdot 5}{3}$

Etapa 7.3.2.1.1.3

Reescreva a expressão.

$x = 4 (\frac{5}{3})$

Etapa 7.3.2.1.2

Combine $4$ e $\frac{5}{3}$ .

$x = \frac{4 \cdot 5}{3}$

Etapa 7.3.2.1.3

Multiplique $4$ por $5$ .

$x = \frac{20}{3}$

Etapa 8

O período básico para $y = 4 \csc (\frac{π x}{4} + \frac{π}{3})$ ocorrerá em $(- \frac{4}{3}, \frac{20}{3})$ , em que $- \frac{4}{3}$ e $\frac{20}{3}$ são assíntotas verticais.

$(- \frac{4}{3}, \frac{20}{3})$

Etapa 9

Encontre o período $\frac{2 π}{| b |}$ para descobrir onde existem assíntotas verticais. Elas ocorrem a cada meio período.

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Etapa 9.1

$\frac{π}{4}$ é aproximadamente $0.78539816$ , que é positivo, então remova o valor absoluto

$\frac{2 π}{\frac{π}{4}}$

Etapa 9.2

Multiplique o numerador pelo inverso do denominador.

$2 π \frac{4}{π}$

Etapa 9.3

Cancele o fator comum de $π$ .

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Etapa 9.3.1

Fatore $π$ de $2 π$ .

$π \cdot 2 \frac{4}{π}$

Etapa 9.3.2

Cancele o fator comum.

$π \cdot 2 \frac{4}{π}$

Etapa 9.3.3

Reescreva a expressão.

$2 \cdot 4$

Etapa 9.4

Multiplique $2$ por $4$ .

$8$

Etapa 10

As assíntotas verticais de $y = 4 \csc (\frac{π x}{4} + \frac{π}{3})$ ocorrem em $- \frac{4}{3}$ , $\frac{20}{3}$ e a cada $x = - \frac{4}{3} + 4 n$ , em que $n$ é um número inteiro. Isso é metade do período.

$x = - \frac{4}{3} + 4 n$

Etapa 11

A cossecante só tem assíntotas verticais.

Nenhuma assíntota horizontal

Nenhuma assíntota oblíqua

Assíntotas verticais: $x = - \frac{4}{3} + 4 n$ , em que $n$ é um número inteiro

Etapa 12