Cálculo Exemplos

$f (x) = x^{2} {(4 - 2 x)}^{2}$

Etapa 1

Encontre a segunda derivada.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1

Encontre a primeira derivada.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.1

Reescreva ${(4 - 2 x)}^{2}$ como $(4 - 2 x) (4 - 2 x)$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2} ((4 - 2 x) (4 - 2 x))]$

Etapa 1.1.2

Expanda $(4 - 2 x) (4 - 2 x)$ usando o método FOIL.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.2.1

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{d}{d x} [x^{2} (4 (4 - 2 x) - 2 x (4 - 2 x))]$

Etapa 1.1.2.2

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{d}{d x} [x^{2} (4 \cdot 4 + 4 (- 2 x) - 2 x (4 - 2 x))]$

Etapa 1.1.2.3

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{d}{d x} [x^{2} (4 \cdot 4 + 4 (- 2 x) - 2 x \cdot 4 - 2 x (- 2 x))]$

Etapa 1.1.3

Simplifique e combine termos semelhantes.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.3.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.3.1.1

Multiplique $4$ por $4$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2} (16 + 4 (- 2 x) - 2 x \cdot 4 - 2 x (- 2 x))]$

Etapa 1.1.3.1.2

Multiplique $- 2$ por $4$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2} (16 - 8 x - 2 x \cdot 4 - 2 x (- 2 x))]$

Etapa 1.1.3.1.3

Multiplique $4$ por $- 2$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2} (16 - 8 x - 8 x - 2 x (- 2 x))]$

Etapa 1.1.3.1.4

Reescreva usando a propriedade comutativa da multiplicação.

$\frac{d}{d x} [x^{2} (16 - 8 x - 8 x - 2 \cdot - 2 x \cdot x)]$

Etapa 1.1.3.1.5

Multiplique $x$ por $x$ somando os expoentes.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.3.1.5.1

Mova $x$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2} (16 - 8 x - 8 x - 2 \cdot - 2 (x \cdot x))]$

Etapa 1.1.3.1.5.2

Multiplique $x$ por $x$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2} (16 - 8 x - 8 x - 2 \cdot - 2 x^{2})]$

Etapa 1.1.3.1.6

Multiplique $- 2$ por $- 2$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2} (16 - 8 x - 8 x + 4 x^{2})]$

Etapa 1.1.3.2

Subtraia $8 x$ de $- 8 x$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2} (16 - 16 x + 4 x^{2})]$

Etapa 1.1.4

Diferencie usando a regra do produto, que determina que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ é $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , em que $f (x) = x^{2}$ e $g (x) = 16 - 16 x + 4 x^{2}$ .

$x^{2} \frac{d}{d x} [16 - 16 x + 4 x^{2}] + (16 - 16 x + 4 x^{2}) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Etapa 1.1.5

Diferencie.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.5.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $16 - 16 x + 4 x^{2}$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [16] + \frac{d}{d x} [- 16 x] + \frac{d}{d x} [4 x^{2}]$ .

$x^{2} (\frac{d}{d x} [16] + \frac{d}{d x} [- 16 x] + \frac{d}{d x} [4 x^{2}]) + (16 - 16 x + 4 x^{2}) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Etapa 1.1.5.2

Como $16$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $16$ em relação a $x$ é $0$ .

$x^{2} (0 + \frac{d}{d x} [- 16 x] + \frac{d}{d x} [4 x^{2}]) + (16 - 16 x + 4 x^{2}) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Etapa 1.1.5.3

Some $0$ e $\frac{d}{d x} [- 16 x]$ .

$x^{2} (\frac{d}{d x} [- 16 x] + \frac{d}{d x} [4 x^{2}]) + (16 - 16 x + 4 x^{2}) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Etapa 1.1.5.4

Como $- 16$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 16 x$ em relação a $x$ é $- 16 \frac{d}{d x} [x]$ .

$x^{2} (- 16 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [4 x^{2}]) + (16 - 16 x + 4 x^{2}) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Etapa 1.1.5.5

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$x^{2} (- 16 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [4 x^{2}]) + (16 - 16 x + 4 x^{2}) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Etapa 1.1.5.6

Multiplique $- 16$ por $1$ .

