Cálculo Exemplos

$y = \frac{1}{2} (e^{x} + e^{- x})$ , $[0, 2]$

Etapa 1

Resolva por substituição para encontrar a intersecção entre as curvas.

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Etapa 1.1

Elimine os lados iguais de cada equação e combine.

$\frac{e^{x}}{2} + \frac{e^{- x}}{2} = 0$

Etapa 1.2

Resolva $\frac{e^{x}}{2} + \frac{e^{- x}}{2} = 0$ para $x$ .

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Etapa 1.2.1

Mova $\frac{e^{- x}}{2}$ para o lado direito da equação, subtraindo-o dos dois lados.

$\frac{e^{x}}{2} = - \frac{e^{- x}}{2}$

Etapa 1.2.2

Como a expressão em cada lado da equação tem o mesmo denominador, os numeradores devem ser iguais.

$e^{x} = - e^{- x}$

Etapa 1.2.3

Represente cada lado da equação em um gráfico. A solução é o valor x do ponto de intersecção.

Nenhuma solução

Etapa 2

Simplifique $\frac{1}{2} \cdot (e^{x} + e^{- x})$ .

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Etapa 2.1

Aplique a propriedade distributiva.

$y = \frac{1}{2} e^{x} + \frac{1}{2} e^{- x}$

Etapa 2.2

Combine $\frac{1}{2}$ e $e^{x}$ .

$y = \frac{e^{x}}{2} + \frac{1}{2} e^{- x}$

Etapa 2.3

Combine $\frac{1}{2}$ e $e^{- x}$ .

$y = \frac{e^{x}}{2} + \frac{e^{- x}}{2}$

Etapa 3

A área da região entre as curvas é definida como a integral da curva superior menos a integral da curva inferior sobre cada região. As regiões são determinadas pelos pontos de intersecção das curvas. É possível fazer isso de forma algébrica ou gráfica.

$A r e a = \int_{0}^{2} \frac{e^{x}}{2} + \frac{e^{- x}}{2} d x - \int_{0}^{2} 0 d x$

Etapa 4

Integre para encontrar a área entre $0$ e $2$ .

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Etapa 4.1

Combine as integrais em uma única integral.

$\int_{0}^{2} \frac{e^{x}}{2} + \frac{e^{- x}}{2} - (0) d x$

Etapa 4.2

Subtraia $0$ de $\frac{e^{x}}{2} + \frac{e^{- x}}{2}$ .

$\int_{0}^{2} \frac{e^{x}}{2} + \frac{e^{- x}}{2} d x$

Etapa 4.3

Divida a integral única em várias integrais.

$\int_{0}^{2} \frac{e^{x}}{2} d x + \int_{0}^{2} \frac{e^{- x}}{2} d x$

Etapa 4.4

Como $\frac{1}{2}$ é constante com relação a $x$ , mova $\frac{1}{2}$ para fora da integral.

$\frac{1}{2} \int_{0}^{2} e^{x} d x + \int_{0}^{2} \frac{e^{- x}}{2} d x$

Etapa 4.5

A integral de $e^{x}$ com relação a $x$ é $e^{x}$ .

$\frac{1}{2} e^{x}]_{0}^{2} + \int_{0}^{2} \frac{e^{- x}}{2} d x$

Etapa 4.6

Como $\frac{1}{2}$ é constante com relação a $x$ , mova $\frac{1}{2}$ para fora da integral.

$\frac{1}{2} e^{x}]_{0}^{2} + \frac{1}{2} \int_{0}^{2} e^{- x} d x$

Etapa 4.7

Deixe $u = - x$ . Depois, $d u = - d x$ , então, $- d u = d x$ . Reescreva usando $u$ e $d$ $u$ .

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Etapa 4.7.1

Deixe $u = - x$ . Encontre $\frac{d u}{d x}$ .

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Etapa 4.7.1.1

Diferencie $- x$ .

$\frac{d}{d x} [- x]$

Etapa 4.7.1.2

Como $- 1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- x$ em relação a $x$ é $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$- \frac{d}{d x} [x]$

Etapa 4.7.1.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$- 1 \cdot 1$

Etapa 4.7.1.4

Multiplique $- 1$ por $1$ .

$- 1$

Etapa 4.7.2

Substitua o limite inferior por $x$ em $u = - x$ .

$u_{lower} = - 0$

Etapa 4.7.3

Multiplique $- 1$ por $0$ .

$u_{lower} = 0$

Etapa 4.7.4

Substitua o limite superior por $x$ em $u = - x$ .

$u_{upper} = - 1 \cdot 2$

Etapa 4.7.5

Multiplique $- 1$ por $2$ .

$u_{upper} = - 2$

Etapa 4.7.6

Os valores encontrados para $u_{lower}$ e $u_{upper}$ serão usados para avaliar a integral definida.

$u_{lower} = 0$

$u_{upper} = - 2$

Etapa 4.7.7

Reescreva o problema usando $u$ , $d u$ e os novos limites de integração.

