Cálculo Exemplos

$6 x y + π \sin (y) = 83 π$ , $(4, \frac{7 π}{2})$

Etapa 1

Encontre a primeira derivada e avalie em $x = 4$ e $y = \frac{7 π}{2}$ para encontrar a inclinação da reta tangente.

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Etapa 1.1

Diferencie os dois lados da equação.

$\frac{d}{d x} (6 x y + π \sin (y)) = \frac{d}{d x} (83 π)$

Etapa 1.2

Diferencie o lado esquerdo da equação.

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Etapa 1.2.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $6 x y + π \sin (y)$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [6 x y] + \frac{d}{d x} [π \sin (y)]$ .

$\frac{d}{d x} [6 x y] + \frac{d}{d x} [π \sin (y)]$

Etapa 1.2.2

Avalie $\frac{d}{d x} [6 x y]$ .

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Etapa 1.2.2.1

Como $6$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $6 x y$ em relação a $x$ é $6 \frac{d}{d x} [x y]$ .

$6 \frac{d}{d x} [x y] + \frac{d}{d x} [π \sin (y)]$

Etapa 1.2.2.2

Diferencie usando a regra do produto, que determina que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ é $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , em que $f (x) = x$ e $g (x) = y$ .

$6 (x \frac{d}{d x} [y] + y \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [π \sin (y)]$

Etapa 1.2.2.3

Reescreva $\frac{d}{d x} [y]$ como $y'$ .

$6 (x y' + y \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [π \sin (y)]$

Etapa 1.2.2.4

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$6 (x y' + y \cdot 1) + \frac{d}{d x} [π \sin (y)]$

Etapa 1.2.2.5

Multiplique $y$ por $1$ .

$6 (x y' + y) + \frac{d}{d x} [π \sin (y)]$

Etapa 1.2.3

Avalie $\frac{d}{d x} [π \sin (y)]$ .

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Etapa 1.2.3.1

Como $π$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $π \sin (y)$ em relação a $x$ é $π \frac{d}{d x} [\sin (y)]$ .

$6 (x y' + y) + π \frac{d}{d x} [\sin (y)]$

Etapa 1.2.3.2

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = \sin (x)$ e $g (x) = y$ .

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Etapa 1.2.3.2.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u$ como $y$ .

$6 (x y' + y) + π (\frac{d}{d u} [\sin (u)] \frac{d}{d x} [y])$

Etapa 1.2.3.2.2

A derivada de $\sin (u)$ em relação a $u$ é $\cos (u)$ .

$6 (x y' + y) + π (\cos (u) \frac{d}{d x} [y])$

Etapa 1.2.3.2.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $y$ .

$6 (x y' + y) + π (\cos (y) \frac{d}{d x} [y])$

Etapa 1.2.3.3

Reescreva $\frac{d}{d x} [y]$ como $y'$ .

$6 (x y' + y) + π \cos (y) y'$

Etapa 1.2.4

Simplifique.

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Etapa 1.2.4.1

Aplique a propriedade distributiva.

$6 (x y') + 6 y + π \cos (y) y'$

Etapa 1.2.4.2

Reordene os termos.

$6 x y' + π \cos (y) y' + 6 y$

Etapa 1.3

Como $83 π$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $83 π$ em relação a $x$ é $0$ .

$0$

Etapa 1.4

Reformule a equação definindo o lado esquerdo igual ao lado direito.

$6 x y' + π \cos (y) y' + 6 y = 0$

Etapa 1.5

Resolva $y'$ .

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Etapa 1.5.1

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 1.5.1.1

Reordene os fatores em $6 x y' + π \cos (y) y' + 6 y$ .

$6 x y' + π y' \cos (y) + 6 y = 0$

Etapa 1.5.2

Subtraia $6 y$ dos dois lados da equação.

$6 x y' + π y' \cos (y) = - 6 y$

Etapa 1.5.3

Fatore $y'$ de $6 x y' + π y' \cos (y)$ .

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Etapa 1.5.3.1

Fatore $y'$ de $6 x y'$ .

$y' (6 x) + π y' \cos (y) = - 6 y$

Etapa 1.5.3.2

Fatore $y'$ de $π y' \cos (y)$ .

