Cálculo Exemplos

$y = x \sqrt{x}$ , $(9, 27)$

Etapa 1

Encontre a primeira derivada e avalie em $x = 9$ e $y = 27$ para encontrar a inclinação da reta tangente.

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Etapa 1.1

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt{x}$ como $x^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{d}{d x} [x \cdot x^{\frac{1}{2}}]$

Etapa 1.2

Multiplique $x$ por $x^{\frac{1}{2}}$ somando os expoentes.

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Etapa 1.2.1

Multiplique $x$ por $x^{\frac{1}{2}}$ .

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Etapa 1.2.1.1

Eleve $x$ à potência de $1$ .

$\frac{d}{d x} [x^{1} x^{\frac{1}{2}}]$

Etapa 1.2.1.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$\frac{d}{d x} [x^{1 + \frac{1}{2}}]$

Etapa 1.2.2

Escreva $1$ como uma fração com um denominador comum.

$\frac{d}{d x} [x^{\frac{2}{2} + \frac{1}{2}}]$

Etapa 1.2.3

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{d}{d x} [x^{\frac{2 + 1}{2}}]$

Etapa 1.2.4

Some $2$ e $1$ .

$\frac{d}{d x} [x^{\frac{3}{2}}]$

Etapa 1.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = \frac{3}{2}$ .

$\frac{3}{2} x^{\frac{3}{2} - 1}$

Etapa 1.4

Para escrever $- 1$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{2}{2}$ .

$\frac{3}{2} x^{\frac{3}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}}$

Etapa 1.5

Combine $- 1$ e $\frac{2}{2}$ .

$\frac{3}{2} x^{\frac{3}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}}$

Etapa 1.6

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{3}{2} x^{\frac{3 - 1 \cdot 2}{2}}$

Etapa 1.7

Simplifique o numerador.

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Etapa 1.7.1

Multiplique $- 1$ por $2$ .

$\frac{3}{2} x^{\frac{3 - 2}{2}}$

Etapa 1.7.2

Subtraia $2$ de $3$ .

$\frac{3}{2} x^{\frac{1}{2}}$

Etapa 1.8

Combine $\frac{3}{2}$ e $x^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{3 x^{\frac{1}{2}}}{2}$

Etapa 1.9

Avalie a derivada em $x = 9$ .

$\frac{3 {(9)}^{\frac{1}{2}}}{2}$

Etapa 1.10

Simplifique.

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Etapa 1.10.1

Simplifique o numerador.

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Etapa 1.10.1.1

Reescreva $9$ como $3^{2}$ .

$\frac{3 \cdot {(3^{2})}^{\frac{1}{2}}}{2}$

Etapa 1.10.1.2

Multiplique os expoentes em ${(3^{2})}^{\frac{1}{2}}$ .

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Etapa 1.10.1.2.1

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{3 \cdot 3^{2 (\frac{1}{2})}}{2}$

Etapa 1.10.1.2.2

Cancele o fator comum de $2$ .

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Etapa 1.10.1.2.2.1

Cancele o fator comum.

$\frac{3 \cdot 3^{2 (\frac{1}{2})}}{2}$

Etapa 1.10.1.2.2.2

Reescreva a expressão.

$\frac{3 \cdot 3^{1}}{2}$

Etapa 1.10.1.3

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$\frac{3^{1 + 1}}{2}$

Etapa 1.10.1.4

Some $1$ e $1$ .

$\frac{3^{2}}{2}$

Etapa 1.10.2

Eleve $3$ à potência de $2$ .

$\frac{9}{2}$

Etapa 2

Substitua os valores de inclinação e ponto na fórmula do ponto-declividade e resolva $y$ .

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Etapa 2.1

Use a inclinação $\frac{9}{2}$ e um ponto determinado $(9, 27)$ para substituir $x_{1}$ e $y_{1}$ na forma do ponto-declividade $y - y_{1} = m (x - x_{1})$ , que é derivada da equação de inclinação $m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$ .

$y - (27) = \frac{9}{2} \cdot (x - (9))$

Etapa 2.2

Simplifique a equação e mantenha-a na forma do ponto-declividade.

$y - 27 = \frac{9}{2} \cdot (x - 9)$

Etapa 2.3

Resolva $y$ .

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Etapa 2.3.1

Simplifique $\frac{9}{2} \cdot (x - 9)$ .

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Etapa 2.3.1.1

Reescreva.

$y - 27 = 0 + 0 + \frac{9}{2} \cdot (x - 9)$

Etapa 2.3.1.2

Simplifique somando os zeros.

$y - 27 = \frac{9}{2} \cdot (x - 9)$

Etapa 2.3.1.3

Aplique a propriedade distributiva.

$y - 27 = \frac{9}{2} x + \frac{9}{2} \cdot - 9$

Etapa 2.3.1.4

Combine $\frac{9}{2}$ e $x$ .

$y - 27 = \frac{9 x}{2} + \frac{9}{2} \cdot - 9$

Etapa 2.3.1.5

Multiplique $\frac{9}{2} \cdot - 9$ .

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Etapa 2.3.1.5.1

Combine $\frac{9}{2}$ e $- 9$ .

$y - 27 = \frac{9 x}{2} + \frac{9 \cdot - 9}{2}$

Etapa 2.3.1.5.2

Multiplique $9$ por $- 9$ .

$y - 27 = \frac{9 x}{2} + \frac{- 81}{2}$

Etapa 2.3.1.6

Mova o número negativo para a frente da fração.

$y - 27 = \frac{9 x}{2} - \frac{81}{2}$

Etapa 2.3.2

Mova todos os termos que não contêm $y$ para o lado direito da equação.

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Etapa 2.3.2.1

Some $27$ aos dois lados da equação.

$y = \frac{9 x}{2} - \frac{81}{2} + 27$

Etapa 2.3.2.2

Para escrever $27$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{2}{2}$ .

$y = \frac{9 x}{2} - \frac{81}{2} + 27 \cdot \frac{2}{2}$

Etapa 2.3.2.3

Combine $27$ e $\frac{2}{2}$ .

$y = \frac{9 x}{2} - \frac{81}{2} + \frac{27 \cdot 2}{2}$

Etapa 2.3.2.4

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$y = \frac{9 x}{2} + \frac{- 81 + 27 \cdot 2}{2}$

Etapa 2.3.2.5

Simplifique o numerador.

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Etapa 2.3.2.5.1

Multiplique $27$ por $2$ .

$y = \frac{9 x}{2} + \frac{- 81 + 54}{2}$

Etapa 2.3.2.5.2

Some $- 81$ e $54$ .

$y = \frac{9 x}{2} + \frac{- 27}{2}$

Etapa 2.3.2.6

Mova o número negativo para a frente da fração.

$y = \frac{9 x}{2} - \frac{27}{2}$

Etapa 2.3.3

Reordene os termos.

$y = \frac{9}{2} x - \frac{27}{2}$

Etapa 3