$\frac{1}{2} e^{x}]_{0}^{2} + \frac{1}{2} \int_{0}^{- 2} - e^{u} d u$

Etapa 4.8

Como $- 1$ é constante com relação a $u$ , mova $- 1$ para fora da integral.

$\frac{1}{2} e^{x}]_{0}^{2} + \frac{1}{2} (- \int_{0}^{- 2} e^{u} d u)$

Etapa 4.9

A integral de $e^{u}$ com relação a $u$ é $e^{u}$ .

$\frac{1}{2} e^{x}]_{0}^{2} + \frac{1}{2} (- (e^{u}]_{0}^{- 2}))$

Etapa 4.10

Combine $\frac{1}{2}$ e $e^{u}]_{0}^{- 2}$ .

$\frac{1}{2} e^{x}]_{0}^{2} - \frac{e^{u}]_{0}^{- 2}}{2}$

Etapa 4.11

Substitua e simplifique.

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Etapa 4.11.1

Avalie $e^{x}$ em $2$ e em $0$ .

$\frac{1}{2} ((e^{2}) - e^{0}) - \frac{e^{u}]_{0}^{- 2}}{2}$

Etapa 4.11.2

Avalie $e^{u}$ em $- 2$ e em $0$ .

$\frac{1}{2} ((e^{2}) - e^{0}) - \frac{(e^{- 2}) - e^{0}}{2}$

Etapa 4.11.3

Simplifique.

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Etapa 4.11.3.1

Qualquer coisa elevada a $0$ é $1$ .

$\frac{1}{2} (e^{2} - 1 \cdot 1) - \frac{(e^{- 2}) - e^{0}}{2}$

Etapa 4.11.3.2

Multiplique $- 1$ por $1$ .

$\frac{1}{2} (e^{2} - 1) - \frac{(e^{- 2}) - e^{0}}{2}$

Etapa 4.11.3.3

Qualquer coisa elevada a $0$ é $1$ .

$\frac{1}{2} (e^{2} - 1) - \frac{e^{- 2} - 1 \cdot 1}{2}$

Etapa 4.11.3.4

Multiplique $- 1$ por $1$ .

$\frac{1}{2} (e^{2} - 1) - \frac{e^{- 2} - 1}{2}$

Etapa 4.11.3.5

Para escrever $\frac{1}{2} (e^{2} - 1)$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2} (e^{2} - 1) \cdot \frac{2}{2} - \frac{e^{- 2} - 1}{2}$

Etapa 4.11.3.6

Combine $\frac{1}{2} (e^{2} - 1)$ e $\frac{2}{2}$ .

$\frac{\frac{1}{2} (e^{2} - 1) \cdot 2}{2} - \frac{e^{- 2} - 1}{2}$

Etapa 4.11.3.7

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{\frac{1}{2} (e^{2} - 1) \cdot 2 - (e^{- 2} - 1)}{2}$

Etapa 4.11.3.8

Combine $2$ e $\frac{1}{2}$ .

$\frac{\frac{2}{2} (e^{2} - 1) - (e^{- 2} - 1)}{2}$

Etapa 4.11.3.9

Cancele o fator comum de $2$ .

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Etapa 4.11.3.9.1

Cancele o fator comum.

$\frac{\frac{2}{2} (e^{2} - 1) - (e^{- 2} - 1)}{2}$

Etapa 4.11.3.9.2

Reescreva a expressão.

$\frac{1 (e^{2} - 1) - (e^{- 2} - 1)}{2}$

Etapa 4.11.3.10

Multiplique $e^{2} - 1$ por $1$ .

$\frac{e^{2} - 1 - (e^{- 2} - 1)}{2}$

Etapa 5

Some as áreas $\frac{e^{2} - 1 - (e^{- 2} - 1)}{2}$ .

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Etapa 5.1

Simplifique o numerador.

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Etapa 5.1.1

Reescreva a expressão usando a regra do expoente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{e^{2} - 1 - (\frac{1}{e^{2}} - 1)}{2}$

Etapa 5.1.2

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{e^{2} - 1 - \frac{1}{e^{2}} - - 1}{2}$

Etapa 5.1.3

Multiplique $- 1$ por $- 1$ .

$\frac{e^{2} - 1 - \frac{1}{e^{2}} + 1}{2}$

Etapa 5.1.4

Some $- 1$ e $1$ .

$\frac{e^{2} - \frac{1}{e^{2}} + 0}{2}$

Etapa 5.1.5

Some $e^{2} - \frac{1}{e^{2}}$ e $0$ .

$\frac{e^{2} - \frac{1}{e^{2}}}{2}$

Etapa 5.1.6

Reescreva $e^{2} - \frac{1}{e^{2}}$ em uma forma fatorada.

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Etapa 5.1.6.1

Reescreva $\frac{1}{e^{2}}$ como ${(\frac{1}{e})}^{2}$ .

