Cálculo Exemplos

$f (x) = {(x - 7)}^{2}$ , $[6, 9]$

Etapa 1

O domínio da expressão consiste em todos os números reais, exceto quando a expressão é indefinida. Nesse caso, não existe um número real que torne a expressão indefinida.

Notação de intervalo:

$(- \infty, \infty)$

Notação de construtor de conjuntos:

${x | x \in ℝ}$

Etapa 2

$f (x)$ é contínuo em $[6, 9]$ .

$f (x)$ é contínuo

Etapa 3

O valor médio da função $f$ sobre o intervalo $[a, b]$ é definido como $A (x) = \frac{1}{b - a} \int_{a}^{b} f (x) d x$ .

$A (x) = \frac{1}{b - a} \int_{a}^{b} f (x) d x$

Etapa 4

Substitua os valores reais na fórmula pelo valor médio de uma função.

$A (x) = \frac{1}{9 - 6} (\int_{6}^{9} {(x - 7)}^{2} d x)$

Etapa 5

Deixe $u = x - 7$ . Depois, $d u = d x$ . Reescreva usando $u$ e $d$ $u$ .

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Etapa 5.1

Deixe $u = x - 7$ . Encontre $\frac{d u}{d x}$ .

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Etapa 5.1.1

Diferencie $x - 7$ .

$\frac{d}{d x} [x - 7]$

Etapa 5.1.2

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x - 7$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 7]$ .

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 7]$

Etapa 5.1.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d x} [- 7]$

Etapa 5.1.4

Como $- 7$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 7$ em relação a $x$ é $0$ .

$1 + 0$

Etapa 5.1.5

Some $1$ e $0$ .

$1$

Etapa 5.2

Substitua o limite inferior por $x$ em $u = x - 7$ .

$u_{lower} = 6 - 7$

Etapa 5.3

Subtraia $7$ de $6$ .

$u_{lower} = - 1$

Etapa 5.4

Substitua o limite superior por $x$ em $u = x - 7$ .

$u_{upper} = 9 - 7$

Etapa 5.5

Subtraia $7$ de $9$ .

$u_{upper} = 2$

Etapa 5.6

Os valores encontrados para $u_{lower}$ e $u_{upper}$ serão usados para avaliar a integral definida.

$u_{lower} = - 1$

$u_{upper} = 2$

Etapa 5.7

Reescreva o problema usando $u$ , $d u$ e os novos limites de integração.

$A (x) = \frac{1}{9 - 6} (\int_{- 1}^{2} u^{2} d u)$

Etapa 6

De acordo com a regra da multiplicação de potências, a integral de $u^{2}$ com relação a $u$ é $\frac{1}{3} u^{3}$ .

$A (x) = \frac{1}{9 - 6} (\frac{1}{3} u^{3}]_{- 1}^{2})$

Etapa 7

Substitua e simplifique.

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Etapa 7.1

Avalie $\frac{1}{3} u^{3}$ em $2$ e em $- 1$ .

$A (x) = \frac{1}{9 - 6} ((\frac{1}{3} \cdot 2^{3}) - \frac{1}{3} \cdot {(- 1)}^{3})$

Etapa 7.2

Simplifique.

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Etapa 7.2.1

Eleve $2$ à potência de $3$ .

$A (x) = \frac{1}{9 - 6} (\frac{1}{3} \cdot 8 - \frac{1}{3} \cdot {(- 1)}^{3})$

Etapa 7.2.2

Combine $\frac{1}{3}$ e $8$ .

$A (x) = \frac{1}{9 - 6} (\frac{8}{3} - \frac{1}{3} \cdot {(- 1)}^{3})$

Etapa 7.2.3

Eleve $- 1$ à potência de $3$ .

$A (x) = \frac{1}{9 - 6} (\frac{8}{3} - \frac{1}{3} \cdot - 1)$

Etapa 7.2.4

Multiplique $- 1$ por $- 1$ .

$A (x) = \frac{1}{9 - 6} (\frac{8}{3} + 1 (\frac{1}{3}))$

Etapa 7.2.5

Multiplique $\frac{1}{3}$ por $1$ .

$A (x) = \frac{1}{9 - 6} (\frac{8}{3} + \frac{1}{3})$

Etapa 7.2.6

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$A (x) = \frac{1}{9 - 6} (\frac{8 + 1}{3})$

Etapa 7.2.7

Some $8$ e $1$ .

$A (x) = \frac{1}{9 - 6} (\frac{9}{3})$

Etapa 7.2.8

Cancele o fator comum de $9$ e $3$ .

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Etapa 7.2.8.1

Fatore $3$ de $9$ .

$A (x) = \frac{1}{9 - 6} (\frac{3 \cdot 3}{3})$

Etapa 7.2.8.2

Cancele os fatores comuns.

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Etapa 7.2.8.2.1

Fatore $3$ de $3$ .

$A (x) = \frac{1}{9 - 6} (\frac{3 \cdot 3}{3 (1)})$

Etapa 7.2.8.2.2

Cancele o fator comum.

$A (x) = \frac{1}{9 - 6} (\frac{3 \cdot 3}{3 \cdot 1})$

Etapa 7.2.8.2.3

Reescreva a expressão.

$A (x) = \frac{1}{9 - 6} (\frac{3}{1})$

Etapa 7.2.8.2.4

Divida $3$ por $1$ .

$A (x) = \frac{1}{9 - 6} (3)$

Etapa 8

Subtraia $6$ de $9$ .

$A (x) = \frac{1}{3} \cdot 3$

Etapa 9

Cancele o fator comum de $3$ .

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Etapa 9.1

Cancele o fator comum.

$A (x) = \frac{1}{3} \cdot 3$

Etapa 9.2

Reescreva a expressão.

$A (x) = 1$

Etapa 10