Cálculo Exemplos

$f (x) = \frac{x}{\ln (x)}$

Etapa 1

Encontre a segunda derivada.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1

Encontre a primeira derivada.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.1

Diferencie usando a regra do quociente, que determina que $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ é $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ , em que $f (x) = x$ e $g (x) = \ln (x)$ .

$f' (x) = \frac{\ln (x) \frac{d}{d x} (x) - x \frac{d}{d x} \ln (x)}{\ln^{2} (x)}$

Etapa 1.1.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.2.1

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$f' (x) = \frac{\ln (x) \cdot 1 - x \frac{d}{d x} \ln (x)}{\ln^{2} (x)}$

Etapa 1.1.2.2

Multiplique $\ln (x)$ por $1$ .

$f' (x) = \frac{\ln (x) - x \frac{d}{d x} \ln (x)}{\ln^{2} (x)}$

Etapa 1.1.3

A derivada de $\ln (x)$ em relação a $x$ é $\frac{1}{x}$ .

$f' (x) = \frac{\ln (x) - x \frac{1}{x}}{\ln^{2} (x)}$

Etapa 1.1.4

Simplifique os termos.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.4.1

Combine $\frac{1}{x}$ e $x$ .

$f' (x) = \frac{\ln (x) - \frac{x}{x}}{\ln^{2} (x)}$

Etapa 1.1.4.2

Cancele o fator comum de $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.4.2.1

Cancele o fator comum.

$f' (x) = \frac{\ln (x) - \frac{x}{x}}{\ln^{2} (x)}$

Etapa 1.1.4.2.2

Reescreva a expressão.

$f' (x) = \frac{\ln (x) - 1 \cdot 1}{\ln^{2} (x)}$

Etapa 1.1.4.3

Multiplique $- 1$ por $1$ .

$f' (x) = \frac{\ln (x) - 1}{\ln^{2} (x)}$

Etapa 1.2

Encontre a segunda derivada.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.1

$f'' (x) = \frac{\ln^{2} (x) \frac{d}{d x} (\ln (x) - 1) - (\ln (x) - 1) \frac{d}{d x} \ln^{2} (x)}{{(\ln^{2} (x))}^{2}}$

Etapa 1.2.2

Diferencie usando a regra da soma.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.2.1

Multiplique os expoentes em ${(\ln^{2} (x))}^{2}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.2.1.1

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f'' (x) = \frac{\ln^{2} (x) \frac{d}{d x} (\ln (x) - 1) - (\ln (x) - 1) \frac{d}{d x} \ln^{2} (x)}{{(\ln (x))}^{2 \cdot 2}}$

Etapa 1.2.2.1.2

Multiplique $2$ por $2$ .

$f'' (x) = \frac{\ln^{2} (x) \frac{d}{d x} (\ln (x) - 1) - (\ln (x) - 1) \frac{d}{d x} \ln^{2} (x)}{\ln^{4} (x)}$

Etapa 1.2.2.2

De acordo com a regra da soma, a derivada de $\ln (x) - 1$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [\ln (x)] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$f'' (x) = \frac{\ln^{2} (x) (\frac{d}{d x} (\ln (x)) + \frac{d}{d x} (- 1)) - (\ln (x) - 1) \frac{d}{d x} \ln^{2} (x)}{\ln^{4} (x)}$

Etapa 1.2.3

A derivada de $\ln (x)$ em relação a $x$ é $\frac{1}{x}$ .

$f'' (x) = \frac{\ln^{2} (x) (\frac{1}{x} + \frac{d}{d x} (- 1)) - (\ln (x) - 1) \frac{d}{d x} \ln^{2} (x)}{\ln^{4} (x)}$

Etapa 1.2.4

Diferencie usando a regra da constante.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.4.1

Como $- 1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 1$ em relação a $x$ é $0$ .

$f'' (x) = \frac{\ln^{2} (x) (\frac{1}{x} + 0) - (\ln (x) - 1) \frac{d}{d x} \ln^{2} (x)}{\ln^{4} (x)}$

Etapa 1.2.4.2

Combine frações.

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Etapa 1.2.4.2.1

Some $\frac{1}{x}$ e $0$ .

