Cálculo Exemplos

$\sec^{6} (x)$

Etapa 1

Escreva $\sec^{6} (x)$ como uma função.

$f (x) = \sec^{6} (x)$

Etapa 2

É possível determinar a função $F (x)$ encontrando a integral indefinida da derivada $f (x)$ .

$F (x) = \int f (x) d x$

Etapa 3

Estabeleça a integral para resolver.

$F (x) = \int \sec^{6} (x) d x$

Etapa 4

Simplifique com fatoração.

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Etapa 4.1

Reescreva $6$ como $4$ mais $2$

$\int {\sec (x)}^{4 + 2} d x$

Etapa 4.2

Reescreva ${\sec (x)}^{4 + 2}$ como $\sec^{4} (x) \sec^{2} (x)$ .

$\int \sec^{4} (x) \sec^{2} (x) d x$

Etapa 4.3

Fatore $2$ de $4$ .

$\int {\sec (x)}^{2 (2)} \sec^{2} (x) d x$

Etapa 4.4

Reescreva ${\sec (x)}^{2 (2)}$ como exponenciação.

$\int {(\sec^{2} (x))}^{2} \sec^{2} (x) d x$

Etapa 5

Usando a fórmula de Pitágoras, reescreva $\sec^{2} (x)$ como $1 + \tan^{2} (x)$ .

$\int {(1 + \tan^{2} (x))}^{2} \sec^{2} (x) d x$

Etapa 6

Deixe $u = \tan (x)$ . Depois, $d u = \sec^{2} (x) d x$ , então, $\frac{1}{\sec^{2} (x)} d u = d x$ . Reescreva usando $u$ e $d$ $u$ .

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Etapa 6.1

Deixe $u = \tan (x)$ . Encontre $\frac{d u}{d x}$ .

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Etapa 6.1.1

Diferencie $\tan (x)$ .

$\frac{d}{d x} [\tan (x)]$

Etapa 6.1.2

A derivada de $\tan (x)$ em relação a $x$ é $\sec^{2} (x)$ .

$\sec^{2} (x)$

Etapa 6.2

Reescreva o problema usando $u$ e $d u$ .

$\int {(1 + u^{2})}^{2} d u$

Etapa 7

Expanda ${(1 + u^{2})}^{2}$ .

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Etapa 7.1

Reescreva ${(1 + u^{2})}^{2}$ como $(1 + u^{2}) (1 + u^{2})$ .

$\int (1 + u^{2}) (1 + u^{2}) d u$

Etapa 7.2

Aplique a propriedade distributiva.

$\int 1 (1 + u^{2}) + u^{2} (1 + u^{2}) d u$

Etapa 7.3

Aplique a propriedade distributiva.

$\int 1 \cdot 1 + 1 u^{2} + u^{2} (1 + u^{2}) d u$

Etapa 7.4

Aplique a propriedade distributiva.

$\int 1 \cdot 1 + 1 u^{2} + u^{2} \cdot 1 + u^{2} u^{2} d u$

Etapa 7.5

Reordene $u^{2}$ e $1$ .

$\int 1 \cdot 1 + 1 u^{2} + 1 \cdot u^{2} + u^{2} u^{2} d u$

Etapa 7.6

Multiplique $1$ por $1$ .

$\int 1 + 1 u^{2} + 1 u^{2} + u^{2} u^{2} d u$

Etapa 7.7

Multiplique $u^{2}$ por $1$ .

$\int 1 + u^{2} + 1 u^{2} + u^{2} u^{2} d u$

Etapa 7.8

Multiplique $u^{2}$ por $1$ .

$\int 1 + u^{2} + u^{2} + u^{2} u^{2} d u$

Etapa 7.9

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$\int 1 + u^{2} + u^{2} + u^{2 + 2} d u$

Etapa 7.10

Some $2$ e $2$ .

$\int 1 + u^{2} + u^{2} + u^{4} d u$

Etapa 7.11

Some $u^{2}$ e $u^{2}$ .

$\int 1 + 2 u^{2} + u^{4} d u$

Etapa 7.12

Reordene $2 u^{2}$ e $u^{4}$ .

$\int 1 + u^{4} + 2 u^{2} d u$

Etapa 7.13

Mova $1$ .

$\int u^{4} + 2 u^{2} + 1 d u$

Etapa 8

Divida a integral única em várias integrais.

$\int u^{4} d u + \int 2 u^{2} d u + \int d u$

Etapa 9

De acordo com a regra da multiplicação de potências, a integral de $u^{4}$ com relação a $u$ é $\frac{1}{5} u^{5}$ .

$\frac{1}{5} u^{5} + C + \int 2 u^{2} d u + \int d u$

Etapa 10

Como $2$ é constante com relação a $u$ , mova $2$ para fora da integral.

$\frac{1}{5} u^{5} + C + 2 \int u^{2} d u + \int d u$

Etapa 11

De acordo com a regra da multiplicação de potências, a integral de $u^{2}$ com relação a $u$ é $\frac{1}{3} u^{3}$ .

$\frac{1}{5} u^{5} + C + 2 (\frac{1}{3} u^{3} + C) + \int d u$

Etapa 12

Aplique a regra da constante.

$\frac{1}{5} u^{5} + C + 2 (\frac{1}{3} u^{3} + C) + u + C$

Etapa 13

Simplifique.

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Etapa 13.1

Combine $\frac{1}{3}$ e $u^{3}$ .

$\frac{1}{5} u^{5} + C + 2 (\frac{u^{3}}{3} + C) + u + C$

Etapa 13.2

Simplifique.

$\frac{u^{5}}{5} + \frac{2 u^{3}}{3} + u + C$

Etapa 14

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $\tan (x)$ .

$\frac{\tan^{5} (x)}{5} + \frac{2 \tan^{3} (x)}{3} + \tan (x) + C$

Etapa 15

Reordene os termos.

$\frac{1}{5} \tan^{5} (x) + \frac{2}{3} \tan^{3} (x) + \tan (x) + C$

Etapa 16

A resposta é a primitiva da função $f (x) = \sec^{6} (x)$ .

$F (x) =$ $\frac{1}{5} \tan^{5} (x) + \frac{2}{3} \tan^{3} (x) + \tan (x) + C$