Cálculo Exemplos

$y = 7 + \cot (x) - 2 \csc (x)$ , $(\frac{π}{2}, 5)$

Etapa 1

Encontre a primeira derivada e avalie em $x = \frac{π}{2}$ e $y = 5$ para encontrar a inclinação da reta tangente.

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Etapa 1.1

Diferencie.

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Etapa 1.1.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $7 + \cot (x) - 2 \csc (x)$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [7] + \frac{d}{d x} [\cot (x)] + \frac{d}{d x} [- 2 \csc (x)]$ .

$\frac{d}{d x} [7] + \frac{d}{d x} [\cot (x)] + \frac{d}{d x} [- 2 \csc (x)]$

Etapa 1.1.2

Como $7$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $7$ em relação a $x$ é $0$ .

$0 + \frac{d}{d x} [\cot (x)] + \frac{d}{d x} [- 2 \csc (x)]$

Etapa 1.2

A derivada de $\cot (x)$ em relação a $x$ é $- \csc^{2} (x)$ .

$0 - \csc^{2} (x) + \frac{d}{d x} [- 2 \csc (x)]$

Etapa 1.3

Avalie $\frac{d}{d x} [- 2 \csc (x)]$ .

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Etapa 1.3.1

Como $- 2$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 2 \csc (x)$ em relação a $x$ é $- 2 \frac{d}{d x} [\csc (x)]$ .

$0 - \csc^{2} (x) - 2 \frac{d}{d x} [\csc (x)]$

Etapa 1.3.2

A derivada de $\csc (x)$ em relação a $x$ é $- \csc (x) \cot (x)$ .

$0 - \csc^{2} (x) - 2 (- \csc (x) \cot (x))$

Etapa 1.3.3

Multiplique $- 1$ por $- 2$ .

$0 - \csc^{2} (x) + 2 \csc (x) \cot (x)$

Etapa 1.4

Simplifique.

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Etapa 1.4.1

Subtraia $\csc^{2} (x)$ de $0$ .

$- \csc^{2} (x) + 2 \csc (x) \cot (x)$

Etapa 1.4.2

Reordene os termos.

$2 \cot (x) \csc (x) - \csc^{2} (x)$

Etapa 1.5

Avalie a derivada em $x = \frac{π}{2}$ .

$2 \cot (\frac{π}{2}) \csc (\frac{π}{2}) - \csc^{2} (\frac{π}{2})$

Etapa 1.6

Simplifique.

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Etapa 1.6.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 1.6.1.1

O valor exato de $\cot (\frac{π}{2})$ é $0$ .

$2 \cdot 0 \csc (\frac{π}{2}) - \csc^{2} (\frac{π}{2})$

Etapa 1.6.1.2

Multiplique $2$ por $0$ .

$0 \csc (\frac{π}{2}) - \csc^{2} (\frac{π}{2})$

Etapa 1.6.1.3

O valor exato de $\csc (\frac{π}{2})$ é $1$ .

$0 \cdot 1 - \csc^{2} (\frac{π}{2})$

Etapa 1.6.1.4

Multiplique $0$ por $1$ .

$0 - \csc^{2} (\frac{π}{2})$

Etapa 1.6.1.5

O valor exato de $\csc (\frac{π}{2})$ é $1$ .

$0 - 1^{2}$

Etapa 1.6.1.6

Um elevado a qualquer potência é um.

$0 - 1 \cdot 1$

Etapa 1.6.1.7

Multiplique $- 1$ por $1$ .

$0 - 1$

Etapa 1.6.2

Subtraia $1$ de $0$ .

$- 1$

Etapa 2

Substitua os valores de inclinação e ponto na fórmula do ponto-declividade e resolva $y$ .

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Etapa 2.1

Use a inclinação $- 1$ e um ponto determinado $(\frac{π}{2}, 5)$ para substituir $x_{1}$ e $y_{1}$ na forma do ponto-declividade $y - y_{1} = m (x - x_{1})$ , que é derivada da equação de inclinação $m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$ .

$y - (5) = - 1 \cdot (x - (\frac{π}{2}))$

Etapa 2.2

Simplifique a equação e mantenha-a na forma do ponto-declividade.

$y - 5 = - 1 \cdot (x - \frac{π}{2})$

Etapa 2.3

Resolva $y$ .

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Etapa 2.3.1

Simplifique $- 1 \cdot (x - \frac{π}{2})$ .

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Etapa 2.3.1.1

Reescreva.

$y - 5 = 0 + 0 - 1 \cdot (x - \frac{π}{2})$

Etapa 2.3.1.2

Simplifique somando os zeros.

$y - 5 = - 1 \cdot (x - \frac{π}{2})$

Etapa 2.3.1.3

Aplique a propriedade distributiva.

$y - 5 = - 1 x - 1 (- \frac{π}{2})$

Etapa 2.3.1.4

Reescreva $- 1 x$ como $- x$ .

$y - 5 = - x - 1 (- \frac{π}{2})$

Etapa 2.3.1.5

Multiplique $- 1 (- \frac{π}{2})$ .

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Etapa 2.3.1.5.1

Multiplique $- 1$ por $- 1$ .

$y - 5 = - x + 1 \frac{π}{2}$

Etapa 2.3.1.5.2

Multiplique $\frac{π}{2}$ por $1$ .

$y - 5 = - x + \frac{π}{2}$

Etapa 2.3.2

Some $5$ aos dois lados da equação.

$y = - x + \frac{π}{2} + 5$

Etapa 2.3.3

Escreva na forma $y = m x + b$ .

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Etapa 2.3.3.1

Para escrever $5$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{2}{2}$ .

$y = - x + \frac{π}{2} + 5 \cdot \frac{2}{2}$

Etapa 2.3.3.2

Combine $5$ e $\frac{2}{2}$ .

$y = - x + \frac{π}{2} + \frac{5 \cdot 2}{2}$

Etapa 2.3.3.3

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$y = - x + \frac{π + 5 \cdot 2}{2}$

Etapa 2.3.3.4

Multiplique $5$ por $2$ .

$y = - x + \frac{π + 10}{2}$

Etapa 3