Cálculo Exemplos

$f (x) = \frac{\sqrt{x^{2} + 1}}{x}$

Etapa 1

Encontre onde a expressão $\frac{\sqrt{x^{2} + 1}}{x}$ é indefinida.

$x = 0$

Etapa 2

Avalie $lim_{x \to \infty} \frac{\sqrt{x^{2} + 1}}{x}$ para encontrar a assíntota horizontal.

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Etapa 2.1

Avalie o limite.

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Etapa 2.1.1

Cancele o fator comum de $x^{2}$ .

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Etapa 2.1.1.1

Cancele o fator comum.

$lim_{x \to \infty} \frac{\sqrt{\frac{x^{2}}{x^{2}} + \frac{1}{x^{2}}}}{1}$

Etapa 2.1.1.2

Reescreva a expressão.

$lim_{x \to \infty} \frac{\sqrt{1 + \frac{1}{x^{2}}}}{1}$

Etapa 2.1.2

Divida o limite usando a regra do quociente dos limites no limite em que $x$ se aproxima de $\infty$ .

$\frac{lim_{x \to \infty} \sqrt{1 + \frac{1}{x^{2}}}}{lim_{x \to \infty} 1}$

Etapa 2.1.3

Mova o limite para baixo do sinal do radical.

$\frac{\sqrt{lim_{x \to \infty} 1 + \frac{1}{x^{2}}}}{lim_{x \to \infty} 1}$

Etapa 2.1.4

Divida o limite usando a regra da soma dos limites no limite em que $x$ se aproxima de $\infty$ .

$\frac{\sqrt{lim_{x \to \infty} 1 + lim_{x \to \infty} \frac{1}{x^{2}}}}{lim_{x \to \infty} 1}$

Etapa 2.1.5

Avalie o limite de $1$ , que é constante à medida que $x$ se aproxima de $\infty$ .

$\frac{\sqrt{1 + lim_{x \to \infty} \frac{1}{x^{2}}}}{lim_{x \to \infty} 1}$

Etapa 2.2

Como o numerador se aproxima de um número real, enquanto o denominador é ilimitado, a fração $\frac{1}{x^{2}}$ se aproxima de $0$ .

$\frac{\sqrt{1 + 0}}{lim_{x \to \infty} 1}$

Etapa 2.3

Avalie o limite.

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Etapa 2.3.1

Avalie o limite de $1$ , que é constante à medida que $x$ se aproxima de $\infty$ .

$\frac{\sqrt{1 + 0}}{1}$

Etapa 2.3.2

Simplifique a resposta.

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Etapa 2.3.2.1

Divida $\sqrt{1 + 0}$ por $1$ .

$\sqrt{1 + 0}$

Etapa 2.3.2.2

Some $1$ e $0$ .

$\sqrt{1}$

Etapa 2.3.2.3

Qualquer raiz de $1$ é $1$ .

$1$

Etapa 3

Avalie $lim_{x \to - \infty} \frac{\sqrt{x^{2} + 1}}{x}$ para encontrar a assíntota horizontal.

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Etapa 3.1

Avalie o limite.

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Etapa 3.1.1

Cancele o fator comum de $x^{2}$ .

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Etapa 3.1.1.1

Cancele o fator comum.

$lim_{x \to - \infty} \frac{- \sqrt{\frac{x^{2}}{x^{2}} + \frac{1}{x^{2}}}}{1}$

Etapa 3.1.1.2

Reescreva a expressão.

$lim_{x \to - \infty} \frac{- \sqrt{1 + \frac{1}{x^{2}}}}{1}$

Etapa 3.1.2

Divida o limite usando a regra do quociente dos limites no limite em que $x$ se aproxima de $- \infty$ .

$\frac{lim_{x \to - \infty} - \sqrt{1 + \frac{1}{x^{2}}}}{lim_{x \to - \infty} 1}$

Etapa 3.1.3

Mova o termo $- 1$ para fora do limite, porque ele é constante em relação a $x$ .

$\frac{- lim_{x \to - \infty} \sqrt{1 + \frac{1}{x^{2}}}}{lim_{x \to - \infty} 1}$

Etapa 3.1.4

Mova o limite para baixo do sinal do radical.

$\frac{- \sqrt{lim_{x \to - \infty} 1 + \frac{1}{x^{2}}}}{lim_{x \to - \infty} 1}$

Etapa 3.1.5

Divida o limite usando a regra da soma dos limites no limite em que $x$ se aproxima de $- \infty$ .

$\frac{- \sqrt{lim_{x \to - \infty} 1 + lim_{x \to - \infty} \frac{1}{x^{2}}}}{lim_{x \to - \infty} 1}$

Etapa 3.1.6

Avalie o limite de $1$ , que é constante à medida que $x$ se aproxima de $- \infty$ .

$\frac{- \sqrt{1 + lim_{x \to - \infty} \frac{1}{x^{2}}}}{lim_{x \to - \infty} 1}$

Etapa 3.2

Como o numerador se aproxima de um número real, enquanto o denominador é ilimitado, a fração $\frac{1}{x^{2}}$ se aproxima de $0$ .

$\frac{- \sqrt{1 + 0}}{lim_{x \to - \infty} 1}$

Etapa 3.3

Avalie o limite.

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Etapa 3.3.1

Avalie o limite de $1$ , que é constante à medida que $x$ se aproxima de $- \infty$ .

$\frac{- \sqrt{1 + 0}}{1}$

Etapa 3.3.2

Simplifique a resposta.

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Etapa 3.3.2.1

Divida $- \sqrt{1 + 0}$ por $1$ .

$- \sqrt{1 + 0}$

Etapa 3.3.2.2

Some $1$ e $0$ .

$- \sqrt{1}$

Etapa 3.3.2.3

Qualquer raiz de $1$ é $1$ .

$- 1 \cdot 1$

Etapa 3.3.2.4

Multiplique $- 1$ por $1$ .

$- 1$

Etapa 4

Liste as assíntotas horizontais:

$y = 1, - 1$

Etapa 5

Use a divisão polinomial para encontrar as assíntotas oblíquas. Como essa expressão contém um radical, não é possível realizar a divisão polinomial.

Não é possível encontrar assíntotas oblíquas

Etapa 6

Este é o conjunto de todas as assíntotas.

Assíntotas verticais: $x = 0$

Assíntotas horizontais: $y = 1, - 1$

Não é possível encontrar assíntotas oblíquas

Etapa 7