Cálculo Exemplos

$y = x^{2} + 2$ , $[0, 1]$

Etapa 1

Resolva por substituição para encontrar a intersecção entre as curvas.

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Etapa 1.1

Elimine os lados iguais de cada equação e combine.

$x^{2} + 2 = 0$

Etapa 1.2

Resolva $x^{2} + 2 = 0$ para $x$ .

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Etapa 1.2.1

Subtraia $2$ dos dois lados da equação.

$x^{2} = - 2$

Etapa 1.2.2

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{- 2}$

Etapa 1.2.3

Simplifique $\pm \sqrt{- 2}$ .

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Etapa 1.2.3.1

Reescreva $- 2$ como $- 1 (2)$ .

$x = \pm \sqrt{- 1 (2)}$

Etapa 1.2.3.2

Reescreva $\sqrt{- 1 (2)}$ como $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{2}$ .

$x = \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{2}$

Etapa 1.2.3.3

Reescreva $\sqrt{- 1}$ como $i$ .

$x = \pm i \sqrt{2}$

Etapa 1.2.4

A solução completa é resultado das partes positiva e negativa da solução.

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Etapa 1.2.4.1

Primeiro, use o valor positivo de $\pm$ para encontrar a primeira solução.

$x = i \sqrt{2}$

Etapa 1.2.4.2

Depois, use o valor negativo de $\pm$ para encontrar a segunda solução.

$x = - i \sqrt{2}$

Etapa 1.2.4.3

A solução completa é resultado das partes positiva e negativa da solução.

$x = i \sqrt{2}, - i \sqrt{2}$

Etapa 1.3

Substitua $i \sqrt{2}$ por $x$ .

$y = 0$

Etapa 1.4

Liste todas as soluções.

$y = 0, x = i \sqrt{2}$

$y = 0, x = - i \sqrt{2}$

$y = 0, x = i \sqrt{2}$

$y = 0, x = - i \sqrt{2}$

Etapa 2

A área da região entre as curvas é definida como a integral da curva superior menos a integral da curva inferior sobre cada região. As regiões são determinadas pelos pontos de intersecção das curvas. É possível fazer isso de forma algébrica ou gráfica.

$A r e a = \int_{0}^{1} x^{2} + 2 d x - \int_{0}^{1} 0 d x$

Etapa 3

Integre para encontrar a área entre $0$ e $1$ .

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Etapa 3.1

Combine as integrais em uma única integral.

$\int_{0}^{1} x^{2} + 2 - (0) d x$

Etapa 3.2

Subtraia $0$ de $x^{2} + 2$ .

$\int_{0}^{1} x^{2} + 2 d x$

Etapa 3.3

Divida a integral única em várias integrais.

$\int_{0}^{1} x^{2} d x + \int_{0}^{1} 2 d x$

Etapa 3.4

De acordo com a regra da multiplicação de potências, a integral de $x^{2}$ com relação a $x$ é $\frac{1}{3} x^{3}$ .

$\frac{1}{3} x^{3}]_{0}^{1} + \int_{0}^{1} 2 d x$

Etapa 3.5

Aplique a regra da constante.

$\frac{1}{3} x^{3}]_{0}^{1} + 2 x]_{0}^{1}$

Etapa 3.6

Simplifique a resposta.

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Etapa 3.6.1

Combine $\frac{1}{3} x^{3}]_{0}^{1}$ e $2 x]_{0}^{1}$ .

$\frac{1}{3} x^{3} + 2 x]_{0}^{1}$

Etapa 3.6.2

Substitua e simplifique.

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Etapa 3.6.2.1

Avalie $\frac{1}{3} x^{3} + 2 x$ em $1$ e em $0$ .

$(\frac{1}{3} \cdot 1^{3} + 2 \cdot 1) - (\frac{1}{3} \cdot 0^{3} + 2 \cdot 0)$

Etapa 3.6.2.2

Simplifique.

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Etapa 3.6.2.2.1

Um elevado a qualquer potência é um.

$\frac{1}{3} \cdot 1 + 2 \cdot 1 - (\frac{1}{3} \cdot 0^{3} + 2 \cdot 0)$

Etapa 3.6.2.2.2

Multiplique $\frac{1}{3}$ por $1$ .

$\frac{1}{3} + 2 \cdot 1 - (\frac{1}{3} \cdot 0^{3} + 2 \cdot 0)$

Etapa 3.6.2.2.3

Multiplique $2$ por $1$ .

$\frac{1}{3} + 2 - (\frac{1}{3} \cdot 0^{3} + 2 \cdot 0)$

Etapa 3.6.2.2.4

Para escrever $2$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{3}{3}$ .

$\frac{1}{3} + 2 \cdot \frac{3}{3} - (\frac{1}{3} \cdot 0^{3} + 2 \cdot 0)$

Etapa 3.6.2.2.5

Combine $2$ e $\frac{3}{3}$ .

$\frac{1}{3} + \frac{2 \cdot 3}{3} - (\frac{1}{3} \cdot 0^{3} + 2 \cdot 0)$

Etapa 3.6.2.2.6

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{1 + 2 \cdot 3}{3} - (\frac{1}{3} \cdot 0^{3} + 2 \cdot 0)$

Etapa 3.6.2.2.7

Simplifique o numerador.

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Etapa 3.6.2.2.7.1

Multiplique $2$ por $3$ .

$\frac{1 + 6}{3} - (\frac{1}{3} \cdot 0^{3} + 2 \cdot 0)$

Etapa 3.6.2.2.7.2

Some $1$ e $6$ .

$\frac{7}{3} - (\frac{1}{3} \cdot 0^{3} + 2 \cdot 0)$

Etapa 3.6.2.2.8

Elevar $0$ a qualquer potência positiva produz $0$ .

$\frac{7}{3} - (\frac{1}{3} \cdot 0 + 2 \cdot 0)$

Etapa 3.6.2.2.9

Multiplique $\frac{1}{3}$ por $0$ .

$\frac{7}{3} - (0 + 2 \cdot 0)$

Etapa 3.6.2.2.10

Multiplique $2$ por $0$ .

$\frac{7}{3} - (0 + 0)$

Etapa 3.6.2.2.11

Some $0$ e $0$ .

$\frac{7}{3} - 0$

Etapa 3.6.2.2.12

Multiplique $- 1$ por $0$ .

$\frac{7}{3} + 0$

Etapa 3.6.2.2.13

Some $\frac{7}{3}$ e $0$ .

$\frac{7}{3}$

Etapa 4