Cálculo Exemplos

$y = \arctan (\frac{1}{5} x)$ ; $(5, \frac{π}{4})$

Etapa 1

Encontre a primeira derivada e avalie em $x = 5$ e $y = \frac{π}{4}$ para encontrar a inclinação da reta tangente.

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Etapa 1.1

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = \arctan (x)$ e $g (x) = \frac{1}{5} x$ .

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Etapa 1.1.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u$ como $\frac{1}{5} x$ .

$\frac{d}{d u} [\arctan (u)] \frac{d}{d x} [\frac{1}{5} x]$

Etapa 1.1.2

A derivada de $\arctan (u)$ em relação a $u$ é $\frac{1}{1 + u^{2}}$ .

$\frac{1}{1 + u^{2}} \frac{d}{d x} [\frac{1}{5} x]$

Etapa 1.1.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $\frac{1}{5} x$ .

$\frac{1}{1 + {(\frac{1}{5} x)}^{2}} \frac{d}{d x} [\frac{1}{5} x]$

Etapa 1.2

Diferencie.

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Etapa 1.2.1

Combine $\frac{1}{5}$ e $x$ .

$\frac{1}{1 + {(\frac{x}{5})}^{2}} \frac{d}{d x} [\frac{1}{5} x]$

Etapa 1.2.2

Combine $\frac{1}{5}$ e $x$ .

$\frac{1}{1 + {(\frac{x}{5})}^{2}} \frac{d}{d x} [\frac{x}{5}]$

Etapa 1.2.3

Como $\frac{1}{5}$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $\frac{x}{5}$ em relação a $x$ é $\frac{1}{5} \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{1}{1 + {(\frac{x}{5})}^{2}} (\frac{1}{5} \frac{d}{d x} [x])$

Etapa 1.2.4

Multiplique $\frac{1}{5}$ por $\frac{1}{1 + {(\frac{x}{5})}^{2}}$ .

$\frac{1}{5 (1 + {(\frac{x}{5})}^{2})} \frac{d}{d x} [x]$

Etapa 1.2.5

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$\frac{1}{5 (1 + {(\frac{x}{5})}^{2})} \cdot 1$

Etapa 1.2.6

Multiplique $\frac{1}{5 (1 + {(\frac{x}{5})}^{2})}$ por $1$ .

$\frac{1}{5 (1 + {(\frac{x}{5})}^{2})}$

Etapa 1.3

Simplifique.

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Etapa 1.3.1

Aplique a regra do produto a $\frac{x}{5}$ .

$\frac{1}{5 (1 + \frac{x^{2}}{5^{2}})}$

Etapa 1.3.2

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{1}{5 \cdot 1 + 5 \frac{x^{2}}{5^{2}}}$

Etapa 1.3.3

Combine os termos.

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Etapa 1.3.3.1

Multiplique $5$ por $1$ .

$\frac{1}{5 + 5 \frac{x^{2}}{5^{2}}}$

Etapa 1.3.3.2

Eleve $5$ à potência de $2$ .

$\frac{1}{5 + 5 \frac{x^{2}}{25}}$

Etapa 1.3.3.3

Combine $5$ e $\frac{x^{2}}{25}$ .

$\frac{1}{5 + \frac{5 x^{2}}{25}}$

Etapa 1.3.3.4

Cancele o fator comum de $5$ e $25$ .

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Etapa 1.3.3.4.1

Fatore $5$ de $5 x^{2}$ .

$\frac{1}{5 + \frac{5 (x^{2})}{25}}$

Etapa 1.3.3.4.2

Cancele os fatores comuns.

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Etapa 1.3.3.4.2.1

Fatore $5$ de $25$ .

$\frac{1}{5 + \frac{5 x^{2}}{5 \cdot 5}}$

Etapa 1.3.3.4.2.2

Cancele o fator comum.

$\frac{1}{5 + \frac{5 x^{2}}{5 \cdot 5}}$

Etapa 1.3.3.4.2.3

Reescreva a expressão.

$\frac{1}{5 + \frac{x^{2}}{5}}$

Etapa 1.3.4

Reordene os termos.

$\frac{1}{\frac{x^{2}}{5} + 5}$

Etapa 1.3.5

Simplifique o denominador.

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Etapa 1.3.5.1

Para escrever $5$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{5}{5}$ .

$\frac{1}{\frac{x^{2}}{5} + 5 \cdot \frac{5}{5}}$

Etapa 1.3.5.2

Combine $5$ e $\frac{5}{5}$ .

$\frac{1}{\frac{x^{2}}{5} + \frac{5 \cdot 5}{5}}$

Etapa 1.3.5.3

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{1}{\frac{x^{2} + 5 \cdot 5}{5}}$

Etapa 1.3.5.4

Multiplique $5$ por $5$ .

$\frac{1}{\frac{x^{2} + 25}{5}}$

Etapa 1.3.6

Multiplique o numerador pelo inverso do denominador.

$1 \frac{5}{x^{2} + 25}$

Etapa 1.3.7

Multiplique $\frac{5}{x^{2} + 25}$ por $1$ .

$\frac{5}{x^{2} + 25}$

Etapa 1.4

Avalie a derivada em $x = 5$ .

$\frac{5}{{(5)}^{2} + 25}$

Etapa 1.5

Simplifique.

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Etapa 1.5.1

Simplifique o denominador.

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Etapa 1.5.1.1

Eleve $5$ à potência de $2$ .

