Cálculo Exemplos

$y = \frac{10}{x}$ , $[1, e]$

Etapa 1

Resolva por substituição para encontrar a intersecção entre as curvas.

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Etapa 1.1

Elimine os lados iguais de cada equação e combine.

$\frac{10}{x} = 0$

Etapa 1.2

Resolva $\frac{10}{x} = 0$ para $x$ .

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Etapa 1.2.1

Defina o numerador como igual a zero.

$10 = 0$

Etapa 1.2.2

Como $10 \neq 0$ , não há soluções.

Nenhuma solução

Etapa 2

A área da região entre as curvas é definida como a integral da curva superior menos a integral da curva inferior sobre cada região. As regiões são determinadas pelos pontos de intersecção das curvas. É possível fazer isso de forma algébrica ou gráfica.

$A r e a = \int_{1}^{e} \frac{10}{x} d x - \int_{1}^{e} 0 d x$

Etapa 3

Integre para encontrar a área entre $1$ e $e$ .

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Etapa 3.1

Combine as integrais em uma única integral.

$\int_{1}^{e} \frac{10}{x} - (0) d x$

Etapa 3.2

Subtraia $0$ de $\frac{10}{x}$ .

$\int_{1}^{e} \frac{10}{x} d x$

Etapa 3.3

Como $10$ é constante com relação a $x$ , mova $10$ para fora da integral.

$10 \int_{1}^{e} \frac{1}{x} d x$

Etapa 3.4

A integral de $\frac{1}{x}$ com relação a $x$ é $\ln (| x |)$ .

$10 (\ln (| x |)]_{1}^{e})$

Etapa 3.5

Simplifique a resposta.

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Etapa 3.5.1

Avalie $\ln (| x |)$ em $e$ e em $1$ .

$10 (\ln (| e |) - \ln (| 1 |))$

Etapa 3.5.2

Use a propriedade dos logaritmos do quociente, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$10 \ln (\frac{| e |}{| 1 |})$

Etapa 3.5.3

Simplifique.

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Etapa 3.5.3.1

$e$ é aproximadamente $2.71828182$ , que é positivo, então remova o valor absoluto

$10 \ln (\frac{e}{| 1 |})$

Etapa 3.5.3.2

O valor absoluto é a distância entre um número e zero. A distância entre $0$ e $1$ é $1$ .

$10 \ln (\frac{e}{1})$

Etapa 3.5.3.3

Divida $e$ por $1$ .

$10 \ln (e)$

Etapa 3.5.3.4

O logaritmo natural de $e$ é $1$ .

$10 \cdot 1$

Etapa 3.5.3.5

Multiplique $10$ por $1$ .

$10$

Etapa 4