Cálculo Exemplos

$y = - 8 x + e^{x}$

Etapa 1

Defina $y$ como uma função de $x$ .

$f (x) = - 8 x + e^{x}$

Etapa 2

Encontre a derivada.

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Etapa 2.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $- 8 x + e^{x}$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [- 8 x] + \frac{d}{d x} [e^{x}]$ .

$\frac{d}{d x} [- 8 x] + \frac{d}{d x} [e^{x}]$

Etapa 2.2

Avalie $\frac{d}{d x} [- 8 x]$ .

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Etapa 2.2.1

Como $- 8$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 8 x$ em relação a $x$ é $- 8 \frac{d}{d x} [x]$ .

$- 8 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [e^{x}]$

Etapa 2.2.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$- 8 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [e^{x}]$

Etapa 2.2.3

Multiplique $- 8$ por $1$ .

$- 8 + \frac{d}{d x} [e^{x}]$

Etapa 2.3

Diferencie usando a regra exponencial, que determina que $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ é $a^{x} \ln (a)$ , em que $a$ = $e$ .

$- 8 + e^{x}$

Etapa 3

Defina a derivada como igual a $0$ e resolva a equação $- 8 + e^{x} = 0$ .

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Etapa 3.1

Some $8$ aos dois lados da equação.

$e^{x} = 8$

Etapa 3.2

Obtenha o logaritmo natural dos dois lados da equação para remover a variável do expoente.

$\ln (e^{x}) = \ln (8)$

Etapa 3.3

Expanda o lado esquerdo.

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Etapa 3.3.1

Expanda $\ln (e^{x})$ movendo $x$ para fora do logaritmo.

$x \ln (e) = \ln (8)$

Etapa 3.3.2

O logaritmo natural de $e$ é $1$ .

$x \cdot 1 = \ln (8)$

Etapa 3.3.3

Multiplique $x$ por $1$ .

$x = \ln (8)$

Etapa 4

Resolva a função original $f (x) = - 8 x + e^{x}$ em $x = \ln (8)$ .

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Etapa 4.1

Substitua a variável $x$ por $\ln (8)$ na expressão.

$f (\ln (8)) = - 8 \ln (8) + e^{\ln (8)}$

Etapa 4.2

Simplifique o resultado.

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Etapa 4.2.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 4.2.1.1

Simplifique $- 8 \ln (8)$ movendo $8$ para dentro do logaritmo.

$f (\ln (8)) = - \ln (8^{8}) + e^{\ln (8)}$

Etapa 4.2.1.2

Eleve $8$ à potência de $8$ .

$f (\ln (8)) = - \ln (16777216) + e^{\ln (8)}$

Etapa 4.2.1.3

Potenciação e logaritmo são funções inversas.

$f (\ln (8)) = - \ln (16777216) + 8$

Etapa 4.2.2

A resposta final é $- \ln (16777216) + 8$ .

$- \ln (16777216) + 8$

Etapa 5

A reta tangente horizontal na função $f (x) = - 8 x + e^{x}$ é $y = - \ln (16777216) + 8$ .

$y = - \ln (16777216) + 8$

Etapa 6