$x^{2} (- 16 + \frac{d}{d x} [4 x^{2}]) + (16 - 16 x + 4 x^{2}) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Etapa 1.1.5.7

Como $4$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $4 x^{2}$ em relação a $x$ é $4 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$x^{2} (- 16 + 4 \frac{d}{d x} [x^{2}]) + (16 - 16 x + 4 x^{2}) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Etapa 1.1.5.8

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$x^{2} (- 16 + 4 (2 x)) + (16 - 16 x + 4 x^{2}) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Etapa 1.1.5.9

Multiplique $2$ por $4$ .

$x^{2} (- 16 + 8 x) + (16 - 16 x + 4 x^{2}) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Etapa 1.1.5.10

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$x^{2} (- 16 + 8 x) + (16 - 16 x + 4 x^{2}) (2 x)$

Etapa 1.1.5.11

Mova $2$ para a esquerda de $16 - 16 x + 4 x^{2}$ .

$x^{2} (- 16 + 8 x) + 2 \cdot (16 - 16 x + 4 x^{2}) x$

Etapa 1.1.6

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.6.1

Aplique a propriedade distributiva.

$x^{2} \cdot - 16 + x^{2} (8 x) + 2 (16 - 16 x + 4 x^{2}) x$

Etapa 1.1.6.2

Aplique a propriedade distributiva.

$x^{2} \cdot - 16 + x^{2} (8 x) + (2 \cdot 16 + 2 (- 16 x) + 2 (4 x^{2})) x$

Etapa 1.1.6.3

Aplique a propriedade distributiva.

$x^{2} \cdot - 16 + x^{2} (8 x) + 2 \cdot 16 x + 2 (- 16 x) x + 2 (4 x^{2}) x$

Etapa 1.1.6.4

Combine os termos.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.6.4.1

Mova $- 16$ para a esquerda de $x^{2}$ .

$- 16 \cdot x^{2} + x^{2} (8 x) + 2 \cdot 16 x + 2 (- 16 x) x + 2 (4 x^{2}) x$

Etapa 1.1.6.4.2

Multiplique $x^{2}$ por $x$ somando os expoentes.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.6.4.2.1

Mova $x$ .

$- 16 x^{2} + x \cdot x^{2} \cdot 8 + 2 \cdot 16 x + 2 (- 16 x) x + 2 (4 x^{2}) x$

Etapa 1.1.6.4.2.2

Multiplique $x$ por $x^{2}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.6.4.2.2.1

Eleve $x$ à potência de $1$ .

$- 16 x^{2} + x^{1} x^{2} \cdot 8 + 2 \cdot 16 x + 2 (- 16 x) x + 2 (4 x^{2}) x$

Etapa 1.1.6.4.2.2.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$- 16 x^{2} + x^{1 + 2} \cdot 8 + 2 \cdot 16 x + 2 (- 16 x) x + 2 (4 x^{2}) x$

Etapa 1.1.6.4.2.3

Some $1$ e $2$ .

$- 16 x^{2} + x^{3} \cdot 8 + 2 \cdot 16 x + 2 (- 16 x) x + 2 (4 x^{2}) x$

Etapa 1.1.6.4.3

Mova $8$ para a esquerda de $x^{3}$ .

$- 16 x^{2} + 8 \cdot x^{3} + 2 \cdot 16 x + 2 (- 16 x) x + 2 (4 x^{2}) x$

Etapa 1.1.6.4.4

Multiplique $2$ por $16$ .

$- 16 x^{2} + 8 x^{3} + 32 x + 2 (- 16 x) x + 2 (4 x^{2}) x$

Etapa 1.1.6.4.5

Multiplique $- 16$ por $2$ .

$- 16 x^{2} + 8 x^{3} + 32 x - 32 x \cdot x + 2 (4 x^{2}) x$

Etapa 1.1.6.4.6

Eleve $x$ à potência de $1$ .

$- 16 x^{2} + 8 x^{3} + 32 x - 32 (x^{1} x) + 2 (4 x^{2}) x$

Etapa 1.1.6.4.7

Eleve $x$ à potência de $1$ .

