Cálculo Exemplos

$f (x) = \frac{1}{3} e^{- x}$

Etapa 1

Encontre a segunda derivada.

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Etapa 1.1

Encontre a primeira derivada.

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Etapa 1.1.1

Como $\frac{1}{3}$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $\frac{1}{3} \cdot e^{- x}$ em relação a $x$ é $\frac{1}{3} \frac{d}{d x} [e^{- x}]$ .

$\frac{1}{3} \frac{d}{d x} [e^{- x}]$

Etapa 1.1.2

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = e^{x}$ e $g (x) = - x$ .

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Etapa 1.1.2.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u$ como $- x$ .

$\frac{1}{3} (\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [- x])$

Etapa 1.1.2.2

Diferencie usando a regra exponencial, que determina que $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ é $a^{u} \ln (a)$ , em que $a$ = $e$ .

$\frac{1}{3} (e^{u} \frac{d}{d x} [- x])$

Etapa 1.1.2.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $- x$ .

$\frac{1}{3} (e^{- x} \frac{d}{d x} [- x])$

Etapa 1.1.3

Diferencie.

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Etapa 1.1.3.1

Combine $e^{- x}$ e $\frac{1}{3}$ .

$\frac{e^{- x}}{3} \frac{d}{d x} [- x]$

Etapa 1.1.3.2

Como $- 1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- x$ em relação a $x$ é $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{e^{- x}}{3} (- \frac{d}{d x} [x])$

Etapa 1.1.3.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$\frac{e^{- x}}{3} (- 1 \cdot 1)$

Etapa 1.1.3.4

Combine frações.

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Etapa 1.1.3.4.1

Multiplique $- 1$ por $1$ .

$\frac{e^{- x}}{3} \cdot - 1$

Etapa 1.1.3.4.2

Combine $\frac{e^{- x}}{3}$ e $- 1$ .

$\frac{e^{- x} \cdot - 1}{3}$

Etapa 1.1.3.4.3

Simplifique a expressão.

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Etapa 1.1.3.4.3.1

Mova $- 1$ para a esquerda de $e^{- x}$ .

$\frac{- 1 \cdot e^{- x}}{3}$

Etapa 1.1.3.4.3.2

Reescreva $- 1 e^{- x}$ como $- e^{- x}$ .

$\frac{- e^{- x}}{3}$

Etapa 1.1.3.4.3.3

Mova o número negativo para a frente da fração.

$f' (x) = - \frac{e^{- x}}{3}$

Etapa 1.2

Encontre a segunda derivada.

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Etapa 1.2.1

Como $- \frac{1}{3}$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- \frac{e^{- x}}{3}$ em relação a $x$ é $- \frac{1}{3} \frac{d}{d x} [e^{- x}]$ .

$- \frac{1}{3} \frac{d}{d x} [e^{- x}]$

Etapa 1.2.2

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = e^{x}$ e $g (x) = - x$ .

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Etapa 1.2.2.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u$ como $- x$ .

$- \frac{1}{3} (\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [- x])$

Etapa 1.2.2.2

Diferencie usando a regra exponencial, que determina que $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ é $a^{u} \ln (a)$ , em que $a$ = $e$ .

$- \frac{1}{3} (e^{u} \frac{d}{d x} [- x])$

Etapa 1.2.2.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $- x$ .

$- \frac{1}{3} (e^{- x} \frac{d}{d x} [- x])$

Etapa 1.2.3

Diferencie.

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Etapa 1.2.3.1

Combine $e^{- x}$ e $\frac{1}{3}$ .

$- \frac{e^{- x}}{3} \frac{d}{d x} [- x]$

Etapa 1.2.3.2

Como $- 1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- x$ em relação a $x$ é $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$- \frac{e^{- x}}{3} (- \frac{d}{d x} [x])$

Etapa 1.2.3.3

Multiplique.

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Etapa 1.2.3.3.1

Multiplique $- 1$ por $- 1$ .

$1 \frac{e^{- x}}{3} \frac{d}{d x} [x]$

Etapa 1.2.3.3.2

Multiplique $\frac{e^{- x}}{3}$ por $1$ .

$\frac{e^{- x}}{3} \frac{d}{d x} [x]$

Etapa 1.2.3.4

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$\frac{e^{- x}}{3} \cdot 1$

Etapa 1.2.3.5

Multiplique $\frac{e^{- x}}{3}$ por $1$ .

$f'' (x) = \frac{e^{- x}}{3}$

Etapa 1.3

A segunda derivada de $f (x)$ com relação a $x$ é $\frac{e^{- x}}{3}$ .

$\frac{e^{- x}}{3}$

Etapa 2

Defina a segunda derivada como igual a $0$ e resolva a equação $\frac{e^{- x}}{3} = 0$ .

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Etapa 2.1

Defina a segunda derivada como igual a $0$ .

$\frac{e^{- x}}{3} = 0$

Etapa 2.2

Defina o numerador como igual a zero.

$e^{- x} = 0$

Etapa 2.3

Resolva a equação para $x$ .

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Etapa 2.3.1

Obtenha o logaritmo natural dos dois lados da equação para remover a variável do expoente.

$\ln (e^{- x}) = \ln (0)$

Etapa 2.3.2

Não é possível resolver a equação, porque $\ln (0)$ é indefinida.

Indefinido

Etapa 2.3.3

Não há uma solução para $e^{- x} = 0$

Nenhuma solução

Etapa 3

Nenhum valor encontrado que possa tornar a segunda derivada igual a $0$ .

Nenhum ponto de inflexão