Cálculo Exemplos

$y = \frac{1}{3} \arctan (\frac{1}{4} x)$ , $(4, \frac{π}{12})$

Etapa 1

Encontre a primeira derivada e avalie em $x = 4$ e $y = \frac{π}{12}$ para encontrar a inclinação da reta tangente.

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Etapa 1.1

Como $\frac{1}{3}$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $\frac{1}{3} \cdot \arctan (\frac{1}{4} x)$ em relação a $x$ é $\frac{1}{3} \frac{d}{d x} [\arctan (\frac{1}{4} x)]$ .

$\frac{1}{3} \frac{d}{d x} [\arctan (\frac{1}{4} x)]$

Etapa 1.2

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = \arctan (x)$ e $g (x) = \frac{1}{4} x$ .

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Etapa 1.2.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u$ como $\frac{1}{4} x$ .

$\frac{1}{3} (\frac{d}{d u} [\arctan (u)] \frac{d}{d x} [\frac{1}{4} x])$

Etapa 1.2.2

A derivada de $\arctan (u)$ em relação a $u$ é $\frac{1}{1 + u^{2}}$ .

$\frac{1}{3} (\frac{1}{1 + u^{2}} \frac{d}{d x} [\frac{1}{4} x])$

Etapa 1.2.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $\frac{1}{4} x$ .

$\frac{1}{3} (\frac{1}{1 + {(\frac{1}{4} x)}^{2}} \frac{d}{d x} [\frac{1}{4} x])$

Etapa 1.3

Diferencie.

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Etapa 1.3.1

Combine $\frac{1}{4}$ e $x$ .

$\frac{1}{3} (\frac{1}{1 + {(\frac{x}{4})}^{2}} \frac{d}{d x} [\frac{1}{4} x])$

Etapa 1.3.2

Combine frações.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.3.2.1

Combine $\frac{1}{4}$ e $x$ .

$\frac{1}{3} (\frac{1}{1 + {(\frac{x}{4})}^{2}} \frac{d}{d x} [\frac{x}{4}])$

Etapa 1.3.2.2

Multiplique $\frac{1}{1 + {(\frac{x}{4})}^{2}}$ por $\frac{1}{3}$ .

$\frac{1}{(1 + {(\frac{x}{4})}^{2}) \cdot 3} \frac{d}{d x} [\frac{x}{4}]$

Etapa 1.3.2.3

Mova $3$ para a esquerda de $1 + {(\frac{x}{4})}^{2}$ .

$\frac{1}{3 \cdot (1 + {(\frac{x}{4})}^{2})} \frac{d}{d x} [\frac{x}{4}]$

Etapa 1.3.3

Como $\frac{1}{4}$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $\frac{x}{4}$ em relação a $x$ é $\frac{1}{4} \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{1}{3 (1 + {(\frac{x}{4})}^{2})} (\frac{1}{4} \frac{d}{d x} [x])$

Etapa 1.3.4

Combine frações.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.3.4.1

Multiplique $\frac{1}{4}$ por $\frac{1}{3 (1 + {(\frac{x}{4})}^{2})}$ .

$\frac{1}{4 (3 (1 + {(\frac{x}{4})}^{2}))} \frac{d}{d x} [x]$

Etapa 1.3.4.2

Multiplique $3$ por $4$ .

$\frac{1}{12 (1 + {(\frac{x}{4})}^{2})} \frac{d}{d x} [x]$

Etapa 1.3.5

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$\frac{1}{12 (1 + {(\frac{x}{4})}^{2})} \cdot 1$

Etapa 1.3.6

Multiplique $\frac{1}{12 (1 + {(\frac{x}{4})}^{2})}$ por $1$ .

$\frac{1}{12 (1 + {(\frac{x}{4})}^{2})}$

Etapa 1.4

Simplifique.

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Etapa 1.4.1

Aplique a regra do produto a $\frac{x}{4}$ .

$\frac{1}{12 (1 + \frac{x^{2}}{4^{2}})}$

Etapa 1.4.2

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{1}{12 \cdot 1 + 12 \frac{x^{2}}{4^{2}}}$

Etapa 1.4.3

Combine os termos.

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Etapa 1.4.3.1

Multiplique $12$ por $1$ .

$\frac{1}{12 + 12 \frac{x^{2}}{4^{2}}}$

Etapa 1.4.3.2

Eleve $4$ à potência de $2$ .