$- 16 x^{2} + 8 x^{3} + 32 x - 32 (x^{1} x^{1}) + 2 (4 x^{2}) x$

Etapa 1.1.6.4.8

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$- 16 x^{2} + 8 x^{3} + 32 x - 32 x^{1 + 1} + 2 (4 x^{2}) x$

Etapa 1.1.6.4.9

Some $1$ e $1$ .

$- 16 x^{2} + 8 x^{3} + 32 x - 32 x^{2} + 2 (4 x^{2}) x$

Etapa 1.1.6.4.10

Multiplique $4$ por $2$ .

$- 16 x^{2} + 8 x^{3} + 32 x - 32 x^{2} + 8 x^{2} x$

Etapa 1.1.6.4.11

Eleve $x$ à potência de $1$ .

$- 16 x^{2} + 8 x^{3} + 32 x - 32 x^{2} + 8 (x^{1} x^{2})$

Etapa 1.1.6.4.12

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$- 16 x^{2} + 8 x^{3} + 32 x - 32 x^{2} + 8 x^{1 + 2}$

Etapa 1.1.6.4.13

Some $1$ e $2$ .

$- 16 x^{2} + 8 x^{3} + 32 x - 32 x^{2} + 8 x^{3}$

Etapa 1.1.6.4.14

Subtraia $32 x^{2}$ de $- 16 x^{2}$ .

$- 48 x^{2} + 8 x^{3} + 32 x + 8 x^{3}$

Etapa 1.1.6.4.15

Some $8 x^{3}$ e $8 x^{3}$ .

$- 48 x^{2} + 16 x^{3} + 32 x$

Etapa 1.1.6.5

Reordene os termos.

$f' (x) = 16 x^{3} - 48 x^{2} + 32 x$

Etapa 1.2

Encontre a segunda derivada.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $16 x^{3} - 48 x^{2} + 32 x$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [16 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 48 x^{2}] + \frac{d}{d x} [32 x]$ .

$\frac{d}{d x} [16 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 48 x^{2}] + \frac{d}{d x} [32 x]$

Etapa 1.2.2

Avalie $\frac{d}{d x} [16 x^{3}]$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.2.1

Como $16$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $16 x^{3}$ em relação a $x$ é $16 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$16 \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 48 x^{2}] + \frac{d}{d x} [32 x]$

Etapa 1.2.2.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 3$ .

$16 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [- 48 x^{2}] + \frac{d}{d x} [32 x]$

Etapa 1.2.2.3

Multiplique $3$ por $16$ .

$48 x^{2} + \frac{d}{d x} [- 48 x^{2}] + \frac{d}{d x} [32 x]$

Etapa 1.2.3

Avalie $\frac{d}{d x} [- 48 x^{2}]$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.3.1

Como $- 48$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 48 x^{2}$ em relação a $x$ é $- 48 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$48 x^{2} - 48 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [32 x]$

Etapa 1.2.3.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$48 x^{2} - 48 (2 x) + \frac{d}{d x} [32 x]$

Etapa 1.2.3.3

Multiplique $2$ por $- 48$ .

$48 x^{2} - 96 x + \frac{d}{d x} [32 x]$

Etapa 1.2.4

Avalie $\frac{d}{d x} [32 x]$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.4.1

Como $32$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $32 x$ em relação a $x$ é $32 \frac{d}{d x} [x]$ .

$48 x^{2} - 96 x + 32 \frac{d}{d x} [x]$

Etapa 1.2.4.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$48 x^{2} - 96 x + 32 \cdot 1$

Etapa 1.2.4.3

Multiplique $32$ por $1$ .

$f'' (x) = 48 x^{2} - 96 x + 32$

Etapa 1.3

A segunda derivada de $f (x)$ com relação a $x$ é $48 x^{2} - 96 x + 32$ .

$48 x^{2} - 96 x + 32$

Etapa 2

Defina a segunda derivada como igual a $0$ e resolva a equação $48 x^{2} - 96 x + 32 = 0$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1

Defina a segunda derivada como igual a $0$ .

$48 x^{2} - 96 x + 32 = 0$

Etapa 2.2

Fatore $16$ de $48 x^{2} - 96 x + 32$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.1

Fatore $16$ de $48 x^{2}$ .