$\frac{e^{2} - {(\frac{1}{e})}^{2}}{2}$

Etapa 5.1.6.2

Como os dois termos são quadrados perfeitos, fatore usando a fórmula da diferença de quadrados, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ em que $a = e$ e $b = \frac{1}{e}$ .

$\frac{(e + \frac{1}{e}) (e - \frac{1}{e})}{2}$

Etapa 5.1.7

Para escrever $e$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{e}{e}$ .

$\frac{(\frac{e e}{e} + \frac{1}{e}) (e - \frac{1}{e})}{2}$

Etapa 5.1.8

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{\frac{e e + 1}{e} (e - \frac{1}{e})}{2}$

Etapa 5.1.9

Multiplique $e e$ .

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Etapa 5.1.9.1

Eleve $e$ à potência de $1$ .

$\frac{\frac{e^{1} e + 1}{e} (e - \frac{1}{e})}{2}$

Etapa 5.1.9.2

Eleve $e$ à potência de $1$ .

$\frac{\frac{e^{1} e^{1} + 1}{e} (e - \frac{1}{e})}{2}$

Etapa 5.1.9.3

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$\frac{\frac{e^{1 + 1} + 1}{e} (e - \frac{1}{e})}{2}$

Etapa 5.1.9.4

Some $1$ e $1$ .

$\frac{\frac{e^{2} + 1}{e} (e - \frac{1}{e})}{2}$

Etapa 5.1.10

Para escrever $e$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{e}{e}$ .

$\frac{\frac{e^{2} + 1}{e} (\frac{e e}{e} - \frac{1}{e})}{2}$

Etapa 5.1.11

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{\frac{e^{2} + 1}{e} \cdot \frac{e e - 1}{e}}{2}$

Etapa 5.1.12

Simplifique o numerador.

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Etapa 5.1.12.1

Multiplique $e e$ .

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Etapa 5.1.12.1.1

Eleve $e$ à potência de $1$ .

$\frac{\frac{e^{2} + 1}{e} \cdot \frac{e^{1} e - 1}{e}}{2}$

Etapa 5.1.12.1.2

Eleve $e$ à potência de $1$ .

$\frac{\frac{e^{2} + 1}{e} \cdot \frac{e^{1} e^{1} - 1}{e}}{2}$

Etapa 5.1.12.1.3

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$\frac{\frac{e^{2} + 1}{e} \cdot \frac{e^{1 + 1} - 1}{e}}{2}$

Etapa 5.1.12.1.4

Some $1$ e $1$ .

$\frac{\frac{e^{2} + 1}{e} \cdot \frac{e^{2} - 1}{e}}{2}$

Etapa 5.1.12.2

Reescreva $e^{2} - 1$ em uma forma fatorada.

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Etapa 5.1.12.2.1

Reescreva $1$ como $1^{2}$ .

$\frac{\frac{e^{2} + 1}{e} \cdot \frac{e^{2} - 1^{2}}{e}}{2}$

Etapa 5.1.12.2.2

Como os dois termos são quadrados perfeitos, fatore usando a fórmula da diferença de quadrados, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ em que $a = e$ e $b = 1$ .

$\frac{\frac{e^{2} + 1}{e} \cdot \frac{(e + 1) (e - 1)}{e}}{2}$

Etapa 5.2

Multiplique $\frac{e^{2} + 1}{e}$ por $\frac{(e + 1) (e - 1)}{e}$ .

$\frac{\frac{(e^{2} + 1) ((e + 1) (e - 1))}{e e}}{2}$

Etapa 5.3

Simplifique o denominador.

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Etapa 5.3.1

Eleve $e$ à potência de $1$ .

$\frac{\frac{(e^{2} + 1) (e + 1) (e - 1)}{e^{1} e}}{2}$

Etapa 5.3.2

Eleve $e$ à potência de $1$ .

$\frac{\frac{(e^{2} + 1) (e + 1) (e - 1)}{e^{1} e^{1}}}{2}$

Etapa 5.3.3

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$\frac{\frac{(e^{2} + 1) (e + 1) (e - 1)}{e^{1 + 1}}}{2}$

Etapa 5.3.4

Some $1$ e $1$ .

$\frac{\frac{(e^{2} + 1) (e + 1) (e - 1)}{e^{2}}}{2}$

Etapa 5.4

Multiplique o numerador pelo inverso do denominador.

$\frac{(e^{2} + 1) (e + 1) (e - 1)}{e^{2}} \cdot \frac{1}{2}$

Etapa 5.5

Combine.

$\frac{(e^{2} + 1) (e + 1) (e - 1) \cdot 1}{e^{2} \cdot 2}$

Etapa 5.6

Simplifique a expressão.

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Etapa 5.6.1

Multiplique $e^{2} + 1$ por $1$ .

$\frac{(e^{2} + 1) (e + 1) (e - 1)}{e^{2} \cdot 2}$

Etapa 5.6.2

Mova $2$ para a esquerda de $e^{2}$ .

$\frac{(e^{2} + 1) (e + 1) (e - 1)}{2 e^{2}}$

Etapa 6