$\frac{1}{12 + 12 \frac{x^{2}}{16}}$

Etapa 1.4.3.3

Combine $12$ e $\frac{x^{2}}{16}$ .

$\frac{1}{12 + \frac{12 x^{2}}{16}}$

Etapa 1.4.3.4

Cancele o fator comum de $12$ e $16$ .

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Etapa 1.4.3.4.1

Fatore $4$ de $12 x^{2}$ .

$\frac{1}{12 + \frac{4 (3 x^{2})}{16}}$

Etapa 1.4.3.4.2

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.4.3.4.2.1

Fatore $4$ de $16$ .

$\frac{1}{12 + \frac{4 (3 x^{2})}{4 (4)}}$

Etapa 1.4.3.4.2.2

Cancele o fator comum.

$\frac{1}{12 + \frac{4 (3 x^{2})}{4 \cdot 4}}$

Etapa 1.4.3.4.2.3

Reescreva a expressão.

$\frac{1}{12 + \frac{3 x^{2}}{4}}$

Etapa 1.4.4

Reordene os termos.

$\frac{1}{\frac{3 x^{2}}{4} + 12}$

Etapa 1.4.5

Simplifique o denominador.

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Etapa 1.4.5.1

Fatore $3$ de $\frac{3 x^{2}}{4} + 12$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.4.5.1.1

Fatore $3$ de $\frac{3 x^{2}}{4}$ .

$\frac{1}{3 \frac{x^{2}}{4} + 12}$

Etapa 1.4.5.1.2

Fatore $3$ de $12$ .

$\frac{1}{3 \frac{x^{2}}{4} + 3 \cdot 4}$

Etapa 1.4.5.1.3

Fatore $3$ de $3 \frac{x^{2}}{4} + 3 \cdot 4$ .

$\frac{1}{3 (\frac{x^{2}}{4} + 4)}$

Etapa 1.4.5.2

Para escrever $4$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{4}{4}$ .

$\frac{1}{3 (\frac{x^{2}}{4} + 4 \cdot \frac{4}{4})}$

Etapa 1.4.5.3

Combine $4$ e $\frac{4}{4}$ .

$\frac{1}{3 (\frac{x^{2}}{4} + \frac{4 \cdot 4}{4})}$

Etapa 1.4.5.4

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{1}{3 \frac{x^{2} + 4 \cdot 4}{4}}$

Etapa 1.4.5.5

Multiplique $4$ por $4$ .

$\frac{1}{3 \frac{x^{2} + 16}{4}}$

Etapa 1.4.6

Combine $3$ e $\frac{x^{2} + 16}{4}$ .

$\frac{1}{\frac{3 (x^{2} + 16)}{4}}$

Etapa 1.4.7

Multiplique o numerador pelo inverso do denominador.

$1 \frac{4}{3 (x^{2} + 16)}$

Etapa 1.4.8

Multiplique $\frac{4}{3 (x^{2} + 16)}$ por $1$ .

$\frac{4}{3 (x^{2} + 16)}$

Etapa 1.5

Avalie a derivada em $x = 4$ .

$\frac{4}{3 ({(4)}^{2} + 16)}$

Etapa 1.6

Simplifique.

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Etapa 1.6.1

Simplifique o denominador.

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Etapa 1.6.1.1

Eleve $4$ à potência de $2$ .

$\frac{4}{3 (16 + 16)}$

Etapa 1.6.1.2

Some $16$ e $16$ .

$\frac{4}{3 \cdot 32}$

Etapa 1.6.2

Reduza a expressão cancelando os fatores comuns.

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Etapa 1.6.2.1

Multiplique $3$ por $32$ .

$\frac{4}{96}$

Etapa 1.6.2.2

Cancele o fator comum de $4$ e $96$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.6.2.2.1

Fatore $4$ de $4$ .

$\frac{4 (1)}{96}$

Etapa 1.6.2.2.2

Cancele os fatores comuns.

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Etapa 1.6.2.2.2.1

Fatore $4$ de $96$ .

$\frac{4 \cdot 1}{4 \cdot 24}$

Etapa 1.6.2.2.2.2

Cancele o fator comum.

$\frac{4 \cdot 1}{4 \cdot 24}$

Etapa 1.6.2.2.2.3

Reescreva a expressão.

$\frac{1}{24}$

Etapa 2

Substitua os valores de inclinação e ponto na fórmula do ponto-declividade e resolva $y$ .