$16 (3 x^{2}) - 96 x + 32 = 0$

Etapa 2.2.2

Fatore $16$ de $- 96 x$ .

$16 (3 x^{2}) + 16 (- 6 x) + 32 = 0$

Etapa 2.2.3

Fatore $16$ de $32$ .

$16 (3 x^{2}) + 16 (- 6 x) + 16 (2) = 0$

Etapa 2.2.4

Fatore $16$ de $16 (3 x^{2}) + 16 (- 6 x)$ .

$16 (3 x^{2} - 6 x) + 16 (2) = 0$

Etapa 2.2.5

Fatore $16$ de $16 (3 x^{2} - 6 x) + 16 (2)$ .

$16 (3 x^{2} - 6 x + 2) = 0$

Etapa 2.3

Divida cada termo em $16 (3 x^{2} - 6 x + 2) = 0$ por $16$ e simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.1

Divida cada termo em $16 (3 x^{2} - 6 x + 2) = 0$ por $16$ .

$\frac{16 (3 x^{2} - 6 x + 2)}{16} = \frac{0}{16}$

Etapa 2.3.2

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.2.1

Cancele o fator comum de $16$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{16 (3 x^{2} - 6 x + 2)}{16} = \frac{0}{16}$

Etapa 2.3.2.1.2

Divida $3 x^{2} - 6 x + 2$ por $1$ .

$3 x^{2} - 6 x + 2 = \frac{0}{16}$

Etapa 2.3.3

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.3.1

Divida $0$ por $16$ .

$3 x^{2} - 6 x + 2 = 0$

Etapa 2.4

Use a fórmula quadrática para encontrar as soluções.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Etapa 2.5

Substitua os valores $a = 3$ , $b = - 6$ e $c = 2$ na fórmula quadrática e resolva $x$ .

$\frac{6 \pm \sqrt{{(- 6)}^{2} - 4 \cdot (3 \cdot 2)}}{2 \cdot 3}$

Etapa 2.6

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.6.1

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.6.1.1

Eleve $- 6$ à potência de $2$ .

$x = \frac{6 \pm \sqrt{36 - 4 \cdot 3 \cdot 2}}{2 \cdot 3}$

Etapa 2.6.1.2

Multiplique $- 4 \cdot 3 \cdot 2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.6.1.2.1

Multiplique $- 4$ por $3$ .

$x = \frac{6 \pm \sqrt{36 - 12 \cdot 2}}{2 \cdot 3}$

Etapa 2.6.1.2.2

Multiplique $- 12$ por $2$ .

$x = \frac{6 \pm \sqrt{36 - 24}}{2 \cdot 3}$

Etapa 2.6.1.3

Subtraia $24$ de $36$ .

$x = \frac{6 \pm \sqrt{12}}{2 \cdot 3}$

Etapa 2.6.1.4

Reescreva $12$ como $2^{2} \cdot 3$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.6.1.4.1

Fatore $4$ de $12$ .

$x = \frac{6 \pm \sqrt{4 (3)}}{2 \cdot 3}$

Etapa 2.6.1.4.2

Reescreva $4$ como $2^{2}$ .

$x = \frac{6 \pm \sqrt{2^{2} \cdot 3}}{2 \cdot 3}$

Etapa 2.6.1.5

Elimine os termos abaixo do radical.

$x = \frac{6 \pm 2 \sqrt{3}}{2 \cdot 3}$

Etapa 2.6.2

Multiplique $2$ por $3$ .

$x = \frac{6 \pm 2 \sqrt{3}}{6}$

Etapa 2.6.3

Simplifique $\frac{6 \pm 2 \sqrt{3}}{6}$ .

$x = \frac{3 \pm \sqrt{3}}{3}$

Etapa 2.7

Simplifique a expressão para resolver a parte $+$ de $\pm$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.7.1

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.7.1.1

Eleve $- 6$ à potência de $2$ .

$x = \frac{6 \pm \sqrt{36 - 4 \cdot 3 \cdot 2}}{2 \cdot 3}$

Etapa 2.7.1.2

Multiplique $- 4 \cdot 3 \cdot 2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.7.1.2.1

Multiplique $- 4$ por $3$ .