$f'' (x) = \frac{\ln^{2} (x) (\frac{1}{x}) - (\ln (x) - 1) \frac{d}{d x} \ln^{2} (x)}{\ln^{4} (x)}$

Etapa 1.2.4.2.2

Combine $\ln^{2} (x)$ e $\frac{1}{x}$ .

$f'' (x) = \frac{\frac{\ln^{2} (x)}{x} - (\ln (x) - 1) \frac{d}{d x} \ln^{2} (x)}{\ln^{4} (x)}$

Etapa 1.2.5

Multiplique $\frac{\frac{\ln^{2} (x)}{x} - (\ln (x) - 1) \frac{d}{d x} [\ln^{2} (x)]}{\ln^{4} (x)}$ por $\frac{x}{x}$ .

$f'' (x) = \frac{x}{x} \cdot \frac{\frac{\ln^{2} (x)}{x} - (\ln (x) - 1) \frac{d}{d x} \ln^{2} (x)}{\ln^{4} (x)}$

Etapa 1.2.6

Simplifique os termos.

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Etapa 1.2.6.1

Combine.

$f'' (x) = \frac{x (\frac{\ln^{2} (x)}{x} - (\ln (x) - 1) \frac{d}{d x} \ln^{2} (x))}{x \ln^{4} (x)}$

Etapa 1.2.6.2

Aplique a propriedade distributiva.

$f'' (x) = \frac{x (\frac{\ln^{2} (x)}{x}) + x (- (\ln (x) - 1) \frac{d}{d x} \ln^{2} (x))}{x \ln^{4} (x)}$

Etapa 1.2.6.3

Cancele o fator comum de $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.6.3.1

Cancele o fator comum.

$f'' (x) = \frac{x (\frac{\ln^{2} (x)}{x}) + x (- (\ln (x) - 1) \frac{d}{d x} \ln^{2} (x))}{x \ln^{4} (x)}$

Etapa 1.2.6.3.2

Reescreva a expressão.

$f'' (x) = \frac{\ln^{2} (x) + x (- (\ln (x) - 1) \frac{d}{d x} \ln^{2} (x))}{x \ln^{4} (x)}$

Etapa 1.2.7

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = x^{2}$ e $g (x) = \ln (x)$ .

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Etapa 1.2.7.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u$ como $\ln (x)$ .

$f'' (x) = \frac{\ln^{2} (x) + x (- (\ln (x) - 1) (\frac{d}{d u} (u^{2}) \frac{d}{d x} (\ln (x))))}{x \ln^{4} (x)}$

Etapa 1.2.7.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ é $n u^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$f'' (x) = \frac{\ln^{2} (x) + x (- (\ln (x) - 1) (2 u \frac{d}{d x} (\ln (x))))}{x \ln^{4} (x)}$

Etapa 1.2.7.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $\ln (x)$ .

$f'' (x) = \frac{\ln^{2} (x) + x (- (\ln (x) - 1) (2 \ln (x) \frac{d}{d x} (\ln (x))))}{x \ln^{4} (x)}$

Etapa 1.2.8

Multiplique $2$ por $- 1$ .

$f'' (x) = \frac{\ln^{2} (x) + x (- 2 (\ln (x) - 1) (\ln (x) \frac{d}{d x} (\ln (x))))}{x \ln^{4} (x)}$

Etapa 1.2.9

A derivada de $\ln (x)$ em relação a $x$ é $\frac{1}{x}$ .

$f'' (x) = \frac{\ln^{2} (x) + x (- 2 (\ln (x) - 1) (\ln (x) (\frac{1}{x})))}{x \ln^{4} (x)}$

Etapa 1.2.10

Simplifique os termos.

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Etapa 1.2.10.1

Combine $\ln (x)$ e $\frac{1}{x}$ .

$f'' (x) = \frac{\ln^{2} (x) + x (- 2 (\ln (x) - 1) \frac{\ln (x)}{x})}{x \ln^{4} (x)}$

Etapa 1.2.10.2

Combine $\frac{\ln (x)}{x}$ e $- 2$ .

$f'' (x) = \frac{\ln^{2} (x) + x (\frac{\ln (x) \cdot - 2}{x} \cdot (\ln (x) - 1))}{x \ln^{4} (x)}$

Etapa 1.2.10.3

Simplifique a expressão.