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Etapa 2.1

Use a inclinação $\frac{1}{24}$ e um ponto determinado $(4, \frac{π}{12})$ para substituir $x_{1}$ e $y_{1}$ na forma do ponto-declividade $y - y_{1} = m (x - x_{1})$ , que é derivada da equação de inclinação $m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$ .

$y - (\frac{π}{12}) = \frac{1}{24} \cdot (x - (4))$

Etapa 2.2

Simplifique a equação e mantenha-a na forma do ponto-declividade.

$y - \frac{π}{12} = \frac{1}{24} \cdot (x - 4)$

Etapa 2.3

Resolva $y$ .

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Etapa 2.3.1

Simplifique $\frac{1}{24} \cdot (x - 4)$ .

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Etapa 2.3.1.1

Reescreva.

$y - \frac{π}{12} = 0 + 0 + \frac{1}{24} \cdot (x - 4)$

Etapa 2.3.1.2

Simplifique somando os zeros.

$y - \frac{π}{12} = \frac{1}{24} \cdot (x - 4)$

Etapa 2.3.1.3

Aplique a propriedade distributiva.

$y - \frac{π}{12} = \frac{1}{24} x + \frac{1}{24} \cdot - 4$

Etapa 2.3.1.4

Combine $\frac{1}{24}$ e $x$ .

$y - \frac{π}{12} = \frac{x}{24} + \frac{1}{24} \cdot - 4$

Etapa 2.3.1.5

Cancele o fator comum de $4$ .

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Etapa 2.3.1.5.1

Fatore $4$ de $24$ .

$y - \frac{π}{12} = \frac{x}{24} + \frac{1}{4 (6)} \cdot - 4$

Etapa 2.3.1.5.2

Fatore $4$ de $- 4$ .

$y - \frac{π}{12} = \frac{x}{24} + \frac{1}{4 \cdot 6} \cdot (4 \cdot - 1)$

Etapa 2.3.1.5.3

Cancele o fator comum.

$y - \frac{π}{12} = \frac{x}{24} + \frac{1}{4 \cdot 6} \cdot (4 \cdot - 1)$

Etapa 2.3.1.5.4

Reescreva a expressão.

$y - \frac{π}{12} = \frac{x}{24} + \frac{1}{6} \cdot - 1$

Etapa 2.3.1.6

Combine $\frac{1}{6}$ e $- 1$ .

$y - \frac{π}{12} = \frac{x}{24} + \frac{- 1}{6}$

Etapa 2.3.1.7

Mova o número negativo para a frente da fração.

$y - \frac{π}{12} = \frac{x}{24} - \frac{1}{6}$

Etapa 2.3.2

Some $\frac{π}{12}$ aos dois lados da equação.

$y = \frac{x}{24} - \frac{1}{6} + \frac{π}{12}$

Etapa 2.3.3

Escreva na forma $y = m x + b$ .

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Etapa 2.3.3.1

Para escrever $- \frac{1}{6}$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{2}{2}$ .

$y = \frac{x}{24} - \frac{1}{6} \cdot \frac{2}{2} + \frac{π}{12}$

Etapa 2.3.3.2

Escreva cada expressão com um denominador comum de $12$ , multiplicando cada um por um fator apropriado de $1$ .

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Etapa 2.3.3.2.1

Multiplique $\frac{1}{6}$ por $\frac{2}{2}$ .

$y = \frac{x}{24} - \frac{2}{6 \cdot 2} + \frac{π}{12}$

Etapa 2.3.3.2.2

Multiplique $6$ por $2$ .

$y = \frac{x}{24} - \frac{2}{12} + \frac{π}{12}$

Etapa 2.3.3.3

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$y = \frac{x}{24} + \frac{- 2 + π}{12}$

Etapa 2.3.3.4

Reescreva $- 2$ como $- 1 (2)$ .

$y = \frac{x}{24} + \frac{- 1 (2) + π}{12}$

Etapa 2.3.3.5

Fatore $- 1$ de $π$ .

$y = \frac{x}{24} + \frac{- 1 (2) - 1 (- π)}{12}$

Etapa 2.3.3.6

Fatore $- 1$ de $- 1 (2) - 1 (- π)$ .

$y = \frac{x}{24} + \frac{- 1 (2 - π)}{12}$

Etapa 2.3.3.7

Mova o número negativo para a frente da fração.

$y = \frac{x}{24} - \frac{2 - π}{12}$

Etapa 2.3.3.8

Reordene os termos.

$y = \frac{1}{24} x - \frac{2 - π}{12}$

Etapa 3