$y' (6 x) + y' (π \cos (y)) = - 6 y$

Etapa 1.5.3.3

Fatore $y'$ de $y' (6 x) + y' (π \cos (y))$ .

$y' (6 x + π \cos (y)) = - 6 y$

Etapa 1.5.4

Divida cada termo em $y' (6 x + π \cos (y)) = - 6 y$ por $6 x + π \cos (y)$ e simplifique.

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Etapa 1.5.4.1

Divida cada termo em $y' (6 x + π \cos (y)) = - 6 y$ por $6 x + π \cos (y)$ .

$\frac{y' (6 x + π \cos (y))}{6 x + π \cos (y)} = \frac{- 6 y}{6 x + π \cos (y)}$

Etapa 1.5.4.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 1.5.4.2.1

Cancele o fator comum de $6 x + π \cos (y)$ .

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Etapa 1.5.4.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{y' (6 x + π \cos (y))}{6 x + π \cos (y)} = \frac{- 6 y}{6 x + π \cos (y)}$

Etapa 1.5.4.2.1.2

Divida $y'$ por $1$ .

$y' = \frac{- 6 y}{6 x + π \cos (y)}$

Etapa 1.5.4.3

Simplifique o lado direito.

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Etapa 1.5.4.3.1

Mova o número negativo para a frente da fração.

$y' = - \frac{6 y}{6 x + π \cos (y)}$

Etapa 1.6

Substitua $y'$ por $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = - \frac{6 y}{6 x + π \cos (y)}$

Etapa 1.7

Avalie em $x = 4$ e $y = \frac{7 π}{2}$ .

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Etapa 1.7.1

Substitua a variável $x$ por $4$ na expressão.

$- \frac{6 y}{6 (4) + π \cos (y)}$

Etapa 1.7.2

Substitua a variável $y$ por $\frac{7 π}{2}$ na expressão.

$- \frac{6 (\frac{7 π}{2})}{6 (4) + π \cos (\frac{7 π}{2})}$

Etapa 1.7.3

Combine $6$ e $\frac{7 π}{2}$ .

$- \frac{\frac{6 (7 π)}{2}}{6 (4) + π \cos (\frac{7 π}{2})}$

Etapa 1.7.4

Simplifique o denominador.

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Etapa 1.7.4.1

Multiplique $6$ por $4$ .

$- \frac{\frac{6 (7 π)}{2}}{24 + π \cos (\frac{7 π}{2})}$

Etapa 1.7.4.2

Subtraia as rotações completas de $2 π$ até que o ângulo fique maior do que ou igual a $0$ e menor do que $2 π$ .

$- \frac{\frac{6 (7 π)}{2}}{24 + π \cos (\frac{3 π}{2})}$

Etapa 1.7.4.3

Aplique o ângulo de referência encontrando o ângulo com valores trigonométricos equivalentes no primeiro quadrante.

$- \frac{\frac{6 (7 π)}{2}}{24 + π \cos (\frac{π}{2})}$

Etapa 1.7.4.4

O valor exato de $\cos (\frac{π}{2})$ é $0$ .

$- \frac{\frac{6 (7 π)}{2}}{24 + π \cdot 0}$

Etapa 1.7.4.5

Multiplique $π$ por $0$ .

$- \frac{\frac{6 (7 π)}{2}}{24 + 0}$

Etapa 1.7.4.6

Some $24$ e $0$ .

$- \frac{\frac{6 (7 π)}{2}}{24}$

Etapa 1.7.5

Multiplique $6$ por $7$ .

$- \frac{\frac{42 π}{2}}{24}$

Etapa 1.7.6

Reduza a expressão cancelando os fatores comuns.

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Etapa 1.7.6.1

Reduza a expressão $\frac{42 π}{2}$ cancelando os fatores comuns.

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Etapa 1.7.6.1.1

Fatore $2$ de $42 π$ .

$- \frac{\frac{2 (21 π)}{2}}{24}$

Etapa 1.7.6.1.2

Fatore $2$ de $2$ .

$- \frac{\frac{2 (21 π)}{2 (1)}}{24}$

Etapa 1.7.6.1.3

Cancele o fator comum.