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Etapa 1.2.10.3.1

Mova $- 2$ para a esquerda de $\ln (x)$ .

$f'' (x) = \frac{\ln^{2} (x) + x (\frac{- 2 \cdot \ln (x)}{x} \cdot (\ln (x) - 1))}{x \ln^{4} (x)}$

Etapa 1.2.10.3.2

Mova o número negativo para a frente da fração.

$f'' (x) = \frac{\ln^{2} (x) + x (- \frac{(2) \ln (x)}{x} \cdot (\ln (x) - 1))}{x \ln^{4} (x)}$

Etapa 1.2.10.4

Combine $x$ e $\frac{2 \ln (x)}{x}$ .

$f'' (x) = \frac{\ln^{2} (x) - \frac{x (2 \ln (x))}{x} \cdot (\ln (x) - 1)}{x \ln^{4} (x)}$

Etapa 1.2.10.5

Cancele o fator comum de $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.10.5.1

Cancele o fator comum.

$f'' (x) = \frac{\ln^{2} (x) - \frac{x (2 \ln (x))}{x} \cdot (\ln (x) - 1)}{x \ln^{4} (x)}$

Etapa 1.2.10.5.2

Divida $2 \ln (x)$ por $1$ .

$f'' (x) = \frac{\ln^{2} (x) - 2 \ln (x) (\ln (x) - 1)}{x \ln^{4} (x)}$

Etapa 1.2.10.6

Multiplique $2$ por $- 1$ .

$f'' (x) = \frac{\ln^{2} (x) - 2 \ln (x) (\ln (x) - 1)}{x \ln^{4} (x)}$

Etapa 1.2.11

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.11.1

Aplique a propriedade distributiva.

$f'' (x) = \frac{\ln^{2} (x) - 2 \ln (x) \ln (x) - 2 \ln (x) \cdot - 1}{x \ln^{4} (x)}$

Etapa 1.2.11.2

Simplifique cada termo.

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Etapa 1.2.11.2.1

Simplifique $- 2 \ln (x)$ movendo $2$ para dentro do logaritmo.

$f'' (x) = \frac{\ln^{2} (x) - \ln (x^{2}) \ln (x) - 2 \ln (x) \cdot - 1}{x \ln^{4} (x)}$

Etapa 1.2.11.2.2

Simplifique $- 2 \ln (x)$ movendo $2$ para dentro do logaritmo.

$f'' (x) = \frac{\ln^{2} (x) - \ln (x^{2}) \ln (x) - \ln (x^{2}) \cdot - 1}{x \ln^{4} (x)}$

Etapa 1.2.11.2.3

Multiplique $- \ln (x^{2}) \cdot - 1$ .

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Etapa 1.2.11.2.3.1

Multiplique $- 1$ por $- 1$ .

$f'' (x) = \frac{\ln^{2} (x) - \ln (x^{2}) \ln (x) + 1 \ln (x^{2})}{x \ln^{4} (x)}$

Etapa 1.2.11.2.3.2

Multiplique $\ln (x^{2})$ por $1$ .

$f'' (x) = \frac{\ln^{2} (x) - \ln (x^{2}) \ln (x) + \ln (x^{2})}{x \ln^{4} (x)}$

Etapa 1.2.11.3

Reordene os termos.

$f'' (x) = \frac{\ln^{2} (x) - \ln (x) \ln (x^{2}) + \ln (x^{2})}{x \ln^{4} (x)}$

Etapa 1.3

A segunda derivada de $f (x)$ com relação a $x$ é $\frac{\ln^{2} (x) - \ln (x) \ln (x^{2}) + \ln (x^{2})}{x \ln^{4} (x)}$ .

$\frac{\ln^{2} (x) - \ln (x) \ln (x^{2}) + \ln (x^{2})}{x \ln^{4} (x)}$

Etapa 2

Defina a segunda derivada como igual a $0$ e resolva a equação $\frac{\ln^{2} (x) - \ln (x) \ln (x^{2}) + \ln (x^{2})}{x \ln^{4} (x)} = 0$ .