$x = \frac{6 \pm \sqrt{36 - 12 \cdot 2}}{2 \cdot 3}$

Etapa 2.7.1.2.2

Multiplique $- 12$ por $2$ .

$x = \frac{6 \pm \sqrt{36 - 24}}{2 \cdot 3}$

Etapa 2.7.1.3

Subtraia $24$ de $36$ .

$x = \frac{6 \pm \sqrt{12}}{2 \cdot 3}$

Etapa 2.7.1.4

Reescreva $12$ como $2^{2} \cdot 3$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.7.1.4.1

Fatore $4$ de $12$ .

$x = \frac{6 \pm \sqrt{4 (3)}}{2 \cdot 3}$

Etapa 2.7.1.4.2

Reescreva $4$ como $2^{2}$ .

$x = \frac{6 \pm \sqrt{2^{2} \cdot 3}}{2 \cdot 3}$

Etapa 2.7.1.5

Elimine os termos abaixo do radical.

$x = \frac{6 \pm 2 \sqrt{3}}{2 \cdot 3}$

Etapa 2.7.2

Multiplique $2$ por $3$ .

$x = \frac{6 \pm 2 \sqrt{3}}{6}$

Etapa 2.7.3

Simplifique $\frac{6 \pm 2 \sqrt{3}}{6}$ .

$x = \frac{3 \pm \sqrt{3}}{3}$

Etapa 2.7.4

Altere $\pm$ para $+$ .

$x = \frac{3 + \sqrt{3}}{3}$

Etapa 2.8

Simplifique a expressão para resolver a parte $-$ de $\pm$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.8.1

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.8.1.1

Eleve $- 6$ à potência de $2$ .

$x = \frac{6 \pm \sqrt{36 - 4 \cdot 3 \cdot 2}}{2 \cdot 3}$

Etapa 2.8.1.2

Multiplique $- 4 \cdot 3 \cdot 2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.8.1.2.1

Multiplique $- 4$ por $3$ .

$x = \frac{6 \pm \sqrt{36 - 12 \cdot 2}}{2 \cdot 3}$

Etapa 2.8.1.2.2

Multiplique $- 12$ por $2$ .

$x = \frac{6 \pm \sqrt{36 - 24}}{2 \cdot 3}$

Etapa 2.8.1.3

Subtraia $24$ de $36$ .

$x = \frac{6 \pm \sqrt{12}}{2 \cdot 3}$

Etapa 2.8.1.4

Reescreva $12$ como $2^{2} \cdot 3$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.8.1.4.1

Fatore $4$ de $12$ .

$x = \frac{6 \pm \sqrt{4 (3)}}{2 \cdot 3}$

Etapa 2.8.1.4.2

Reescreva $4$ como $2^{2}$ .

$x = \frac{6 \pm \sqrt{2^{2} \cdot 3}}{2 \cdot 3}$

Etapa 2.8.1.5

Elimine os termos abaixo do radical.

$x = \frac{6 \pm 2 \sqrt{3}}{2 \cdot 3}$

Etapa 2.8.2

Multiplique $2$ por $3$ .

$x = \frac{6 \pm 2 \sqrt{3}}{6}$

Etapa 2.8.3

Simplifique $\frac{6 \pm 2 \sqrt{3}}{6}$ .

$x = \frac{3 \pm \sqrt{3}}{3}$

Etapa 2.8.4

Altere $\pm$ para $-$ .

$x = \frac{3 - \sqrt{3}}{3}$

Etapa 2.9

A resposta final é a combinação das duas soluções.

$x = \frac{3 + \sqrt{3}}{3}, \frac{3 - \sqrt{3}}{3}$

Etapa 3

Encontre os pontos em que a segunda derivada é $0$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.1

Substitua $1.57735026$ em $f (x) = x^{2} {(4 - 2 x)}^{2}$ para encontrar o valor de $y$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.1.1

Substitua a variável $x$ por $1.57735026$ na expressão.

$f (1.57735026) = {(1.57735026)}^{2} {(4 - 2 \cdot 1.57735026)}^{2}$

Etapa 3.1.2

Simplifique o resultado.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.1.2.1

Eleve $1.57735026$ à potência de $2$ .

