Cálculo Exemplos

$y = 3 \sin (π x + y)$ , $(1, 0)$

Etapa 1

Encontre a primeira derivada e avalie em $x = 1$ e $y = 0$ para encontrar a inclinação da reta tangente.

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Etapa 1.1

Diferencie os dois lados da equação.

$\frac{d}{d x} (y) = \frac{d}{d x} (3 \sin (π x + y))$

Etapa 1.2

A derivada de $y$ em relação a $x$ é $y'$ .

$y'$

Etapa 1.3

Diferencie o lado direito da equação.

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Etapa 1.3.1

Como $3$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $3 \sin (π x + y)$ em relação a $x$ é $3 \frac{d}{d x} [\sin (π x + y)]$ .

$3 \frac{d}{d x} [\sin (π x + y)]$

Etapa 1.3.2

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = \sin (x)$ e $g (x) = π x + y$ .

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Etapa 1.3.2.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u$ como $π x + y$ .

$3 (\frac{d}{d u} [\sin (u)] \frac{d}{d x} [π x + y])$

Etapa 1.3.2.2

A derivada de $\sin (u)$ em relação a $u$ é $\cos (u)$ .

$3 (\cos (u) \frac{d}{d x} [π x + y])$

Etapa 1.3.2.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $π x + y$ .

$3 (\cos (π x + y) \frac{d}{d x} [π x + y])$

Etapa 1.3.3

Diferencie.

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Etapa 1.3.3.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $π x + y$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [π x] + \frac{d}{d x} [y]$ .

$3 \cos (π x + y) (\frac{d}{d x} [π x] + \frac{d}{d x} [y])$

Etapa 1.3.3.2

Como $π$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $π x$ em relação a $x$ é $π \frac{d}{d x} [x]$ .

$3 \cos (π x + y) (π \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [y])$

Etapa 1.3.3.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$3 \cos (π x + y) (π \cdot 1 + \frac{d}{d x} [y])$

Etapa 1.3.3.4

Multiplique $π$ por $1$ .

$3 \cos (π x + y) (π + \frac{d}{d x} [y])$

Etapa 1.3.4

Reescreva $\frac{d}{d x} [y]$ como $y'$ .

$3 \cos (π x + y) (π + y')$

Etapa 1.4

Reformule a equação definindo o lado esquerdo igual ao lado direito.

$y' = 3 \cos (π x + y) (π + y')$

Etapa 1.5

Resolva $y'$ .

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Etapa 1.5.1

Simplifique o lado direito.

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Etapa 1.5.1.1

Simplifique $3 \cos (π x + y) (π + y')$ .

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Etapa 1.5.1.1.1

Aplique a propriedade distributiva.

$y' = 3 \cos (π x + y) π + 3 \cos (π x + y) y'$

Etapa 1.5.1.1.2

Reordene os fatores em $3 \cos (π x + y) π + 3 \cos (π x + y) y'$ .

$y' = 3 π \cos (π x + y) + 3 y' \cos (π x + y)$

Etapa 1.5.2

Subtraia $3 y' \cos (π x + y)$ dos dois lados da equação.

$y' - 3 y' \cos (π x + y) = 3 π \cos (π x + y)$

Etapa 1.5.3

Fatore $y'$ de $y' - 3 y' \cos (π x + y)$ .

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Etapa 1.5.3.1

Fatore $y'$ de ${y'}^{1}$ .

$y' \cdot 1 - 3 y' \cos (π x + y) = 3 π \cos (π x + y)$

Etapa 1.5.3.2

Fatore $y'$ de $- 3 y' \cos (π x + y)$ .

$y' \cdot 1 + y' (- 3 \cos (π x + y)) = 3 π \cos (π x + y)$

Etapa 1.5.3.3

Fatore $y'$ de $y' \cdot 1 + y' (- 3 \cos (π x + y))$ .

$y' (1 - 3 \cos (π x + y)) = 3 π \cos (π x + y)$

Etapa 1.5.4

Divida cada termo em $y' (1 - 3 \cos (π x + y)) = 3 π \cos (π x + y)$ por $1 - 3 \cos (π x + y)$ e simplifique.

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Etapa 1.5.4.1

Divida cada termo em $y' (1 - 3 \cos (π x + y)) = 3 π \cos (π x + y)$ por $1 - 3 \cos (π x + y)$ .

$\frac{y' (1 - 3 \cos (π x + y))}{1 - 3 \cos (π x + y)} = \frac{3 π \cos (π x + y)}{1 - 3 \cos (π x + y)}$

Etapa 1.5.4.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 1.5.4.2.1

Cancele o fator comum de $1 - 3 \cos (π x + y)$ .

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Etapa 1.5.4.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{y' (1 - 3 \cos (π x + y))}{1 - 3 \cos (π x + y)} = \frac{3 π \cos (π x + y)}{1 - 3 \cos (π x + y)}$

Etapa 1.5.4.2.1.2

Divida $y'$ por $1$ .

$y' = \frac{3 π \cos (π x + y)}{1 - 3 \cos (π x + y)}$

Etapa 1.6

Substitua $y'$ por $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{3 π \cos (π x + y)}{1 - 3 \cos (π x + y)}$

Etapa 1.7

Avalie em $x = 1$ e $y = 0$ .

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Etapa 1.7.1

Substitua a variável $x$ por $1$ na expressão.