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Etapa 2.1

Defina a segunda derivada como igual a $0$ .

$\frac{\ln^{2} (x) - \ln (x) \ln (x^{2}) + \ln (x^{2})}{x \ln^{4} (x)} = 0$

Etapa 2.2

Represente cada lado da equação em um gráfico. A solução é o valor x do ponto de intersecção.

$x \approx 7.38905639$

Etapa 3

Encontre os pontos em que a segunda derivada é $0$ .

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Etapa 3.1

Substitua $7.38905639$ em $f (x) = \frac{x}{\ln (x)}$ para encontrar o valor de $y$ .

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Etapa 3.1.1

Substitua a variável $x$ por $7.38905639$ na expressão.

$f (7.38905639) = \frac{7.38905639}{\ln (7.38905639)}$

Etapa 3.1.2

Simplifique o resultado.

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Etapa 3.1.2.1

Substitua $e$ por uma aproximação.

$f (7.38905639) = \frac{7.38905639}{\log_{2.71828182} (7.38905639)}$

Etapa 3.1.2.2

A base do logaritmo $2.71828182$ de $7.38905639$ é de aproximadamente $2.00000004$ .

$f (7.38905639) = \frac{7.38905639}{2.00000004}$

Etapa 3.1.2.3

Divida $7.38905639$ por $2.00000004$ .

$f (7.38905639) = 3.69452812$

Etapa 3.1.2.4

A resposta final é $3.69452812$ .

$3.69452812$

Etapa 3.2

O ponto encontrado ao substituir $7.38905639$ em $f (x) = \frac{x}{\ln (x)}$ é $(7.38905639, 3.69452812)$ . Ele pode ser um ponto de inflexão.

$(7.38905639, 3.69452812)$

Etapa 4

Divida $(- \infty, \infty)$ em intervalos em torno dos pontos que poderiam ser pontos de inflexão.

$(- \infty, 7.38905639) \cup (7.38905639, \infty)$

Etapa 5

Substitua um valor do intervalo $(- \infty, 7.38905639)$ na segunda derivada para determinar se está aumentando ou diminuindo.

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Etapa 5.1

Substitua a variável $x$ por $7.28905639$ na expressão.

$f'' (7.28905639) = \frac{\ln^{2} (7.28905639) - \ln (7.28905639) \ln ({(7.28905639)}^{2}) + \ln ({(7.28905639)}^{2})}{(7.28905639) \ln^{4} (7.28905639)}$

Etapa 5.2

Simplifique o resultado.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.2.1

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.2.1.1

Eleve $7.28905639$ à potência de $2$ .

$f'' (7.28905639) = \frac{\ln^{2} (7.28905639) - \ln (7.28905639) \ln (53.13034315) + \ln ({7.28905639}^{2})}{7.28905639 \ln^{4} (7.28905639)}$

Etapa 5.2.1.2

Eleve $7.28905639$ à potência de $2$ .

$f'' (7.28905639) = \frac{\ln^{2} (7.28905639) - \ln (7.28905639) \ln (53.13034315) + \ln (53.13034315)}{7.28905639 \ln^{4} (7.28905639)}$

Etapa 5.2.2

Multiplique $7.28905639$ por $\ln^{4} (7.28905639)$ .

$f'' (7.28905639) = \frac{\ln^{2} (7.28905639) - \ln (7.28905639) \ln (53.13034315) + \ln (53.13034315)}{113.47899623}$

Etapa 5.2.3

Substitua $e$ por uma aproximação.

$f'' (7.28905639) = \frac{{\log_{2.71828182}}^{2} (7.28905639) - \ln (7.28905639) \ln (53.13034315) + \ln (53.13034315)}{113.47899623}$

Etapa 5.2.4

A base do logaritmo $2.71828182$ de $7.28905639$ é de aproximadamente $1.98637409$ .

$f'' (7.28905639) = \frac{{1.98637409}^{2} - \ln (7.28905639) \ln (53.13034315) + \ln (53.13034315)}{113.47899623}$

Etapa 5.2.5

Eleve $1.98637409$ à potência de $2$ .

$f'' (7.28905639) = \frac{3.94568206 - \ln (7.28905639) \ln (53.13034315) + \ln (53.13034315)}{113.47899623}$

Etapa 5.2.6

Substitua $e$ por uma aproximação.

