Cálculo Exemplos

$\frac{x^{2}}{\sqrt{16 - x^{2}}}$

Etapa 1

Escreva $\frac{x^{2}}{\sqrt{16 - x^{2}}}$ como uma função.

$f (x) = \frac{x^{2}}{\sqrt{16 - x^{2}}}$

Etapa 2

É possível determinar a função $F (x)$ encontrando a integral indefinida da derivada $f (x)$ .

$F (x) = \int f (x) d x$

Etapa 3

Estabeleça a integral para resolver.

$F (x) = \int \frac{x^{2}}{\sqrt{16 - x^{2}}} d x$

Etapa 4

Deixe $x = 4 \sin (t)$ , em que $- \frac{π}{2} \leq t \leq \frac{π}{2}$ . Depois, $d x = 4 \cos (t) d t$ . Como $- \frac{π}{2} \leq t \leq \frac{π}{2}$ , $4 \cos (t)$ é positivo.

$\int \frac{{(4 \sin (t))}^{2}}{\sqrt{16 - {(4 \sin (t))}^{2}}} (4 \cos (t)) d t$

Etapa 5

Simplifique os termos.

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Etapa 5.1

Simplifique $\sqrt{16 - {(4 \sin (t))}^{2}}$ .

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Etapa 5.1.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 5.1.1.1

Aplique a regra do produto a $4 \sin (t)$ .

$\int \frac{{(4 \sin (t))}^{2}}{\sqrt{16 - (4^{2} \sin^{2} (t))}} (4 \cos (t)) d t$

Etapa 5.1.1.2

Eleve $4$ à potência de $2$ .

$\int \frac{{(4 \sin (t))}^{2}}{\sqrt{16 - (16 \sin^{2} (t))}} (4 \cos (t)) d t$

Etapa 5.1.1.3

Multiplique $16$ por $- 1$ .

$\int \frac{{(4 \sin (t))}^{2}}{\sqrt{16 - 16 \sin^{2} (t)}} (4 \cos (t)) d t$

Etapa 5.1.2

Fatore $16$ de $16$ .

$\int \frac{{(4 \sin (t))}^{2}}{\sqrt{16 (1) - 16 \sin^{2} (t)}} (4 \cos (t)) d t$

Etapa 5.1.3

Fatore $16$ de $- 16 \sin^{2} (t)$ .

$\int \frac{{(4 \sin (t))}^{2}}{\sqrt{16 (1) + 16 (- \sin^{2} (t))}} (4 \cos (t)) d t$

Etapa 5.1.4

Fatore $16$ de $16 (1) + 16 (- \sin^{2} (t))$ .

$\int \frac{{(4 \sin (t))}^{2}}{\sqrt{16 (1 - \sin^{2} (t))}} (4 \cos (t)) d t$

Etapa 5.1.5

Aplique a identidade trigonométrica fundamental.

$\int \frac{{(4 \sin (t))}^{2}}{\sqrt{16 \cos^{2} (t)}} (4 \cos (t)) d t$

Etapa 5.1.6

Reescreva $16 \cos^{2} (t)$ como ${(4 \cos (t))}^{2}$ .

$\int \frac{{(4 \sin (t))}^{2}}{\sqrt{{(4 \cos (t))}^{2}}} (4 \cos (t)) d t$

Etapa 5.1.7

Elimine os termos abaixo do radical, presumindo que sejam números reais positivos.

$\int \frac{{(4 \sin (t))}^{2}}{4 \cos (t)} (4 \cos (t)) d t$

Etapa 5.2

Reduza a expressão cancelando os fatores comuns.

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Etapa 5.2.1

Cancele o fator comum de $4 \cos (t)$ .

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Etapa 5.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\int \frac{{(4 \sin (t))}^{2}}{4 \cos (t)} (4 \cos (t)) d t$

Etapa 5.2.1.2

Reescreva a expressão.

$\int {(4 \sin (t))}^{2} d t$

Etapa 5.2.2

Simplifique.

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Etapa 5.2.2.1

Fatore $4$ de $4 \sin (t)$ .

$\int {(4 (\sin (t)))}^{2} d t$

Etapa 5.2.2.2

Aplique a regra do produto a $4 (\sin (t))$ .

$\int 4^{2} \sin^{2} (t) d t$

Etapa 5.2.2.3

Eleve $4$ à potência de $2$ .

$\int 16 \sin^{2} (t) d t$

Etapa 6

Como $16$ é constante com relação a $t$ , mova $16$ para fora da integral.

$16 \int \sin^{2} (t) d t$

Etapa 7

Use a fórmula do arco metade para reescrever $\sin^{2} (t)$ como $\frac{1 - \cos (2 t)}{2}$ .

$16 \int \frac{1 - \cos (2 t)}{2} d t$

Etapa 8

Como $\frac{1}{2}$ é constante com relação a $t$ , mova $\frac{1}{2}$ para fora da integral.

$16 (\frac{1}{2} \int 1 - \cos (2 t) d t)$

Etapa 9

Simplifique.

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Etapa 9.1

Combine $\frac{1}{2}$ e $16$ .

$\frac{16}{2} \int 1 - \cos (2 t) d t$

Etapa 9.2

Cancele o fator comum de $16$ e $2$ .

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Etapa 9.2.1

Fatore $2$ de $16$ .

$\frac{2 \cdot 8}{2} \int 1 - \cos (2 t) d t$

Etapa 9.2.2

Cancele os fatores comuns.