$f (1.57735026) = 2.48803387 {(4 - 2 \cdot 1.57735026)}^{2}$

Etapa 3.1.2.2

Multiplique $- 2$ por $1.57735026$ .

$f (1.57735026) = 2.48803387 {(4 - 3.15470053)}^{2}$

Etapa 3.1.2.3

Subtraia $3.15470053$ de $4$ .

$f (1.57735026) = 2.48803387 \cdot {0.84529946}^{2}$

Etapa 3.1.2.4

Eleve $0.84529946$ à potência de $2$ .

$f (1.57735026) = 2.48803387 \cdot 0.71453117$

Etapa 3.1.2.5

Multiplique $2.48803387$ por $0.71453117$ .

$f (1.57735026) = 1.77777777$

Etapa 3.1.2.6

A resposta final é $1.77777777$ .

$1.77777777$

Etapa 3.2

O ponto encontrado ao substituir $1.57735026$ em $f (x) = x^{2} {(4 - 2 x)}^{2}$ é $(1.57735026, 1.77777777)$ . Ele pode ser um ponto de inflexão.

$(1.57735026, 1.77777777)$

Etapa 3.3

Substitua $0.42264973$ em $f (x) = x^{2} {(4 - 2 x)}^{2}$ para encontrar o valor de $y$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.3.1

Substitua a variável $x$ por $0.42264973$ na expressão.

$f (0.42264973) = {(0.42264973)}^{2} {(4 - 2 \cdot 0.42264973)}^{2}$

Etapa 3.3.2

Simplifique o resultado.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.3.2.1

Eleve $0.42264973$ à potência de $2$ .

$f (0.42264973) = 0.17863279 {(4 - 2 \cdot 0.42264973)}^{2}$

Etapa 3.3.2.2

Multiplique $- 2$ por $0.42264973$ .

$f (0.42264973) = 0.17863279 {(4 - 0.84529946)}^{2}$

Etapa 3.3.2.3

Subtraia $0.84529946$ de $4$ .

$f (0.42264973) = 0.17863279 \cdot {3.15470053}^{2}$

Etapa 3.3.2.4

Eleve $3.15470053$ à potência de $2$ .

$f (0.42264973) = 0.17863279 \cdot 9.95213548$

Etapa 3.3.2.5

Multiplique $0.17863279$ por $9.95213548$ .

$f (0.42264973) = 1.77777777$

Etapa 3.3.2.6

A resposta final é $1.77777777$ .

$1.77777777$

Etapa 3.4

O ponto encontrado ao substituir $0.42264973$ em $f (x) = x^{2} {(4 - 2 x)}^{2}$ é $(0.42264973, 1.77777777)$ . Ele pode ser um ponto de inflexão.

$(0.42264973, 1.77777777)$

Etapa 3.5

Determine os pontos que poderiam ser de inflexão.

$(1.57735026, 1.77777777), (0.42264973, 1.77777777)$

Etapa 4

Divida $(- \infty, \infty)$ em intervalos em torno dos pontos que poderiam ser pontos de inflexão.

$(- \infty, 0.42264973) \cup (0.42264973, 1.57735026) \cup (1.57735026, \infty)$

Etapa 5

Substitua um valor do intervalo $(- \infty, 0.42264973)$ na segunda derivada para determinar se está aumentando ou diminuindo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.1

Substitua a variável $x$ por $0.32264973$ na expressão.

$f'' (0.32264973) = 48 {(0.32264973)}^{2} - 96 \cdot 0.32264973 + 32$

Etapa 5.2

Simplifique o resultado.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.2.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.2.1.1

Eleve $0.32264973$ à potência de $2$ .

$f'' (0.32264973) = 48 \cdot 0.10410284 - 96 \cdot 0.32264973 + 32$

Etapa 5.2.1.2

Multiplique $48$ por $0.10410284$ .

$f'' (0.32264973) = 4.99693674 - 96 \cdot 0.32264973 + 32$

Etapa 5.2.1.3

Multiplique $- 96$ por $0.32264973$ .