$- \frac{\frac{2 (21 π)}{2 \cdot 1}}{24}$

Etapa 1.7.6.1.4

Reescreva a expressão.

$- \frac{\frac{21 π}{1}}{24}$

Etapa 1.7.6.2

Divida $21 π$ por $1$ .

$- \frac{21 π}{24}$

Etapa 1.7.7

Cancele o fator comum de $21$ e $24$ .

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Etapa 1.7.7.1

Fatore $3$ de $21 π$ .

$- \frac{3 (7 π)}{24}$

Etapa 1.7.7.2

Cancele os fatores comuns.

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Etapa 1.7.7.2.1

Fatore $3$ de $24$ .

$- \frac{3 (7 π)}{3 (8)}$

Etapa 1.7.7.2.2

Cancele o fator comum.

$- \frac{3 (7 π)}{3 \cdot 8}$

Etapa 1.7.7.2.3

Reescreva a expressão.

$- \frac{7 π}{8}$

Etapa 2

A reta normal é perpendicular à reta tangente. Use o inverso negativo da inclinação da reta tangente para encontrar a inclinação da reta normal.

$\frac{8}{7 π}$

Etapa 3

Substitua os valores de inclinação e ponto na fórmula do ponto-declividade e resolva $y$ .

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Etapa 3.1

Use a inclinação $\frac{8}{7 π}$ e um ponto determinado $(4, \frac{7 π}{2})$ para substituir $x_{1}$ e $y_{1}$ na forma do ponto-declividade $y - y_{1} = m (x - x_{1})$ , que é derivada da equação de inclinação $m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$ .

$y - (\frac{7 π}{2}) = \frac{8}{7 π} \cdot (x - (4))$

Etapa 3.2

Simplifique a equação e mantenha-a na forma do ponto-declividade.

$y - \frac{7 π}{2} = \frac{8}{7 π} \cdot (x - 4)$

Etapa 3.3

Resolva $y$ .

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Etapa 3.3.1

Simplifique $\frac{8}{7 π} \cdot (x - 4)$ .

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Etapa 3.3.1.1

Reescreva.

$y - \frac{7 π}{2} = 0 + 0 + \frac{8}{7 π} \cdot (x - 4)$

Etapa 3.3.1.2

Simplifique somando os zeros.

$y - \frac{7 π}{2} = \frac{8}{7 π} \cdot (x - 4)$

Etapa 3.3.1.3

Aplique a propriedade distributiva.

$y - \frac{7 π}{2} = \frac{8}{7 π} x + \frac{8}{7 π} \cdot - 4$

Etapa 3.3.1.4

Combine $\frac{8}{7 π}$ e $x$ .

$y - \frac{7 π}{2} = \frac{8 x}{7 π} + \frac{8}{7 π} \cdot - 4$

Etapa 3.3.1.5

Multiplique $\frac{8}{7 π} \cdot - 4$ .

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Etapa 3.3.1.5.1

Combine $\frac{8}{7 π}$ e $- 4$ .

$y - \frac{7 π}{2} = \frac{8 x}{7 π} + \frac{8 \cdot - 4}{7 π}$

Etapa 3.3.1.5.2

Multiplique $8$ por $- 4$ .

$y - \frac{7 π}{2} = \frac{8 x}{7 π} + \frac{- 32}{7 π}$

Etapa 3.3.1.6

Mova o número negativo para a frente da fração.

$y - \frac{7 π}{2} = \frac{8 x}{7 π} - \frac{32}{7 π}$

Etapa 3.3.2

Some $\frac{7 π}{2}$ aos dois lados da equação.

$y = \frac{8 x}{7 π} - \frac{32}{7 π} + \frac{7 π}{2}$

Etapa 3.3.3

Escreva na forma $y = m x + b$ .

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Etapa 3.3.3.1

Para escrever $- \frac{32}{7 π}$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{2}{2}$ .

$y = \frac{8 x}{7 π} - \frac{32}{7 π} \cdot \frac{2}{2} + \frac{7 π}{2}$

Etapa 3.3.3.2

Para escrever $\frac{7 π}{2}$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{7 π}{7 π}$ .