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Etapa 9.2.2.1

Fatore $2$ de $2$ .

$\frac{2 \cdot 8}{2 (1)} \int 1 - \cos (2 t) d t$

Etapa 9.2.2.2

Cancele o fator comum.

$\frac{2 \cdot 8}{2 \cdot 1} \int 1 - \cos (2 t) d t$

Etapa 9.2.2.3

Reescreva a expressão.

$\frac{8}{1} \int 1 - \cos (2 t) d t$

Etapa 9.2.2.4

Divida $8$ por $1$ .

$8 \int 1 - \cos (2 t) d t$

Etapa 10

Divida a integral única em várias integrais.

$8 (\int d t + \int - \cos (2 t) d t)$

Etapa 11

Aplique a regra da constante.

$8 (t + C + \int - \cos (2 t) d t)$

Etapa 12

Como $- 1$ é constante com relação a $t$ , mova $- 1$ para fora da integral.

$8 (t + C - \int \cos (2 t) d t)$

Etapa 13

Deixe $u = 2 t$ . Depois, $d u = 2 d t$ , então, $\frac{1}{2} d u = d t$ . Reescreva usando $u$ e $d$ $u$ .

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Etapa 13.1

Deixe $u = 2 t$ . Encontre $\frac{d u}{d t}$ .

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Etapa 13.1.1

Diferencie $2 t$ .

$\frac{d}{d t} [2 t]$

Etapa 13.1.2

Como $2$ é constante em relação a $t$ , a derivada de $2 t$ em relação a $t$ é $2 \frac{d}{d t} [t]$ .

$2 \frac{d}{d t} [t]$

Etapa 13.1.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ é $n t^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$2 \cdot 1$

Etapa 13.1.4

Multiplique $2$ por $1$ .

$2$

Etapa 13.2

Reescreva o problema usando $u$ e $d u$ .

$8 (t + C - \int \cos (u) \frac{1}{2} d u)$

Etapa 14

Combine $\cos (u)$ e $\frac{1}{2}$ .

$8 (t + C - \int \frac{\cos (u)}{2} d u)$

Etapa 15

Como $\frac{1}{2}$ é constante com relação a $u$ , mova $\frac{1}{2}$ para fora da integral.

$8 (t + C - (\frac{1}{2} \int \cos (u) d u))$

Etapa 16

A integral de $\cos (u)$ com relação a $u$ é $\sin (u)$ .

$8 (t + C - \frac{1}{2} (\sin (u) + C))$

Etapa 17

Simplifique.

$8 (t - \frac{1}{2} \sin (u)) + C$

Etapa 18

Substitua novamente para cada variável de substituição de integração.

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Etapa 18.1

Substitua todas as ocorrências de $t$ por $\arcsin (\frac{x}{4})$ .

$8 (\arcsin (\frac{x}{4}) - \frac{1}{2} \sin (u)) + C$

Etapa 18.2

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $2 t$ .

$8 (\arcsin (\frac{x}{4}) - \frac{1}{2} \sin (2 t)) + C$

Etapa 18.3

Substitua todas as ocorrências de $t$ por $\arcsin (\frac{x}{4})$ .

$8 (\arcsin (\frac{x}{4}) - \frac{1}{2} \sin (2 \arcsin (\frac{x}{4}))) + C$

Etapa 19

Simplifique.

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Etapa 19.1

Combine $\sin (2 \arcsin (\frac{x}{4}))$ e $\frac{1}{2}$ .

$8 (\arcsin (\frac{x}{4}) - \frac{\sin (2 \arcsin (\frac{x}{4}))}{2}) + C$

Etapa 19.2

Aplique a propriedade distributiva.

$8 \arcsin (\frac{x}{4}) + 8 (- \frac{\sin (2 \arcsin (\frac{x}{4}))}{2}) + C$

Etapa 19.3

Cancele o fator comum de $2$ .

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Etapa 19.3.1

Mova o negativo de maior ordem em $- \frac{\sin (2 \arcsin (\frac{x}{4}))}{2}$ para o numerador.

$8 \arcsin (\frac{x}{4}) + 8 \frac{- \sin (2 \arcsin (\frac{x}{4}))}{2} + C$

Etapa 19.3.2

Fatore $2$ de $8$ .

$8 \arcsin (\frac{x}{4}) + 2 (4) \frac{- \sin (2 \arcsin (\frac{x}{4}))}{2} + C$

Etapa 19.3.3

Cancele o fator comum.

$8 \arcsin (\frac{x}{4}) + 2 \cdot 4 \frac{- \sin (2 \arcsin (\frac{x}{4}))}{2} + C$

Etapa 19.3.4

Reescreva a expressão.

$8 \arcsin (\frac{x}{4}) + 4 (- \sin (2 \arcsin (\frac{x}{4}))) + C$

Etapa 19.4

Multiplique $- 1$ por $4$ .

$8 \arcsin (\frac{x}{4}) - 4 \sin (2 \arcsin (\frac{x}{4})) + C$

Etapa 20

Reordene os termos.

$8 \arcsin (\frac{1}{4} x) - 4 \sin (2 \arcsin (\frac{1}{4} x)) + C$

Etapa 21

A resposta é a primitiva da função $f (x) = \frac{x^{2}}{\sqrt{16 - x^{2}}}$ .

$F (x) =$ $8 \arcsin (\frac{1}{4} x) - 4 \sin (2 \arcsin (\frac{1}{4} x)) + C$