$f'' (7.28905639) = \frac{3.94568206 - \log_{2.71828182} (7.28905639) \ln (53.13034315) + \ln (53.13034315)}{113.47899623}$

Etapa 5.2.7

A base do logaritmo $2.71828182$ de $7.28905639$ é de aproximadamente $1.98637409$ .

$f'' (7.28905639) = \frac{3.94568206 - 1 \cdot (1.98637409 \ln (53.13034315)) + \ln (53.13034315)}{113.47899623}$

Etapa 5.2.8

Multiplique $- 1$ por $1.98637409$ .

$f'' (7.28905639) = \frac{3.94568206 - 1.98637409 \ln (53.13034315) + \ln (53.13034315)}{113.47899623}$

Etapa 5.2.9

Substitua $e$ por uma aproximação.

$f'' (7.28905639) = \frac{3.94568206 - 1.98637409 \log_{2.71828182} (53.13034315) + \ln (53.13034315)}{113.47899623}$

Etapa 5.2.10

A base do logaritmo $2.71828182$ de $53.13034315$ é de aproximadamente $3.97274819$ .

$f'' (7.28905639) = \frac{3.94568206 - 1.98637409 \cdot 3.97274819 + \ln (53.13034315)}{113.47899623}$

Etapa 5.2.11

Multiplique $- 1.98637409$ por $3.97274819$ .

$f'' (7.28905639) = \frac{3.94568206 - 7.89136412 + \ln (53.13034315)}{113.47899623}$

Etapa 5.2.12

Subtraia $7.89136412$ de $3.94568206$ .

$f'' (7.28905639) = \frac{- 3.94568206 + \ln (53.13034315)}{113.47899623}$

Etapa 5.2.13

Substitua $e$ por uma aproximação.

$f'' (7.28905639) = \frac{- 3.94568206 + \log_{2.71828182} (53.13034315)}{113.47899623}$

Etapa 5.2.14

A base do logaritmo $2.71828182$ de $53.13034315$ é de aproximadamente $3.97274819$ .

$f'' (7.28905639) = \frac{- 3.94568206 + 3.97274819}{113.47899623}$

Etapa 5.2.15

Some $- 3.94568206$ e $3.97274819$ .

$f'' (7.28905639) = \frac{0.02706613}{113.47899623}$

Etapa 5.2.16

Divida $0.02706613$ por $113.47899623$ .

$f'' (7.28905639) = 0.00023851$

Etapa 5.2.17

A resposta final é $0.00023851$ .

$0.00023851$

Etapa 5.3

Em $7.28905639$ , a segunda derivada é $0.00023851$ . Por ser positiva, a segunda derivada aumenta no intervalo $(- \infty, 7.38905639)$ .

Acréscimo em $(- \infty, 7.38905639)$ , pois $f'' (x) > 0$

Etapa 6

Substitua um valor do intervalo $(7.38905639, \infty)$ na segunda derivada para determinar se está aumentando ou diminuindo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.1

Substitua a variável $x$ por $7.48905639$ na expressão.

$f'' (7.48905639) = \frac{\ln^{2} (7.48905639) - \ln (7.48905639) \ln ({(7.48905639)}^{2}) + \ln ({(7.48905639)}^{2})}{(7.48905639) \ln^{4} (7.48905639)}$

Etapa 6.2

Simplifique o resultado.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.2.1

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.2.1.1

Eleve $7.48905639$ à potência de $2$ .

$f'' (7.48905639) = \frac{\ln^{2} (7.48905639) - \ln (7.48905639) \ln (56.0859657) + \ln ({7.48905639}^{2})}{7.48905639 \ln^{4} (7.48905639)}$

Etapa 6.2.1.2

Eleve $7.48905639$ à potência de $2$ .

$f'' (7.48905639) = \frac{\ln^{2} (7.48905639) - \ln (7.48905639) \ln (56.0859657) + \ln (56.0859657)}{7.48905639 \ln^{4} (7.48905639)}$

Etapa 6.2.2

Multiplique $7.48905639$ por $\ln^{4} (7.48905639)$ .