$\frac{5}{25 + 25}$

Etapa 1.5.1.2

Some $25$ e $25$ .

$\frac{5}{50}$

Etapa 1.5.2

Cancele o fator comum de $5$ e $50$ .

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Etapa 1.5.2.1

Fatore $5$ de $5$ .

$\frac{5 (1)}{50}$

Etapa 1.5.2.2

Cancele os fatores comuns.

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Etapa 1.5.2.2.1

Fatore $5$ de $50$ .

$\frac{5 \cdot 1}{5 \cdot 10}$

Etapa 1.5.2.2.2

Cancele o fator comum.

$\frac{5 \cdot 1}{5 \cdot 10}$

Etapa 1.5.2.2.3

Reescreva a expressão.

$\frac{1}{10}$

Etapa 2

Substitua os valores de inclinação e ponto na fórmula do ponto-declividade e resolva $y$ .

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Etapa 2.1

Use a inclinação $\frac{1}{10}$ e um ponto determinado $(5, \frac{π}{4})$ para substituir $x_{1}$ e $y_{1}$ na forma do ponto-declividade $y - y_{1} = m (x - x_{1})$ , que é derivada da equação de inclinação $m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$ .

$y - (\frac{π}{4}) = \frac{1}{10} \cdot (x - (5))$

Etapa 2.2

Simplifique a equação e mantenha-a na forma do ponto-declividade.

$y - \frac{π}{4} = \frac{1}{10} \cdot (x - 5)$

Etapa 2.3

Resolva $y$ .

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Etapa 2.3.1

Simplifique $\frac{1}{10} \cdot (x - 5)$ .

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Etapa 2.3.1.1

Reescreva.

$y - \frac{π}{4} = 0 + 0 + \frac{1}{10} \cdot (x - 5)$

Etapa 2.3.1.2

Simplifique somando os zeros.

$y - \frac{π}{4} = \frac{1}{10} \cdot (x - 5)$

Etapa 2.3.1.3

Aplique a propriedade distributiva.

$y - \frac{π}{4} = \frac{1}{10} x + \frac{1}{10} \cdot - 5$

Etapa 2.3.1.4

Combine $\frac{1}{10}$ e $x$ .

$y - \frac{π}{4} = \frac{x}{10} + \frac{1}{10} \cdot - 5$

Etapa 2.3.1.5

Cancele o fator comum de $5$ .

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Etapa 2.3.1.5.1

Fatore $5$ de $10$ .

$y - \frac{π}{4} = \frac{x}{10} + \frac{1}{5 (2)} \cdot - 5$

Etapa 2.3.1.5.2

Fatore $5$ de $- 5$ .

$y - \frac{π}{4} = \frac{x}{10} + \frac{1}{5 \cdot 2} \cdot (5 \cdot - 1)$

Etapa 2.3.1.5.3

Cancele o fator comum.

$y - \frac{π}{4} = \frac{x}{10} + \frac{1}{5 \cdot 2} \cdot (5 \cdot - 1)$

Etapa 2.3.1.5.4

Reescreva a expressão.

$y - \frac{π}{4} = \frac{x}{10} + \frac{1}{2} \cdot - 1$

Etapa 2.3.1.6

Combine $\frac{1}{2}$ e $- 1$ .

$y - \frac{π}{4} = \frac{x}{10} + \frac{- 1}{2}$

Etapa 2.3.1.7

Mova o número negativo para a frente da fração.

$y - \frac{π}{4} = \frac{x}{10} - \frac{1}{2}$

Etapa 2.3.2

Some $\frac{π}{4}$ aos dois lados da equação.

$y = \frac{x}{10} - \frac{1}{2} + \frac{π}{4}$

Etapa 2.3.3

Escreva na forma $y = m x + b$ .

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Etapa 2.3.3.1

Para escrever $- \frac{1}{2}$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{2}{2}$ .

$y = \frac{x}{10} - \frac{1}{2} \cdot \frac{2}{2} + \frac{π}{4}$

Etapa 2.3.3.2

Escreva cada expressão com um denominador comum de $4$ , multiplicando cada um por um fator apropriado de $1$ .

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Etapa 2.3.3.2.1

Multiplique $\frac{1}{2}$ por $\frac{2}{2}$ .

$y = \frac{x}{10} - \frac{2}{2 \cdot 2} + \frac{π}{4}$

Etapa 2.3.3.2.2

Multiplique $2$ por $2$ .

$y = \frac{x}{10} - \frac{2}{4} + \frac{π}{4}$

Etapa 2.3.3.3

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$y = \frac{x}{10} + \frac{- 2 + π}{4}$

Etapa 2.3.3.4

Reescreva $- 2$ como $- 1 (2)$ .

$y = \frac{x}{10} + \frac{- 1 (2) + π}{4}$

Etapa 2.3.3.5

Fatore $- 1$ de $π$ .

$y = \frac{x}{10} + \frac{- 1 (2) - 1 (- π)}{4}$

Etapa 2.3.3.6

Fatore $- 1$ de $- 1 (2) - 1 (- π)$ .

$y = \frac{x}{10} + \frac{- 1 (2 - π)}{4}$

Etapa 2.3.3.7

Mova o número negativo para a frente da fração.

$y = \frac{x}{10} - \frac{2 - π}{4}$

Etapa 2.3.3.8

Reordene os termos.

$y = \frac{1}{10} x - \frac{2 - π}{4}$

Etapa 3