Cálculo Exemplos

$\frac{e^{- \frac{1}{x}}}{x^{2}}$

Etapa 1

Escreva $\frac{e^{- \frac{1}{x}}}{x^{2}}$ como uma função.

$f (x) = \frac{e^{- \frac{1}{x}}}{x^{2}}$

Etapa 2

É possível determinar a função $F (x)$ encontrando a integral indefinida da derivada $f (x)$ .

$F (x) = \int f (x) d x$

Etapa 3

Estabeleça a integral para resolver.

$F (x) = \int \frac{e^{- \frac{1}{x}}}{x^{2}} d x$

Etapa 4

Deixe $u = - \frac{1}{x}$ . Depois, $d u = \frac{1}{x^{2}} d x$ , então, $x^{2} d u = d x$ . Reescreva usando $u$ e $d$ $u$ .

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Etapa 4.1

Deixe $u = - \frac{1}{x}$ . Encontre $\frac{d u}{d x}$ .

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Etapa 4.1.1

Diferencie $- \frac{1}{x}$ .

$\frac{d}{d x} [- \frac{1}{x}]$

Etapa 4.1.2

Diferencie usando a regra do produto, que determina que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ é $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , em que $f (x) = - 1$ e $g (x) = \frac{1}{x}$ .

$- \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}] + \frac{1}{x} \frac{d}{d x} [- 1]$

Etapa 4.1.3

Diferencie.

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Etapa 4.1.3.1

Reescreva $\frac{1}{x}$ como $x^{- 1}$ .

$- \frac{d}{d x} [x^{- 1}] + \frac{1}{x} \frac{d}{d x} [- 1]$

Etapa 4.1.3.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = - 1$ .

$- - x^{- 2} + \frac{1}{x} \frac{d}{d x} [- 1]$

Etapa 4.1.3.3

Multiplique.

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Etapa 4.1.3.3.1

Multiplique $- 1$ por $- 1$ .

$1 x^{- 2} + \frac{1}{x} \frac{d}{d x} [- 1]$

Etapa 4.1.3.3.2

Multiplique $x^{- 2}$ por $1$ .

$x^{- 2} + \frac{1}{x} \frac{d}{d x} [- 1]$

Etapa 4.1.3.4

Como $- 1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 1$ em relação a $x$ é $0$ .

$x^{- 2} + \frac{1}{x} \cdot 0$

Etapa 4.1.3.5

Simplifique a expressão.

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Etapa 4.1.3.5.1

Multiplique $\frac{1}{x}$ por $0$ .

$x^{- 2} + 0$

Etapa 4.1.3.5.2

Some $x^{- 2}$ e $0$ .

$x^{- 2}$

Etapa 4.1.4

Reescreva a expressão usando a regra do expoente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{1}{x^{2}}$

Etapa 4.2

Reescreva o problema usando $u$ e $d u$ .

$\int e^{u} d u$

Etapa 5

A integral de $e^{u}$ com relação a $u$ é $e^{u}$ .

$e^{u} + C$

Etapa 6

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $- \frac{1}{x}$ .

$e^{- \frac{1}{x}} + C$

Etapa 7

A resposta é a primitiva da função $f (x) = \frac{e^{- \frac{1}{x}}}{x^{2}}$ .

$F (x) =$ $e^{- \frac{1}{x}} + C$