$f'' (7.48905639) = \frac{\ln^{2} (7.48905639) - \ln (7.48905639) \ln (56.0859657) + \ln (56.0859657)}{123.07909456}$

Etapa 6.2.3

Substitua $e$ por uma aproximação.

$f'' (7.48905639) = \frac{{\log_{2.71828182}}^{2} (7.48905639) - \ln (7.48905639) \ln (56.0859657) + \ln (56.0859657)}{123.07909456}$

Etapa 6.2.4

A base do logaritmo $2.71828182$ de $7.48905639$ é de aproximadamente $2.0134428$ .

$f'' (7.48905639) = \frac{{2.0134428}^{2} - \ln (7.48905639) \ln (56.0859657) + \ln (56.0859657)}{123.07909456}$

Etapa 6.2.5

Eleve $2.0134428$ à potência de $2$ .

$f'' (7.48905639) = \frac{4.05395194 - \ln (7.48905639) \ln (56.0859657) + \ln (56.0859657)}{123.07909456}$

Etapa 6.2.6

Substitua $e$ por uma aproximação.

$f'' (7.48905639) = \frac{4.05395194 - \log_{2.71828182} (7.48905639) \ln (56.0859657) + \ln (56.0859657)}{123.07909456}$

Etapa 6.2.7

A base do logaritmo $2.71828182$ de $7.48905639$ é de aproximadamente $2.0134428$ .

$f'' (7.48905639) = \frac{4.05395194 - 1 \cdot (2.0134428 \ln (56.0859657)) + \ln (56.0859657)}{123.07909456}$

Etapa 6.2.8

Multiplique $- 1$ por $2.0134428$ .

$f'' (7.48905639) = \frac{4.05395194 - 2.0134428 \ln (56.0859657) + \ln (56.0859657)}{123.07909456}$

Etapa 6.2.9

Substitua $e$ por uma aproximação.

$f'' (7.48905639) = \frac{4.05395194 - 2.0134428 \log_{2.71828182} (56.0859657) + \ln (56.0859657)}{123.07909456}$

Etapa 6.2.10

A base do logaritmo $2.71828182$ de $56.0859657$ é de aproximadamente $4.02688561$ .

$f'' (7.48905639) = \frac{4.05395194 - 2.0134428 \cdot 4.02688561 + \ln (56.0859657)}{123.07909456}$

Etapa 6.2.11

Multiplique $- 2.0134428$ por $4.02688561$ .

$f'' (7.48905639) = \frac{4.05395194 - 8.10790388 + \ln (56.0859657)}{123.07909456}$

Etapa 6.2.12

Subtraia $8.10790388$ de $4.05395194$ .

$f'' (7.48905639) = \frac{- 4.05395194 + \ln (56.0859657)}{123.07909456}$

Etapa 6.2.13

Substitua $e$ por uma aproximação.

$f'' (7.48905639) = \frac{- 4.05395194 + \log_{2.71828182} (56.0859657)}{123.07909456}$

Etapa 6.2.14

A base do logaritmo $2.71828182$ de $56.0859657$ é de aproximadamente $4.02688561$ .

$f'' (7.48905639) = \frac{- 4.05395194 + 4.02688561}{123.07909456}$

Etapa 6.2.15

Some $- 4.05395194$ e $4.02688561$ .

$f'' (7.48905639) = \frac{- 0.02706632}{123.07909456}$

Etapa 6.2.16

Divida $- 0.02706632$ por $123.07909456$ .

$f'' (7.48905639) = - 0.00021991$

Etapa 6.2.17

A resposta final é $- 0.00021991$ .

$- 0.00021991$

Etapa 6.3

Em $7.48905639$ , a segunda derivada é $- 0.00021991$ . Por ser negativa, a segunda derivada diminui no intervalo $(7.38905639, \infty)$ .

Decréscimo em $(7.38905639, \infty)$ , pois $f'' (x) < 0$

Etapa 7

O ponto de inflexão é um ponto em uma curva em que a concavidade muda do sinal de adição para o de subtração ou vice-versa. Neste caso, o ponto de inflexão é $(7.38905639, 3.69452812)$ .

$(7.38905639, 3.69452812)$

Etapa 8