Cálculo Exemplos

$f (x) = - \frac{5}{3} x^{2} + 2 x + 2$ ; $(- 1, - \frac{5}{3})$

Etapa 1

Encontre a primeira derivada e avalie em $x = - 1$ e $y = - \frac{5}{3}$ para encontrar a inclinação da reta tangente.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $- \frac{5}{3} x^{2} + 2 x + 2$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [- \frac{5}{3} x^{2}] + \frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [2]$ .

$\frac{d}{d x} [- \frac{5}{3} x^{2}] + \frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [2]$

Etapa 1.2

Avalie $\frac{d}{d x} [- \frac{5}{3} x^{2}]$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.1

Como $- \frac{5}{3}$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- \frac{5}{3} x^{2}$ em relação a $x$ é $- \frac{5}{3} \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$- \frac{5}{3} \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [2]$

Etapa 1.2.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$- \frac{5}{3} (2 x) + \frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [2]$

Etapa 1.2.3

Multiplique $2$ por $- 1$ .

$- 2 (\frac{5}{3}) x + \frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [2]$

Etapa 1.2.4

Combine $- 2$ e $\frac{5}{3}$ .

$\frac{- 2 \cdot 5}{3} x + \frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [2]$

Etapa 1.2.5

Multiplique $- 2$ por $5$ .

$\frac{- 10}{3} x + \frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [2]$

Etapa 1.2.6

Combine $\frac{- 10}{3}$ e $x$ .

$\frac{- 10 x}{3} + \frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [2]$

Etapa 1.2.7

Mova o número negativo para a frente da fração.

$- \frac{10 x}{3} + \frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [2]$

Etapa 1.3

Avalie $\frac{d}{d x} [2 x]$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.3.1

Como $2$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $2 x$ em relação a $x$ é $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$- \frac{10 x}{3} + 2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [2]$

Etapa 1.3.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$- \frac{10 x}{3} + 2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [2]$

Etapa 1.3.3

Multiplique $2$ por $1$ .

$- \frac{10 x}{3} + 2 + \frac{d}{d x} [2]$

Etapa 1.4

Diferencie usando a regra da constante.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.4.1

Como $2$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $2$ em relação a $x$ é $0$ .

$- \frac{10 x}{3} + 2 + 0$

Etapa 1.4.2

Some $- \frac{10 x}{3} + 2$ e $0$ .

$- \frac{10 x}{3} + 2$

Etapa 1.5

Avalie a derivada em $x = - 1$ .

$- \frac{10 (- 1)}{3} + 2$

Etapa 1.6

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.6.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.6.1.1

Multiplique $10$ por $- 1$ .

$- \frac{- 10}{3} + 2$

Etapa 1.6.1.2

Mova o número negativo para a frente da fração.

$- - \frac{10}{3} + 2$

Etapa 1.6.1.3

Multiplique $- - \frac{10}{3}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.6.1.3.1

Multiplique $- 1$ por $- 1$ .

$1 (\frac{10}{3}) + 2$

Etapa 1.6.1.3.2

Multiplique $\frac{10}{3}$ por $1$ .

$\frac{10}{3} + 2$

Etapa 1.6.2

Para escrever $2$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{3}{3}$ .

$\frac{10}{3} + 2 \cdot \frac{3}{3}$

Etapa 1.6.3

Combine $2$ e $\frac{3}{3}$ .

$\frac{10}{3} + \frac{2 \cdot 3}{3}$

Etapa 1.6.4

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{10 + 2 \cdot 3}{3}$

Etapa 1.6.5

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.6.5.1

Multiplique $2$ por $3$ .

$\frac{10 + 6}{3}$

Etapa 1.6.5.2

Some $10$ e $6$ .

$\frac{16}{3}$

Etapa 2

Substitua os valores de inclinação e ponto na fórmula do ponto-declividade e resolva $y$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1

Use a inclinação $\frac{16}{3}$ e um ponto determinado $(- 1, - \frac{5}{3})$ para substituir $x_{1}$ e $y_{1}$ na forma do ponto-declividade $y - y_{1} = m (x - x_{1})$ , que é derivada da equação de inclinação $m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$ .

$y - (- \frac{5}{3}) = \frac{16}{3} \cdot (x - (- 1))$

Etapa 2.2

Simplifique a equação e mantenha-a na forma do ponto-declividade.

$y + \frac{5}{3} = \frac{16}{3} \cdot (x + 1)$

Etapa 2.3

Resolva $y$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.1

Simplifique $\frac{16}{3} \cdot (x + 1)$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.1.1

Reescreva.

$y + \frac{5}{3} = 0 + 0 + \frac{16}{3} \cdot (x + 1)$

Etapa 2.3.1.2

Simplifique somando os zeros.

$y + \frac{5}{3} = \frac{16}{3} \cdot (x + 1)$

Etapa 2.3.1.3

Aplique a propriedade distributiva.

$y + \frac{5}{3} = \frac{16}{3} x + \frac{16}{3} \cdot 1$

Etapa 2.3.1.4

Combine $\frac{16}{3}$ e $x$ .

$y + \frac{5}{3} = \frac{16 x}{3} + \frac{16}{3} \cdot 1$

Etapa 2.3.1.5

Multiplique $\frac{16}{3}$ por $1$ .

$y + \frac{5}{3} = \frac{16 x}{3} + \frac{16}{3}$

Etapa 2.3.2

Mova todos os termos que não contêm $y$ para o lado direito da equação.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.2.1

Subtraia $\frac{5}{3}$ dos dois lados da equação.

$y = \frac{16 x}{3} + \frac{16}{3} - \frac{5}{3}$

Etapa 2.3.2.2

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$y = \frac{16 x + 16 - 5}{3}$

Etapa 2.3.2.3

Subtraia $5$ de $16$ .

$y = \frac{16 x + 11}{3}$

Etapa 2.3.2.4

Divida a fração $\frac{16 x + 11}{3}$ em duas frações.

$y = \frac{16 x}{3} + \frac{11}{3}$

Etapa 2.3.3

Reordene os termos.

$y = \frac{16}{3} x + \frac{11}{3}$

Etapa 3