Cálculo Exemplos

$f (x) = \frac{6 x^{3} - 5 x}{3 x^{2} + x}$

Etapa 1

Encontre onde a expressão $\frac{6 x^{3} - 5 x}{3 x^{2} + x}$ é indefinida.

$x = - \frac{1}{3}, x = 0$

Etapa 2

$\frac{6 x^{3} - 5 x}{3 x^{2} + x}$ $\to$ $\infty$ como $x$ $\to$ $- \frac{1}{3}$ a partir da esquerda e $\frac{6 x^{3} - 5 x}{3 x^{2} + x}$ $\to$ $- \infty$ como $x$ $\to$ $- \frac{1}{3}$ a partir da direita, então, (EQUATION6 ) é uma assíntota vertical.

$x = - \frac{1}{3}$

Etapa 3

Considere a função racional $R (x) = \frac{a x^{n}}{b x^{m}}$ , em que $n$ é o grau do numerador e $m$ é o grau do denominador.

1. Se $n < m$ , então o eixo x, $y = 0$ , será a assíntota horizontal.

2. Se $n = m$ , então a assíntota horizontal será a linha $y = \frac{a}{b}$ .

3. Se $n > m$ , então não haverá assíntota horizontal (haverá uma assíntota oblíqua).

Etapa 4

Encontre $n$ e $m$ .

$n = 3$

$m = 2$

Etapa 5

Como $n > m$ , não há assíntota horizontal.

Nenhuma assíntota horizontal

Etapa 6

Encontre a assíntota oblíqua usando a divisão polinomial.

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Etapa 6.1

Simplifique a expressão.

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Etapa 6.1.1

Fatore $x$ de $6 x^{3} - 5 x$ .

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Etapa 6.1.1.1

Fatore $x$ de $6 x^{3}$ .

$\frac{x (6 x^{2}) - 5 x}{3 x^{2} + x}$

Etapa 6.1.1.2

Fatore $x$ de $- 5 x$ .

$\frac{x (6 x^{2}) + x \cdot - 5}{3 x^{2} + x}$

Etapa 6.1.1.3

Fatore $x$ de $x (6 x^{2}) + x \cdot - 5$ .

$\frac{x (6 x^{2} - 5)}{3 x^{2} + x}$

Etapa 6.1.2

Fatore $x$ de $3 x^{2} + x$ .

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Etapa 6.1.2.1

Fatore $x$ de $3 x^{2}$ .

$\frac{x (6 x^{2} - 5)}{x (3 x) + x}$

Etapa 6.1.2.2

Eleve $x$ à potência de $1$ .

$\frac{x (6 x^{2} - 5)}{x (3 x) + x^{1}}$

Etapa 6.1.2.3

Fatore $x$ de $x^{1}$ .

$\frac{x (6 x^{2} - 5)}{x (3 x) + x \cdot 1}$

Etapa 6.1.2.4

Fatore $x$ de $x (3 x) + x \cdot 1$ .

$\frac{x (6 x^{2} - 5)}{x (3 x + 1)}$

Etapa 6.1.3

Cancele o fator comum de $x$ .

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Etapa 6.1.3.1

Cancele o fator comum.

$\frac{x (6 x^{2} - 5)}{x (3 x + 1)}$

Etapa 6.1.3.2

Reescreva a expressão.

$\frac{6 x^{2} - 5}{3 x + 1}$

Etapa 6.2

Estabeleça os polinômios a serem divididos. Se não houver um termo para cada expoente, insira um com valor de $0$ .

$3 x$

$1$

$6 x^{2}$

$0 x$

$5$

Etapa 6.3

Divida o termo de ordem mais alta no dividendo $6 x^{2}$ pelo termo de ordem mais alta no divisor $3 x$ .

					$2 x$
	$3 x$	+	$1$		$6 x^{2}$	+	$0 x$	-	$5$

Etapa 6.4

Multiplique o novo termo do quociente pelo divisor.

				$2 x$
$3 x$	+	$1$		$6 x^{2}$	+	$0 x$	-	$5$
			+	$6 x^{2}$	+	$2 x$

Etapa 6.5

A expressão precisa ser subtraída do dividendo. Portanto, altere todos os sinais em $6 x^{2} + 2 x$ .

				$2 x$
$3 x$	+	$1$		$6 x^{2}$	+	$0 x$	-	$5$
			-	$6 x^{2}$	-	$2 x$

Etapa 6.6

Depois de alterar os sinais, some o último dividendo do polinômio multiplicado para encontrar o novo dividendo.

				$2 x$
$3 x$	+	$1$		$6 x^{2}$	+	$0 x$	-	$5$
			-	$6 x^{2}$	-	$2 x$
					-	$2 x$

Etapa 6.7

Tire os próximos termos do dividendo original e os coloque no dividendo atual.

				$2 x$
$3 x$	+	$1$		$6 x^{2}$	+	$0 x$	-	$5$
			-	$6 x^{2}$	-	$2 x$
					-	$2 x$	-	$5$

Etapa 6.8

Divida o termo de ordem mais alta no dividendo $- 2 x$ pelo termo de ordem mais alta no divisor $3 x$ .

				$2 x$	-	$\frac{2}{3}$
$3 x$	+	$1$		$6 x^{2}$	+	$0 x$	-	$5$
			-	$6 x^{2}$	-	$2 x$
					-	$2 x$	-	$5$

Etapa 6.9

Multiplique o novo termo do quociente pelo divisor.

				$2 x$	-	$\frac{2}{3}$
$3 x$	+	$1$		$6 x^{2}$	+	$0 x$	-	$5$
			-	$6 x^{2}$	-	$2 x$
					-	$2 x$	-	$5$
					-	$2 x$	-	$\frac{2}{3}$

Etapa 6.10

A expressão precisa ser subtraída do dividendo. Portanto, altere todos os sinais em $- 2 x - \frac{2}{3}$ .

				$2 x$	-	$\frac{2}{3}$
$3 x$	+	$1$		$6 x^{2}$	+	$0 x$	-	$5$
			-	$6 x^{2}$	-	$2 x$
					-	$2 x$	-	$5$
					+	$2 x$	+	$\frac{2}{3}$

Etapa 6.11

Depois de alterar os sinais, some o último dividendo do polinômio multiplicado para encontrar o novo dividendo.

				$2 x$	-	$\frac{2}{3}$
$3 x$	+	$1$		$6 x^{2}$	+	$0 x$	-	$5$
			-	$6 x^{2}$	-	$2 x$
					-	$2 x$	-	$5$
					+	$2 x$	+	$\frac{2}{3}$
							-	$\frac{13}{3}$

Etapa 6.12

A resposta final é o quociente mais o resto sobre o divisor.

$2 x - \frac{2}{3} - \frac{13}{3 (3 x + 1)}$

Etapa 6.13

Divida a solução na parte polinomial e no resto.

$2 x - \frac{2}{3} + \frac{- \frac{13 x}{3}}{3 x^{2} + x}$

Etapa 6.14

A assíntota oblíqua é a parte polinomial do resultado da divisão longa.

$y = 2 x - \frac{2}{3}$

Etapa 7

Este é o conjunto de todas as assíntotas.

Assíntotas verticais: $x = - \frac{1}{3}$

Nenhuma assíntota horizontal

Assíntotas oblíquas: $y = 2 x - \frac{2}{3}$

Etapa 8