$f'' (0.32264973) = 4.99693674 - 30.97437415 + 32$

Etapa 5.2.2

Simplifique somando e subtraindo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.2.2.1

Subtraia $30.97437415$ de $4.99693674$ .

$f'' (0.32264973) = - 25.97743741 + 32$

Etapa 5.2.2.2

Some $- 25.97743741$ e $32$ .

$f'' (0.32264973) = 6.02256258$

Etapa 5.2.3

A resposta final é $6.02256258$ .

$6.02256258$

Etapa 5.3

Em $0.32264973$ , a segunda derivada é $6.02256258$ . Por ser positiva, a segunda derivada aumenta no intervalo $(- \infty, 0.42264973)$ .

Acréscimo em $(- \infty, 0.42264973)$ , pois $f'' (x) > 0$

Etapa 6

Substitua um valor do intervalo $(0.42264973, 1.57735026)$ na segunda derivada para determinar se está aumentando ou diminuindo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.1

Substitua a variável $x$ por $1$ na expressão.

$f'' (1) = 48 {(1)}^{2} - 96 \cdot 1 + 32$

Etapa 6.2

Simplifique o resultado.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.2.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.2.1.1

Eleve $1$ à potência de $2$ .

$f'' (1) = 48 \cdot 1 - 96 \cdot 1 + 32$

Etapa 6.2.1.2

Multiplique $48$ por $1$ .

$f'' (1) = 48 - 96 \cdot 1 + 32$

Etapa 6.2.1.3

Multiplique $- 96$ por $1$ .

$f'' (1) = 48 - 96 + 32$

Etapa 6.2.2

Simplifique somando e subtraindo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.2.2.1

Subtraia $96$ de $48$ .

$f'' (1) = - 48 + 32$

Etapa 6.2.2.2

Some $- 48$ e $32$ .

$f'' (1) = - 16$

Etapa 6.2.3

A resposta final é $- 16$ .

$- 16$

Etapa 6.3

Em $1$ , a segunda derivada é $- 16$ . Por ser negativa, a segunda derivada diminui no intervalo $(0.42264973, 1.57735026)$ .

Decréscimo em $(0.42264973, 1.57735026)$ , pois $f'' (x) < 0$

Etapa 7

Substitua um valor do intervalo $(1.57735026, \infty)$ na segunda derivada para determinar se está aumentando ou diminuindo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.1

Substitua a variável $x$ por $1.67735026$ na expressão.

$f'' (1.67735026) = 48 {(1.67735026)}^{2} - 96 \cdot 1.67735026 + 32$

Etapa 7.2

Simplifique o resultado.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.2.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.2.1.1

Eleve $1.67735026$ à potência de $2$ .

$f'' (1.67735026) = 48 \cdot 2.81350392 - 96 \cdot 1.67735026 + 32$

Etapa 7.2.1.2

Multiplique $48$ por $2.81350392$ .

$f'' (1.67735026) = 135.04818842 - 96 \cdot 1.67735026 + 32$

Etapa 7.2.1.3

Multiplique $- 96$ por $1.67735026$ .

$f'' (1.67735026) = 135.04818842 - 161.02562584 + 32$

Etapa 7.2.2

Simplifique somando e subtraindo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.2.2.1

Subtraia $161.02562584$ de $135.04818842$ .

$f'' (1.67735026) = - 25.97743741 + 32$

Etapa 7.2.2.2

Some $- 25.97743741$ e $32$ .

$f'' (1.67735026) = 6.02256258$

Etapa 7.2.3

A resposta final é $6.02256258$ .

$6.02256258$

Etapa 7.3

Em $1.67735026$ , a segunda derivada é $6.02256258$ . Por ser positiva, a segunda derivada aumenta no intervalo $(1.57735026, \infty)$ .

Acréscimo em $(1.57735026, \infty)$ , pois $f'' (x) > 0$

Etapa 8

O ponto de inflexão é um ponto em uma curva em que a concavidade muda do sinal de adição para o de subtração ou vice-versa. Neste caso, os pontos de inflexão são $(0.42264973, 1.77777777), (1.57735026, 1.77777777)$ .

$(0.42264973, 1.77777777), (1.57735026, 1.77777777)$

Etapa 9