$y = \frac{8 x}{7 π} - \frac{32}{7 π} \cdot \frac{2}{2} + \frac{7 π}{2} \cdot \frac{7 π}{7 π}$

Etapa 3.3.3.3

Escreva cada expressão com um denominador comum de $14 π$ , multiplicando cada um por um fator apropriado de $1$ .

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Etapa 3.3.3.3.1

Multiplique $\frac{32}{7 π}$ por $\frac{2}{2}$ .

$y = \frac{8 x}{7 π} - \frac{32 \cdot 2}{7 π \cdot 2} + \frac{7 π}{2} \cdot \frac{7 π}{7 π}$

Etapa 3.3.3.3.2

Multiplique $2$ por $7$ .

$y = \frac{8 x}{7 π} - \frac{32 \cdot 2}{14 π} + \frac{7 π}{2} \cdot \frac{7 π}{7 π}$

Etapa 3.3.3.3.3

Multiplique $\frac{7 π}{2}$ por $\frac{7 π}{7 π}$ .

$y = \frac{8 x}{7 π} - \frac{32 \cdot 2}{14 π} + \frac{7 π (7 π)}{2 (7 π)}$

Etapa 3.3.3.3.4

Multiplique $7$ por $2$ .

$y = \frac{8 x}{7 π} - \frac{32 \cdot 2}{14 π} + \frac{7 π (7 π)}{14 π}$

Etapa 3.3.3.4

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$y = \frac{8 x}{7 π} + \frac{- 32 \cdot 2 + 7 π (7 π)}{14 π}$

Etapa 3.3.3.5

Simplifique o numerador.

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Etapa 3.3.3.5.1

Multiplique $- 32$ por $2$ .

$y = \frac{8 x}{7 π} + \frac{- 64 + 7 π \cdot 7 π}{14 π}$

Etapa 3.3.3.5.2

Multiplique $7$ por $7$ .

$y = \frac{8 x}{7 π} + \frac{- 64 + 49 π π}{14 π}$

Etapa 3.3.3.5.3

Multiplique $49 π π$ .

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Etapa 3.3.3.5.3.1

Eleve $π$ à potência de $1$ .

$y = \frac{8 x}{7 π} + \frac{- 64 + 49 (π^{1} π)}{14 π}$

Etapa 3.3.3.5.3.2

Eleve $π$ à potência de $1$ .

$y = \frac{8 x}{7 π} + \frac{- 64 + 49 (π^{1} π^{1})}{14 π}$

Etapa 3.3.3.5.3.3

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$y = \frac{8 x}{7 π} + \frac{- 64 + 49 π^{1 + 1}}{14 π}$

Etapa 3.3.3.5.3.4

Some $1$ e $1$ .

$y = \frac{8 x}{7 π} + \frac{- 64 + 49 π^{2}}{14 π}$

Etapa 3.3.3.5.4

Reescreva $- 64 + 49 π^{2}$ em uma forma fatorada.

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Etapa 3.3.3.5.4.1

Reescreva $49 π^{2}$ como ${(7 π)}^{2}$ .

$y = \frac{8 x}{7 π} + \frac{- 64 + {(7 π)}^{2}}{14 π}$

Etapa 3.3.3.5.4.2

Reescreva $64$ como $8^{2}$ .

$y = \frac{8 x}{7 π} + \frac{- 8^{2} + {(7 π)}^{2}}{14 π}$

Etapa 3.3.3.5.4.3

Reordene $- 8^{2}$ e ${(7 π)}^{2}$ .

$y = \frac{8 x}{7 π} + \frac{{(7 π)}^{2} - 8^{2}}{14 π}$

Etapa 3.3.3.5.4.4

Como os dois termos são quadrados perfeitos, fatore usando a fórmula da diferença de quadrados, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ em que $a = 7 π$ e $b = 8$ .

$y = \frac{8 x}{7 π} + \frac{(7 π + 8) (7 π - 8)}{14 π}$

Etapa 3.3.3.6

Reordene os termos.

$y = \frac{8}{7 π} x + \frac{(7 π + 8) (7 π - 8)}{14 π}$

Etapa 4