$\frac{3 π \cos (π (1) + y)}{1 - 3 \cos (π (1) + y)}$

Etapa 1.7.2

Substitua a variável $y$ por $0$ na expressão.

$\frac{3 π \cos (π (1) + 0)}{1 - 3 \cos (π (1) + 0)}$

Etapa 1.7.3

Remova os parênteses.

$\frac{3 π \cos (π (1) + 0)}{1 - 3 \cos (π (1) + 0)}$

Etapa 1.7.4

Simplifique o numerador.

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Etapa 1.7.4.1

Multiplique $π$ por $1$ .

$\frac{3 π \cos (π + 0)}{1 - 3 \cos (π \cdot 1 + 0)}$

Etapa 1.7.4.2

Some $π$ e $0$ .

$\frac{3 π \cos (π)}{1 - 3 \cos (π \cdot 1 + 0)}$

Etapa 1.7.4.3

Aplique o ângulo de referência encontrando o ângulo com valores trigonométricos equivalentes no primeiro quadrante. Torne a expressão negativa, pois o cosseno é negativo no segundo quadrante.

$\frac{3 π (- \cos (0))}{1 - 3 \cos (π \cdot 1 + 0)}$

Etapa 1.7.4.4

O valor exato de $\cos (0)$ é $1$ .

$\frac{3 π (- 1 \cdot 1)}{1 - 3 \cos (π \cdot 1 + 0)}$

Etapa 1.7.4.5

Multiplique $- 1$ por $1$ .

$\frac{3 π \cdot - 1}{1 - 3 \cos (π \cdot 1 + 0)}$

Etapa 1.7.4.6

Multiplique $- 1$ por $3$ .

$\frac{- 3 π}{1 - 3 \cos (π \cdot 1 + 0)}$

Etapa 1.7.5

Simplifique o denominador.

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Etapa 1.7.5.1

Multiplique $π$ por $1$ .

$\frac{- 3 π}{1 - 3 \cos (π + 0)}$

Etapa 1.7.5.2

Some $π$ e $0$ .

$\frac{- 3 π}{1 - 3 \cos (π)}$

Etapa 1.7.5.3

Aplique o ângulo de referência encontrando o ângulo com valores trigonométricos equivalentes no primeiro quadrante. Torne a expressão negativa, pois o cosseno é negativo no segundo quadrante.

$\frac{- 3 π}{1 - 3 (- \cos (0))}$

Etapa 1.7.5.4

O valor exato de $\cos (0)$ é $1$ .

$\frac{- 3 π}{1 - 3 (- 1 \cdot 1)}$

Etapa 1.7.5.5

Multiplique $- 3 (- 1 \cdot 1)$ .

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Etapa 1.7.5.5.1

Multiplique $- 1$ por $1$ .

$\frac{- 3 π}{1 - 3 \cdot - 1}$

Etapa 1.7.5.5.2

Multiplique $- 3$ por $- 1$ .

$\frac{- 3 π}{1 + 3}$

Etapa 1.7.5.6

Some $1$ e $3$ .

$\frac{- 3 π}{4}$

Etapa 1.7.6

Mova o número negativo para a frente da fração.

$- \frac{3 π}{4}$

Etapa 2

A reta normal é perpendicular à reta tangente. Use o inverso negativo da inclinação da reta tangente para encontrar a inclinação da reta normal.

$\frac{4}{3 π}$

Etapa 3

Substitua os valores de inclinação e ponto na fórmula do ponto-declividade e resolva $y$ .

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Etapa 3.1

Use a inclinação $\frac{4}{3 π}$ e um ponto determinado $(1, 0)$ para substituir $x_{1}$ e $y_{1}$ na forma do ponto-declividade $y - y_{1} = m (x - x_{1})$ , que é derivada da equação de inclinação $m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$ .

$y - (0) = \frac{4}{3 π} \cdot (x - (1))$

Etapa 3.2

Simplifique a equação e mantenha-a na forma do ponto-declividade.

$y + 0 = \frac{4}{3 π} \cdot (x - 1)$

Etapa 3.3

Resolva $y$ .

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Etapa 3.3.1

Some $y$ e $0$ .

$y = \frac{4}{3 π} \cdot (x - 1)$

Etapa 3.3.2

Simplifique $\frac{4}{3 π} \cdot (x - 1)$ .

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Etapa 3.3.2.1

Aplique a propriedade distributiva.

$y = \frac{4}{3 π} x + \frac{4}{3 π} \cdot - 1$

Etapa 3.3.2.2

Combine $\frac{4}{3 π}$ e $x$ .

$y = \frac{4 x}{3 π} + \frac{4}{3 π} \cdot - 1$

Etapa 3.3.2.3

Multiplique $\frac{4}{3 π} \cdot - 1$ .

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Etapa 3.3.2.3.1

Combine $\frac{4}{3 π}$ e $- 1$ .

$y = \frac{4 x}{3 π} + \frac{4 \cdot - 1}{3 π}$

Etapa 3.3.2.3.2

Multiplique $4$ por $- 1$ .

$y = \frac{4 x}{3 π} + \frac{- 4}{3 π}$

Etapa 3.3.2.4

Mova o número negativo para a frente da fração.

$y = \frac{4 x}{3 π} - \frac{4}{3 π}$

Etapa 3.3.3

Reordene os termos.

$y = \frac{4}{3 π} x - \frac{4}{3 π}$

Etapa 4